Secuencia polinomial
Gráfica de la función polinómica de Jacobi con y y en el plano complejo de a con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1 PAG norte ( α , b ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha,\beta)}} norte = 10 {\displaystyle n=10} α = 2 {\displaystyle \alpha =2} b = 2 {\displaystyle \beta =2} − 2 − 2 i {\displaystyle -2-2i} 2 + 2 i {\displaystyle 2+2i} En matemáticas , los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos )
son una clase de polinomios ortogonales clásicos . Son ortogonales con respecto al peso en el intervalo . Los polinomios de Gegenbauer y, por tanto, también los polinomios de Legendre , Zernike y Chebyshev , son casos especiales de los polinomios de Jacobi. [1] PAG norte ( α , b ) ( X ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)} ( 1 − X ) α ( 1 + X ) b {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por Carl Gustav Jacob Jacobi .
Definiciones A través de la función hipergeométrica Los polinomios de Jacobi se definen mediante la función hipergeométrica de la siguiente manera: [2]
PAG norte ( α , b ) ( z ) = ( α + 1 ) norte norte ! 2 F 1 ( − norte , 1 + α + b + norte ; α + 1 ; 1 2 ( 1 − z ) ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_ {1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),} ¿Dónde está el símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente)? En este caso, la serie de la función hipergeométrica es finita, por lo tanto se obtiene la siguiente expresión equivalente: ( α + 1 ) norte {\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
PAG norte ( α , b ) ( z ) = Γ ( α + norte + 1 ) norte ! Γ ( α + b + norte + 1 ) ∑ metro = 0 norte ( norte metro ) Γ ( α + b + norte + metro + 1 ) Γ ( α + metro + 1 ) ( z − 1 2 ) metro . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta + n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.} La fórmula de Rodrigues Una definición equivalente viene dada por la fórmula de Rodrigues : [1] [3]
PAG norte ( α , b ) ( z ) = ( − 1 ) norte 2 norte norte ! ( 1 − z ) − α ( 1 + z ) − b d norte d z norte { ( 1 − z ) α ( 1 + z ) b ( 1 − z 2 ) norte } . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^ {-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1 +z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.} Si , entonces se reduce a los polinomios de Legendre : α = b = 0 {\displaystyle \alpha =\beta =0}
PAG norte ( z ) = 1 2 norte norte ! d norte d z norte ( z 2 − 1 ) norte . {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}\;.} Expresión alternativa para argumento real En realidad, el polinomio de Jacobi también se puede escribir como X {\displaystyle x}
PAG norte ( α , b ) ( X ) = ∑ s = 0 norte ( norte + α norte − s ) ( norte + b s ) ( X − 1 2 ) s ( X + 1 2 ) norte − s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose ns}{n+\beta \choose s}\ izquierda({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{ns}} y para entero norte {\displaystyle n}
( z norte ) = { Γ ( z + 1 ) Γ ( norte + 1 ) Γ ( z − norte + 1 ) norte ≥ 0 0 norte < 0 {\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}} ¿Dónde está la función gamma ? Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}
En el caso especial de que las cuatro cantidades , , ,
sean números enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como n {\displaystyle n} n + α {\displaystyle n+\alpha } n + β {\displaystyle n+\beta } n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta }
La suma se extiende a todos los valores enteros de para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos. s {\displaystyle s}
Casos especiales P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , {\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , {\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},} P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 . {\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.} Propiedades básicas Ortogonalidad Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad.
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1. {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.} Tal como están definidos, no tienen norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando . n = m {\displaystyle n=m}
Aunque no produce una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.} Relación de simetría Los polinomios tienen la relación de simetría.
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} por lo tanto, el otro valor terminal es
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.} Derivados La derivada enésima de la expresión explícita conduce a k {\displaystyle k}
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).} Ecuación diferencial El polinomio de Jacobi es una solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden [1] P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.} Relaciones de recurrencia La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de fijo es : [1] α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}} para . Escribir por brevedad , y esto se convierte en términos de n = 2 , 3 , … {\displaystyle n=2,3,\ldots } a := n + α {\displaystyle a:=n+\alpha } b := n + β {\displaystyle b:=n+\beta } c := a + b = 2 n + α + β {\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta } a , b , c {\displaystyle a,b,c}
2 n ( c − n ) ( c − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( c − 1 ) { c ( c − 2 ) z + ( a − b ) ( c − 2 n ) } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) c P n − 2 ( α , β ) ( z ) . {\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).} Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recurrencias equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − 2 ( β + n ) P n ( α , β − 1 ) 1 + z = 1 − z 1 + z ( β P n ( α , β ) − ( β + n ) P n ( α + 1 , β − 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}} función generadora La función generadora de los polinomios de Jacobi viene dada por
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },} dónde
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , {\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,} y la rama de la raíz cuadrada se elige de modo que . [1] R ( z , 0 ) = 1 {\displaystyle R(z,0)=1}
Asintóticas de polinomios de Jacobi Porque en el interior de , la asintótica de para grandes viene dada por la fórmula de Darboux [1] x {\displaystyle x} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n {\displaystyle n}
P n ( α , β ) ( cos θ ) = n − 1 2 k ( θ ) cos ( N θ + γ ) + O ( n − 3 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),} dónde
k ( θ ) = π − 1 2 sin − α − 1 2 θ 2 cos − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , γ = − π 2 ( α + 1 2 ) , 0 < θ < π {\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}} y el " " término es uniforme en el intervalo para cada . O {\displaystyle O} [ ε , π − ε ] {\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
La asintótica de los polinomios de Jacobi cerca de los puntos viene dada por la fórmula de Mehler-Heine. ± 1 {\displaystyle \pm 1}
lim n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( cos ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) lim n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( cos ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}} donde los límites son uniformes en un dominio acotado . z {\displaystyle z}
La asintótica exterior es menos explícita. [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
Aplicaciones Matriz D de Wigner La expresión ( 1 ) permite la expresión de la matriz d de Wigner (para ) en términos de polinomios de Jacobi: [4] d m ′ , m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )} 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 2 ( sin ϕ 2 ) m − m ′ ( cos ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( cos ϕ ) . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).} Ver también Notas ^ abcdef Szegő, Gábor (1939). "IV. Polinomios de Jacobi". Polinomios ortogonales. Publicaciones del Coloquio. vol. XXIII. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1023-1 SEÑOR 0372517. ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 561.ISBN 978-0-486-61272-0 SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253. ^ PK Suetin (2001) [1994], "Polinomios de Jacobi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press ^ Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Lectura: Addison-Wesley. Otras lecturas Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 71, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-62321-6 SEÑOR 1688958, ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST 978-0-521-19225-5 señor 2723248 enlaces externos
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![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2aec0a4485c35292703c489dbe3b0374cac6edc)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(jm)!}{(j+m')!(jm')!} }\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{mm'}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{jm}^{(mm',m+m')}(\cos \phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c078b36a1cb81f94eacdd3ffd60597f378e5847)