En matemáticas, la función E fue introducida por Thomas Murray MacRobert (1937-1938) para extender la serie hipergeométrica generalizada p F q (·) al caso p > q + 1. El objetivo subyacente era definir una función muy general que incluyera como casos particulares la mayoría de las funciones especiales conocidas hasta entonces. Sin embargo, esta función no tuvo gran impacto en la literatura ya que siempre puede expresarse en términos de la función G de Meijer , mientras que lo contrario no es cierto, por lo que la función G es de naturaleza aún más general. Se define como:
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(p;\alpha _{r};\rho _{s};z)\equiv {}&{\frac {\Gamma (\alpha _{q+1})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (\rho _{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\mu =1}^{q}\int _{0}^{\infty }\lambda _{\mu }^{\rho _{\mu }-\alpha _{\mu }-a}(\lambda _{\mu }+1)^{-\rho _{\mu }}\,d\lambda _{\mu }\\&\times \prod _{\nu =2}^{pq-1}\int _{0}^{\infty }\lambda _{q+\nu }^{\alpha _{q+\nu }-1}\exp(-\lambda _{q+\nu })\,d\lambda _{q+\nu }\\&\times \int _{0}^{\infty }\lambda _{p}^{\alpha _{p}-1}\exp(-\lambda _{p})\left[{\frac {\prod _{k=q+2}^{p}\lambda _{k}}{z\prod _{k=1}^{q}\lambda _{k}+1}}+1\right]\,d\lambda _{p}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Hay varias formas de definir la función E de MacRobert; la siguiente definición está en términos de la función hipergeométrica generalizada :
- cuando p ≤ q y x ≠ 0, o p = q + 1 y | x | > 1:
- cuando p ≥ q + 2, o p = q + 1 y | x | < 1:
Los asteriscos aquí nos recuerdan que ignoremos la contribución con el índice j = h de la siguiente manera: en el producto esto equivale a reemplazar Γ(0) con 1, y en el argumento de la función hipergeométrica esto equivale a acortar la longitud del vector de p a p − 1. Evidentemente, esta definición cubre todos los valores de p y q .
Relación con la función G de Meijer
La función E de MacRobert siempre se puede expresar en términos de la función G de Meijer :
donde los valores de los parámetros no tienen restricciones, es decir, esta relación se cumple sin excepción.
Referencias
- Andrews, LC (1985). Funciones especiales para ingenieros y matemáticos aplicados . Nueva York: MacMillan. ISBN 0-02-948650-5.
- Erdélyi, A .; Magnus, W.; Oberhettinger, F. y Tricomi, FG (1953). Funciones trascendentales superiores (PDF) . Vol. 1. Nueva York: McGraw–Hill.(véase § 5.2, "Definición de la función E", pág. 203)
- Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "9.4". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de integrales, series y productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8.ª ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN 2014010276.
- MacRobert, TM (1937–38). "Demostraciones de inducción de las relaciones entre ciertas expansiones asintóticas y las series hipergeométricas generalizadas correspondientes". Proc. R. Soc. Edimburgo . 58 : 1–13. JFM 64.0337.01.
- MacRobert, TM (1962). "Integrales de Barnes como suma de funciones E". Annalen Matemáticas . 147 (3): 240–243. doi :10.1007/bf01470741. S2CID 121048026. Zbl 0100.28601.
Enlaces externos
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(p;\alpha _{r};\rho _{s};z)\equiv {}&{\frac {\Gamma (\alpha _{q+1})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (\rho _{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\mu =1}^{q}\int _{0}^{\infty }\lambda _{\mu }^{\rho _{\mu }-\alpha _{\mu }-a}(\lambda _{\mu }+1)^{-\rho _{\mu }}\,d\lambda _{\mu }\\&\times \prod _{\nu =2}^{pq-1}\int _{0}^{\infty }\lambda _{q+\nu }^{\alpha _{q+\nu }-1}\exp(-\lambda _{q+\nu })\,d\lambda _{q+\nu }\\&\times \int _{0}^{\infty }\lambda _{p}^{\alpha _{p}-1}\exp(-\lambda _{p})\left[{\frac {\prod _{k=q+2}^{p}\lambda _{k}}{z\prod _{k=1}^{q}\lambda _{k}+1}}+1\right]\,d\lambda _{p}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d09f20dee03ea9f32fa4d926a7a095d5c7d672a)
