En matemáticas , diferencial de primera especie es un término tradicional utilizado en las teorías de superficies de Riemann (más generalmente, variedades complejas ) y curvas algebraicas (más generalmente, variedades algebraicas ), para 1-formas diferenciales regulares en todas partes . Dada una variedad compleja M , una diferencial de primera especie ω es por lo tanto lo mismo que una 1-forma que es holomorfa en todas partes ; en una variedad algebraica V que no es singular , sería una sección global del haz coherente Ω 1 de diferenciales de Kähler . En cualquier caso, la definición tiene su origen en la teoría de integrales abelianas .
La dimensión del espacio de diferenciales de primer tipo, mediante esta identificación, es el número de Hodge
Las diferenciales de primera especie, cuando se integran a lo largo de trayectorias, dan lugar a integrales que generalizan las integrales elípticas a todas las curvas sobre los números complejos . Entre ellas se incluyen, por ejemplo, las integrales hiperelípticas de tipo
donde Q es un polinomio libre de cuadrados de cualquier grado dado > 4. La potencia admisible k debe determinarse mediante el análisis del polo posible en el punto en el infinito sobre la curva hiperelíptica correspondiente . Cuando se hace esto, se encuentra que la condición es
o en otras palabras, k como máximo 1 para grado de Q 5 o 6, como máximo 2 para grado 7 u 8, y así sucesivamente (ya que g = [(1+ deg Q )/2]).
En términos generales, como ilustra este ejemplo, para una superficie de Riemann compacta o una curva algebraica , el número de Hodge es el género g . Para el caso de las superficies algebraicas , esta es la cantidad conocida clásicamente como irregularidad q . También es, en general, la dimensión de la variedad albanesa , que reemplaza a la variedad jacobiana .
La terminología tradicional también incluía diferenciales de segundo y tercer tipo . La idea detrás de esto ha sido apoyada por teorías modernas de formas diferenciales algebraicas, tanto desde el lado de la teoría más de Hodge como a través del uso de morfismos para grupos algebraicos conmutativos .
La función zeta de Weierstrass se denominó integral de segundo tipo en la teoría de funciones elípticas ; es una derivada logarítmica de una función theta y, por lo tanto, tiene polos simples , con residuos enteros. La descomposición de una función elíptica ( meromórfica ) en partes de "tres tipos" es paralela a la representación como (i) una constante, más (ii) una combinación lineal de traslaciones de la función zeta de Weierstrass, más (iii) una función con polos arbitrarios pero sin residuos en ellos.
El mismo tipo de descomposición existe en general, mutatis mutandis , aunque la terminología no es completamente consistente. En la teoría de grupos algebraicos ( jacobiana generalizada ), los tres tipos son variedades abelianas , toros algebraicos y espacios afines , y la descomposición se realiza en términos de una serie de composición .
Por otra parte, una diferencial abeliana meromórfica de segundo tipo ha sido tradicionalmente una con residuos en todos los polos que son cero. Una de tercer tipo es una en la que todos los polos son simples. Existe un análogo de dimensión superior disponible, que utiliza el residuo de Poincaré .
