La ecuación diferencial de Lommel , llamada así en honor a Eugen von Lommel , es una forma no homogénea de la ecuación diferencial de Bessel :
el 2 d 2 y d el 2 + el d y d el + ( el 2 − no 2 ) y = el micras + 1 . {\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})y=z^{\mu +1}.} Las soluciones se dan mediante las funciones de Lommel s μ,ν ( z ) y S μ,ν ( z ), introducidas por Eugen von Lommel (1880),
s micras , no ( el ) = π 2 [ Y no ( el ) ∫ 0 el incógnita micras Yo no ( incógnita ) d incógnita − Yo no ( el ) ∫ 0 el incógnita micras Y no ( incógnita ) d incógnita ] , {\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\ !\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],} S micras , no ( el ) = s micras , no ( el ) + 2 micras − 1 Γ ( micras + no + 1 2 ) Γ ( micras − no + 1 2 ) ( pecado [ ( micras − no ) π 2 ] Yo no ( el ) − porque [ ( micras − no ) π 2 ] Y no ( el ) ) , {\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),} donde J ν ( z ) es una función de Bessel del primer tipo y Y ν ( z ) una función de Bessel del segundo tipo.
La función s también se puede escribir como [1]
s micras , no ( el ) = el micras + 1 ( micras − no + 1 ) ( micras + no + 1 ) 1 F 2 ( 1 ; micras 2 − no 2 + 3 2 , micras 2 + no 2 + 3 2 ; − el 2 4 ) , {\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{ }_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}),} donde p F q función hipergeométrica generalizada .
Véase también
Referencias ^ "Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel" de Watson (1966), Sección 10.7, Ecuación (10) Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Funciones trascendentales superiores. Vol II (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York-Toronto-Londres, MR 0058756 Lommel, E. (1875), "Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function", Math. Ana. , 9 (3): 425–444, doi :10.1007/BF01443342 Lommel, E. (1880), "Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV", Matemáticas. Ana. , 16 (2): 183–208, doi :10.1007/BF01446386 París, RB (2010), "Función de Lommel", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas 978-0-521-19225-5 Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función de Lommel", Enciclopedia de Matemáticas EMS Press
Enlaces externos Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Lommel". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. Weisstein, Eric W. "Función de Lommel". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. 
![{\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\ !\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9c12b62e9547a64c69c8d9967eab12179fe5cb)
![{\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbc47a009afefe3352df4095aab80828bf60c17)
