Transformación de Tschirnhaus

Término matemático; tipo de transformación polinomial

Ehrenfried Walther von Tschirnhaus

En matemáticas , una transformación de Tschirnhaus , también conocida como transformación de Tschirnhausen , es un tipo de mapeo sobre polinomios desarrollado por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1683. ^[1]

Simplemente, es un método para transformar una ecuación polinómica de grado con algunos coeficientes intermedios distintos de cero, de modo que algunos o todos los coeficientes intermedios transformados, sean exactamente cero. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle a_{1},...,a_{n-1}}$ ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Por ejemplo, encontrar una sustitución

$${\displaystyle y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}}$$

${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$

${\displaystyle x=x(y)}$

$${\displaystyle f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a'_{1}y+a'_{0}}$$

${\displaystyle a'_{1}=0}$ ${\displaystyle a'_{2}=0}$

De manera más general, puede definirse convenientemente mediante la teoría de campos , como la transformación en polinomios mínimos implicada por una elección diferente de elemento primitivo . Esta es la transformación más general de un polinomio irreducible que tiene como raíz alguna función racional aplicada a esa raíz.

Definición

Para una ecuación polinomial mónica reducible de grado genérico de la forma , donde y son polinomios y no desaparece en , ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

$${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$$

$${\displaystyle y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_{n}}$$

idénticamente cero^{[2] [3]} ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(y)}$ ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Ejemplo: método de Tschirnhaus para ecuaciones cúbicas

En el artículo de Tschirnhaus de 1683, ^[1] resolvió la ecuación

$${\displaystyle f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r=0}$$

$${\displaystyle y(x;a)=x-a\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.}$$

$${\displaystyle f'(y;a)=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+qa-r)=0}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}a'_{1}=3a-p\\a'_{2}=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}=a^{3}-pa^{2}+qa-r\end{cases}}.}$$

${\displaystyle a'_{1}=0}$

$${\displaystyle 3a-p=0\rightarrow a={\frac {p}{3}}}$$

$${\displaystyle y=x-{\frac {p}{3}},}$$

${\displaystyle f'(y;a)}$

$${\displaystyle f'(y)=y^{3}-q'y-r'.}$$

$${\displaystyle x^{2}(y;a,b)=x^{2}=bx+y+a}$$

Generalización

En detalle, sea un campo y un polinomio sobre . Si es irreducible, entonces el anillo cociente del anillo polinómico por el ideal principal generado por , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K[t]}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$,

es una extensión de campo de . Tenemos ${\displaystyle K}$

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

¿Dónde está el módulo ? Es decir, cualquier elemento de es un polinomio en , que por tanto es un elemento primitivo de . Habrá otras opciones de elemento primitivo en : para cualquier elección de este tipo tendremos por definición: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (P)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

con polinomios y más . Ahora bien, si es el polinomio mínimo para over , podemos llamar una transformación de Tschirnhaus de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus de un polinomio irreducible debe describirse como que recorre todas las formas de cambiar , pero deja lo mismo. Este concepto se utiliza para reducir las quinticas a la forma Bring-Jerrard , por ejemplo. Existe una conexión con la teoría de Galois , cuando es una extensión de Galois . El grupo de Galois puede considerarse entonces como todas las transformaciones de Tschirnhaus sobre sí mismo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

Historia

En 1683, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus publicó un método para reescribir un polinomio de grado tal que los términos y tengan coeficientes cero. En su artículo, Tschirnhaus hizo referencia a un método de René Descartes para reducir un polinomio cuadrático de modo que el término tenga coeficiente cero. ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle x^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{n-2}}$ ${\displaystyle (n=2)}$ ${\displaystyle x}$

En 1786, Erland Samuel Bring amplió este trabajo y demostró que cualquier polinomio quíntico genérico podía reducirse de manera similar.

En 1834, George Jerrard amplió aún más el trabajo de Tschirnhaus al mostrar que se puede utilizar una transformación de Tschirnhaus para eliminar , y para un polinomio general de grado . ^[3] ${\displaystyle x^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{n-2}}$ ${\displaystyle x^{n-3}}$ ${\displaystyle n>3}$

Ver también

• Transformaciones polinomiales
• Polinomio mónico
• Polinomio reducible
• función quíntica
• Teoría de Galois
• Teorema de Abel-Ruffini

Referencias

1. von Tschirnhaus, Ehrenfried Walter; Verde, RF (1 de marzo de 2003). "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación determinada". Boletín ACM SIGSAM . 37 (1): 1–3. doi : 10.1145/844076.844078 . ISSN  0163-5824. S2CID  18911887.
2. Garver, Raymond (1927). "La transformación de Tschirnhaus". Anales de Matemáticas . 29 (1/4): 319–333. doi :10.2307/1968002. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968002.
3. CB Boyer (1968) Una historia de las matemáticas . Wiley, Nueva York págs. 472-473. Según lo informado por : Weisstein, Eric W. "Transformación de Tschirnhausen". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de febrero de 2022 .