En matemáticas , más precisamente en topología y geometría diferencial , una 3-variedad hiperbólica es una variedad de dimensión 3 dotada de una métrica hiperbólica , es decir, una métrica de Riemann que tiene todas sus curvaturas seccionales iguales a −1. Generalmente se requiere que esta métrica también sea completa : en este caso, la variedad puede realizarse como un cociente del espacio hiperbólico tridimensional por un grupo discreto de isometrías (un grupo kleiniano ).
Las 3-variedades hiperbólicas de volumen finito tienen una importancia particular en la topología tridimensional , como se desprende de la conjetura de geometrización de Thurston demostrada por Perelman. El estudio de los grupos kleinianos también es un tema importante en la teoría geométrica de grupos .
La geometría hiperbólica es la más rica y menos comprendida de las ocho geometrías en dimensión 3 (por ejemplo, para todas las demás geometrías no es difícil dar una enumeración explícita de las variedades de volumen finito con esta geometría, mientras que este está lejos de ser el caso para las variedades hiperbólicas ). Después de la prueba de la conjetura de geometrización, comprender las propiedades topológicas de las 3-variedades hiperbólicas es, por lo tanto, un objetivo principal de la topología tridimensional. Los avances recientes de Kahn-Markovic, Wise, Agol y otros han respondido a la mayoría de las preguntas abiertas de larga data sobre el tema, pero todavía hay muchas otras menos importantes que no se han resuelto. [1]
En dimensión 2 casi todas las superficies cerradas son hiperbólicas (todas excepto la esfera, el plano proyectivo, el toro y la botella de Klein). En dimensión 3 esto está lejos de ser cierto: hay muchas maneras de construir infinitas variedades cerradas no hiperbólicas. Por otra parte, la afirmación heurística de que "una variedad 3-genérica tiende a ser hiperbólica" se verifica en muchos contextos. Por ejemplo, cualquier nudo que no sea un nudo satélite o un nudo toroidal es hiperbólico. [2] Además, casi todas las cirugías de Dehn sobre un nudo hiperbólico producen una variedad hiperbólica. Un resultado similar es cierto para los enlaces ( teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston ), y dado que todas las variedades 3-se obtienen como cirugías sobre un enlace en la esfera 3, esto da un sentido más preciso a la afirmación informal. Otro sentido en el que "casi todas" las variedades son hiperbólicas en dimensión 3 es el de los modelos aleatorios. Por ejemplo, las divisiones aleatorias de Heegaard de género al menos 2 son casi seguramente hiperbólicas (cuando la complejidad del mapa de unión tiende al infinito). [3]
La relevancia de la geometría hiperbólica de una 3-variedad para su topología también proviene del teorema de rigidez de Mostow , que establece que la estructura hiperbólica de una 3-variedad hiperbólica de volumen finito está determinada únicamente por su tipo de homotopía. En particular, los invariantes geométricos como el volumen se pueden utilizar para definir nuevos invariantes topológicos.
En este caso una herramienta importante para entender la geometría de una variedad es la descomposición gruesa-delgada . Establece que una 3-variedad hiperbólica de volumen finito tiene una descomposición en dos partes:
La descomposición gruesa-delgada es válida para todas las 3-variedades hiperbólicas, aunque en general la parte delgada no es como la descrita anteriormente. Se dice que una 3-variedad hiperbólica es geométricamente finita si contiene una subvariedad convexa (su núcleo convexo ) sobre la que se retrae, y cuya parte gruesa es compacta (nótese que todas las variedades tienen un núcleo convexo, pero en general no es compacto). [4] El caso más simple es cuando la variedad no tiene "cúspides" (es decir, el grupo fundamental no contiene elementos parabólicos), en cuyo caso la variedad es geométricamente finita si y solo si es el cociente de un subconjunto cerrado y convexo del espacio hiperbólico por un grupo que actúa de manera cocompacta sobre este subconjunto.
Esta es la clase más grande de variedades hiperbólicas de 3 dimensiones para las que existe una teoría estructural satisfactoria. Se basa en dos teoremas:
La construcción más antigua de variedades hiperbólicas, que se remonta al menos a Poincaré, es la siguiente: se parte de una colección finita de politopos finitos hiperbólicos tridimensionales . Supóngase que hay un emparejamiento lateral entre las caras bidimensionales de estos poliedros (es decir, cada una de esas caras está emparejada con otra, distinta, de modo que son isométricas entre sí como polígonos hiperbólicos bidimensionales), y se considera el espacio obtenido al pegar las caras emparejadas (formalmente esto se obtiene como un espacio cociente ). Lleva una métrica hiperbólica que está bien definida fuera de la imagen de los 1-esqueletos de los poliedros. Esta métrica se extiende a una métrica hiperbólica en todo el espacio si se cumplen las dos condiciones siguientes: [5]
Un ejemplo notable de esta construcción es el espacio de Seifert-Weber , que se obtiene pegando caras opuestas de un dodecaedro regular .
Una variación de esta construcción es mediante el uso de politopos de Coxeter hiperbólicos (politopos cuyos ángulos diedros son de la forma ). Un politopo de este tipo da lugar a un grupo de reflexión kleiniano , que es un subgrupo discreto de isometrías del espacio hiperbólico. Tomando un subgrupo de índice finito libre de torsión se obtiene una variedad hiperbólica (que se puede recuperar mediante la construcción anterior, pegando copias del politopo de Coxeter original de una manera prescrita por un gráfico de clase lateral de Schreier apropiado ).
