Polinomio simétrico de suma de potencias

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , los polinomios simétricos suma de potencias son un tipo de bloque de construcción básico para los polinomios simétricos , en el sentido de que todo polinomio simétrico con coeficientes racionales puede expresarse como una suma y diferencia de productos de polinomios simétricos suma de potencias con coeficientes racionales. Sin embargo, no todo polinomio simétrico con coeficientes enteros se genera por combinaciones enteras de productos de polinomios suma de potencias: son un conjunto generador sobre los racionales, pero no sobre los enteros.

Definición

El polinomio simétrico suma de potencias de grado k en las variables x ₁ , ..., x _n , escrito p _k para k = 0, 1, 2, ..., es la suma de todas las potencias k de las variables. Formalmente, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.}$

Los primeros de estos polinomios son

${\displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=1+1+\cdots +1=n\,,}$

${\displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,}$

${\displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,.}$

Por lo tanto, para cada entero no negativo , existe exactamente un polinomio simétrico de suma de potencias de grado en variables. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

El anillo polinomial formado al tomar todas las combinaciones lineales integrales de productos de polinomios simétricos de suma de potencias es un anillo conmutativo .

Ejemplos

A continuación se enumeran los polinomios simétricos de suma de potencias de grados positivos hasta n para los primeros tres valores positivos de En cada caso, es uno de los polinomios. La lista llega hasta el grado n porque los polinomios simétricos de suma de potencias de grados 1 a n son básicos en el sentido del teorema que se indica a continuación. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p_{0}=n}$

Para n = 1:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}\,.}$

Para n = 2:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.}$

Para n = 3:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,}$

Propiedades

El conjunto de polinomios simétricos suma de potencias de grados 1, 2, ..., n en n variables genera el anillo de polinomios simétricos en n variables. Más específicamente:

Teorema . El anillo de polinomios simétricos con coeficientes racionales es igual al anillo de polinomios racionales. Lo mismo es cierto si los coeficientes se toman en cualquier cuerpo de característica 0. ${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

Sin embargo, esto no es cierto si los coeficientes deben ser números enteros. Por ejemplo, para n = 2, el polinomio simétrico

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}$

tiene la expresión

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,,}$

que involucra fracciones. Según el teorema, esta es la única forma de representar en términos de p ₁ y p ₂ . Por lo tanto, P no pertenece al anillo de polinomios integrales . Otro ejemplo, los polinomios simétricos elementales e _k , expresados ​​como polinomios en los polinomios de suma de potencias, no tienen todos coeficientes integrales. Por ejemplo, ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

${\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,.}$

El teorema también es falso si el campo tiene característica diferente de 0. Por ejemplo, si el campo F tiene característica 2, entonces , por lo que p ₁ y p ₂ no pueden generar e ₂ = x ₁ x ₂ . ${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}}$

Esbozo de una prueba parcial del teorema : Por las identidades de Newton , las sumas de potencias son funciones de los polinomios simétricos elementales; esto está implícito en la siguiente relación de recurrencia , aunque la función explícita que da las sumas de potencias en términos de e _j es complicada:

${\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{j}p_{n-j}\,.}$

Reescribiendo la misma recurrencia, se tienen los polinomios simétricos elementales en términos de las sumas de potencias (también implícitamente, siendo complicada la fórmula explícita):

${\displaystyle e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{n-j}p_{j}\,.}$

Esto implica que los polinomios elementales son combinaciones lineales racionales, aunque no integrales, de los polinomios suma de potencias de grados 1, ..., n . Dado que los polinomios simétricos elementales son una base algebraica para todos los polinomios simétricos con coeficientes en un cuerpo, se deduce que cada polinomio simétrico en n variables es una función polinómica de los polinomios simétricos suma de potencias p ₁ , ..., p _n . Es decir, el anillo de polinomios simétricos está contenido en el anillo generado por las sumas de potencias, Dado que cada polinomio suma de potencias es simétrico, los dos anillos son iguales. ${\displaystyle f(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

(Esto no muestra cómo demostrar que el polinomio f es único).

Para otro sistema de polinomios simétricos con propiedades similares, consulte polinomios simétricos homogéneos completos .

Véase también

• Teoría de la representación
• Las identidades de Newton

Referencias

• Ian G. Macdonald (1979), Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press.
• Ian G. Macdonald (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , segunda edición, Oxford: Clarendon Press. ISBN  0-19-850450-0 (libro de bolsillo, 1998).
• Richard P. Stanley (1999), Combinatoria enumerativa , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1