Dilogaritmo

Caso especial del polilogaritmo

El dilogaritmo a lo largo del eje real

En matemáticas , el dilogaritmo (o función de Spence ), denotado como Li ₂ ( z ) , es un caso particular del polilogaritmo . Dos funciones especiales relacionadas se denominan función de Spence, el propio dilogaritmo:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} }$

y su reflexión. Para | z | < 1 , también se aplica una serie infinita (la definición integral constituye su extensión analítica al plano complejo ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

Alternativamente, la función dilogaritmo a veces se define como

${\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).}$

En geometría hiperbólica, el dilogaritmo se puede utilizar para calcular el volumen de un símplex ideal. En concreto, un símplex cuyos vértices tienen una razón cruzada z tiene un volumen hiperbólico.

${\displaystyle D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.}$

La función D ( z ) a veces se denomina función de Bloch-Wigner. ^[1] La función de Lobachevsky y la función de Clausen son funciones estrechamente relacionadas.

William Spence , en cuyo honor se nombró la función por los primeros escritores en el campo, fue un matemático escocés que trabajó a principios del siglo XIX. ^[2] Fue a la escuela con John Galt , ^[3] quien más tarde escribió un ensayo biográfico sobre Spence.

Estructura analítica

Usando la definición anterior, la función dilogarítmica es analítica en todas partes del plano complejo excepto en , donde tiene un punto de ramificación logarítmico. La elección estándar del corte de ramificación es a lo largo del eje real positivo . Sin embargo, la función es continua en el punto de ramificación y toma el valor . ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle (1,\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}$

Identidades

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}).}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z).}$^[4] La fórmula de reflexión .

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {L} (z)+\operatorname {L} (y)=\operatorname {L} (xy)+\operatorname {L} ({\frac {x(1-y)}{1-xy}})+\operatorname {L} ({\frac {y(1-x)}{1-xy}})}$. ^{[6] [7]} Ecuación funcional de Abel o relación de cinco términos donde es la función L de Rogers (una relación análoga se satisface también mediante el dilogaritmo cuántico ) ${\displaystyle \operatorname {L} (x)={\frac {\pi }{6}}[\operatorname {Li} _{2}(z)+{\frac {1}{2}}\ln(z)\ln(1-z)]}$

Identidades de valor particular

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^{2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.}$ ^[5]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.}$^[5]

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}$

Valores especiales

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.}$Su pendiente = 1.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},}$¿Dónde está la función zeta de Riemann ? ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

En física de partículas

La función de Spence se utiliza con frecuencia en física de partículas al calcular correcciones radiativas . En este contexto, la función suele definirse con un valor absoluto dentro del logaritmo:

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}$

Véase también

• Número de Markstein

Notas

1. Zagier pág. 10
2. "William Spence - Biografía".
3. "Biografía – GALT, JOHN – Volumen VII (1836-1850) – Diccionario de biografía canadiense".
4. Zagier
5. Weisstein, Eric W. "Dilogaritmo". MundoMatemático .
6. Weisstein, Eric W. "Función L de Rogers". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de agosto de 2024 .
7. Rogers, LJ (1907). "Sobre la representación de ciertas series asintóticas como fracciones continuas convergentes". Actas de la London Mathematical Society . s2-4 (1): 72–89. doi :10.1112/plms/s2-4.1.72.

Referencias

• Lewin, L. (1958). Dilogaritmos y funciones asociadas . Prólogo de JCP Miller. Londres: Macdonald. MR  0105524.
• Morris, Robert (1979). "La función dilogarítmica de un argumento real". Math. Comp . 33 (146): 778–787. doi : 10.1090/S0025-5718-1979-0521291-X . MR  0521291.
• Loxton, JH (1984). "Valores especiales del dilogaritmo". Acta Arith . 18 (2): 155–166. doi : 10.4064/aa-43-2-155-166 . MR  0736728.
• Kirillov, Anatol N. (1995). "Identidades de dilogaritmo". Suplemento del Progreso de la Física Teórica . 118 : 61–142. arXiv : hep-th/9408113 . Código Bibliográfico : 1995PThPS.118...61K. doi : 10.1143/PTPS.118.61. S2CID  : 119177149.
• Oscar, Carlos; Palaciano, Jesús; Palacios, Manuel (1995). "Evaluación numérica del dilogaritmo de argumento complejo". Celeste. Mec. Din. Astron . 62 (1): 93–98. Código Bib :1995CeMDA..62...93O. doi :10.1007/BF00692071. S2CID  121304484.
• Zagier, Don (2007). "La función dilogaritmo". En Pierre Cartier; Pedro Moussa; Bernardo Julia; Pierre Vanhove (eds.). Fronteras en teoría de números, física y geometría II (PDF) . págs. 3–65. doi :10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN 978-3-540-30308-4.

Lectura adicional

• Bloch, Spencer J. (2000). Reguladores superiores, teoría K algebraica y funciones zeta de curvas elípticas . Serie de monografías CRM. Vol. 11. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-2114-8. Número de serie  0958.19001.

Enlaces externos

• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: dilogaritmo
• Weisstein, Eric W. "Dilogaritmo". MundoMatemático .