En geometría algebraica, un jacobiano generalizado es un grupo algebraico conmutativo asociado a una curva con un divisor, que generaliza la variedad jacobiana de una curva completa. Fueron introducidos por Maxwell Rosenlicht en 1954, y pueden usarse para estudiar recubrimientos ramificados de una curva, con grupo de Galois abeliano . Los jacobianos generalizados de una curva son extensiones del jacobiano de la curva por un grupo algebraico afín conmutativo , lo que da ejemplos no triviales del teorema de estructura de Chevalley .
Supóngase que C es una curva completa no singular , m es un divisor efectivo en C , S es el soporte de m y P es un punto base fijo en C no en S . El jacobiano generalizado J m es un grupo algebraico conmutativo con una función racional f de C a J m tal que:
Además, J m es el grupo universal con estas propiedades, en el sentido de que cualquier función racional de C a un grupo con las propiedades anteriores se factoriza únicamente a través de J m . El grupo J m no depende de la elección del punto base P , aunque al cambiar P se cambia esa función f mediante una traslación.
Para m = 0 el jacobiano generalizado J m es simplemente el jacobiano usual J , una variedad abeliana de dimensión g , el género de C .
Para m un divisor efectivo distinto de cero, el jacobiano generalizado es una extensión de J por un grupo algebraico afín conmutativo conexo L m de dimensión deg( m )−1. Por lo tanto, tenemos una secuencia exacta
El grupo L m es un cociente
de un producto de grupos R i por el grupo multiplicativo G m del cuerpo subyacente. El producto recorre los puntos P i en el soporte de m , y el grupo U P i ( n i ) es el grupo de elementos invertibles del anillo local módulo aquellos que son 1 módulo P i n i . El grupo U P i ( n i ) tiene dimensión n i , el número de veces que P i aparece en m . Es el producto del grupo multiplicativo G m por un grupo unipotente de dimensión n i −1, que en característica 0 es isomorfo a un producto de n i −1 grupos aditivos.
Sobre los números complejos , la estructura algebraica del jacobiano generalizado determina una estructura analítica del jacobiano generalizado convirtiéndolo en un grupo de Lie complejo .
El subgrupo analítico subyacente al jacobiano generalizado se puede describir de la siguiente manera. (Esto no siempre determina la estructura algebraica ya que dos grupos algebraicos conmutativos no isomorfos pueden ser isomorfos como grupos analíticos). Supóngase que C es una curva con un divisor efectivo m con soporte S . Hay una función natural del grupo de homología H 1 ( C − S ) al dual Ω(− m )* del espacio vectorial complejo Ω(− m ) (1-formas con polos en m ) inducida por la integral de una 1-forma sobre un 1-ciclo. El jacobiano generalizado analítico es entonces el grupo cociente Ω(− m )*/ H 1 ( C − S ).