En la construcción anterior, las variedades obtenidas son siempre compactas. Para obtener variedades con cúspides, hay que utilizar politopos que tengan vértices ideales (es decir, vértices que se encuentren en la esfera en el infinito). En este contexto, la construcción por pegado no siempre produce una variedad completa. La completitud se detecta mediante un sistema de ecuaciones que involucra los ángulos diedros alrededor de las aristas adyacentes a un vértice ideal, que comúnmente se denominan ecuaciones de pegado de Thurston. En caso de que el pegado sea completo, los vértices ideales se convierten en cúspides en la variedad. Un ejemplo de una variedad hiperbólica no compacta de volumen finito obtenida de esta manera es la variedad de Gieseking , que se construye pegando las caras de un tetraedro hiperbólico ideal regular .
También es posible construir una variedad hiperbólica completa de volumen finito cuando el pegado no es completo. En este caso, la terminación del espacio métrico obtenido es una variedad con un toro de contorno y, bajo algunas condiciones (no genéricas), es posible pegar un toro sólido hiperbólico en cada componente de contorno de modo que el espacio resultante tenga una métrica hiperbólica completa. Topológicamente, la variedad se obtiene mediante cirugía hiperbólica de Dehn sobre la variedad hiperbólica completa que resultaría de un pegado completo.
No se sabe si todas las 3-variedades hiperbólicas de volumen finito se pueden construir de esta manera. [6] Sin embargo, en la práctica, así es como el software computacional (como SnapPea o Regina ) almacena las variedades hiperbólicas. [7]
La construcción de grupos aritméticos kleinianos a partir de álgebras de cuaterniones da lugar a variedades hiperbólicas particularmente interesantes. Por otra parte, son en cierto sentido "raras" entre las variedades hiperbólicas de 3 dimensiones (por ejemplo, la cirugía hiperbólica de Dehn sobre una variedad fija da como resultado una variedad no aritmética para casi todos los parámetros).
A diferencia de las construcciones explícitas anteriores, es posible deducir la existencia de una estructura hiperbólica completa en una variedad 3-variedad a partir de información topológica pura. Esto es una consecuencia de la conjetura de geometrización y puede enunciarse de la siguiente manera (una afirmación a la que a veces se hace referencia como "teorema de hiperbolización", que fue demostrada por Thurston en el caso especial de las variedades de Haken):
Si una variedad 3-compacta con borde tórico es irreducible y algebraicamente atoroidal (lo que significa que cada toro inmerso -inyectivamente es homotópico a un componente del borde), entonces su interior lleva una métrica hiperbólica completa de volumen finito.
Un caso particular es el de un fibrado superficial sobre el círculo : tales variedades son siempre irreducibles y tienen una métrica hiperbólica completa si y sólo si la monodromía es una función pseudo-Anosov .
Otra consecuencia de la conjetura de la geometrización es que cualquier variedad 3-cerrada que admita una métrica riemanniana con curvaturas seccionales negativas admite de hecho una métrica riemanniana con curvatura seccional constante -1. Esto no es cierto en dimensiones superiores. [8]
Las propiedades topológicas de las 3-variedades son lo suficientemente intrincadas como para que en muchos casos sea interesante saber que una propiedad se cumple virtualmente para una clase de variedades, es decir, para cualquier variedad de la clase existe un espacio de recubrimiento finito de la variedad con la propiedad. Las propiedades virtuales de las 3-variedades hiperbólicas son objeto de una serie de conjeturas de Waldhausen y Thurston, que fueron recientemente demostradas por Ian Agol siguiendo el trabajo de Jeremy Kahn, Vlad Markovic, Frédéric Haglund, Dani Wise y otros. La primera parte de las conjeturas estaba lógicamente relacionada con la conjetura virtualmente de Haken . En orden de fuerza son: [9]
Otra conjetura (también probada por Agol) que implica los puntos 1-3 anteriores pero a priori no tiene relación con 4 es la siguiente:
Se dice que una sucesión de grupos kleinianos es geométricamente convergente si converge en la topología de Chabauty . Para las variedades obtenidas como cocientes esto equivale a que sean convergentes en la métrica apuntada de Gromov-Hausdorff .
El volumen hiperbólico puede utilizarse para ordenar el espacio de todas las variedades hiperbólicas. El conjunto de variedades correspondientes a un volumen dado es, como máximo, finito, y el conjunto de volúmenes está bien ordenado y es de tipo de orden . Más precisamente, el teorema de cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston implica que una variedad con cúspides es un límite de una secuencia de variedades con cúspides para cualquier , de modo que los puntos aislados son volúmenes de variedades compactas, las variedades con exactamente una cúspide son límites de variedades compactas, y así sucesivamente. Junto con los resultados de Jørgensen, el teorema también demuestra que cualquier secuencia convergente debe obtenerse mediante cirugías de Dehn sobre la variedad límite. [10]
Las secuencias de grupos de superficies cuasi-fucsianas de un género dado pueden converger a un grupo de superficie doblemente degenerado, como en el teorema del doble límite .
