En el campo matemático de la teoría de nudos , el volumen hiperbólico de un vínculo hiperbólico es el volumen del complemento del vínculo con respecto a su métrica hiperbólica completa. El volumen es necesariamente un número real finito y es un invariante topológico del vínculo. [1] Como invariante del vínculo, fue estudiado por primera vez por William Thurston en relación con su conjetura de geometrización . [2]
Un enlace hiperbólico es un enlace en la 3-esfera cuyo complemento (el espacio formado al retirar el enlace de la 3-esfera) puede recibir una métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante , lo que le da la estructura de una 3-variedad hiperbólica , un cociente del espacio hiperbólico por un grupo que actúa libre y discontinuamente sobre él. Los componentes del enlace se convertirán en cúspides de la 3-variedad, y la propia variedad tendrá un volumen finito. Por la rigidez de Mostow , cuando un complemento de enlace tiene una estructura hiperbólica, esta estructura está determinada de forma única, y cualquier invariante geométrico de la estructura también es invariante topológico del enlace. En particular, el volumen hiperbólico del complemento es un invariante de nudo . Para que esté bien definido para todos los nudos o enlaces, el volumen hiperbólico de un nudo o enlace no hiperbólico a menudo se define como cero.
Hay sólo un número finito de nudos hiperbólicos para cualquier volumen dado. [2] Una mutación de un nudo hiperbólico tendrá el mismo volumen, [3] por lo que es posible inventar ejemplos con volúmenes iguales; de hecho, hay conjuntos finitos arbitrariamente grandes de nudos distintos con volúmenes iguales. [2] En la práctica, el volumen hiperbólico ha demostrado ser muy eficaz para distinguir nudos, utilizado en algunos de los amplios esfuerzos de tabulación de nudos . El programa informático SnapPea de Jeffrey Weeks es la herramienta omnipresente que se utiliza para calcular el volumen hiperbólico de un enlace. [1]
En términos más generales, el volumen hiperbólico puede definirse para cualquier variedad hiperbólica de 3 dimensiones . La variedad de Weeks tiene el menor volumen posible de cualquier variedad cerrada (una variedad que, a diferencia de los complementos de enlace, no tiene cúspides); su volumen es aproximadamente 0,9427. [5]
Thurston y Jørgensen demostraron que el conjunto de números reales que son volúmenes hiperbólicos de 3-variedades está bien ordenado , con tipo de orden ω ω . [6] El punto límite más pequeño en este conjunto de volúmenes está dado por el complemento del nudo del nudo en forma de ocho , [7] y el punto límite más pequeño de los puntos límite está dado por el complemento del enlace de Whitehead . [8]