Transformación polinómica

Transformación de un polinomio inducida por una transformación de sus raíces

En matemáticas , una transformación polinómica consiste en calcular el polinomio cuyas raíces son una función dada de las raíces de un polinomio. Las transformaciones polinómicas, como las transformaciones de Tschirnhaus, se utilizan a menudo para simplificar la solución de ecuaciones algebraicas .

Ejemplos sencillos

Traduciendo las raíces

Dejar

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

sea ​​un polinomio, y

${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

sean sus raíces complejas (no necesariamente distintas).

Para cualquier constante c , el polinomio cuyas raíces son

${\displaystyle \alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c}$

es

${\displaystyle Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Si los coeficientes de P son números enteros y la constante es un número racional , los coeficientes de Q pueden no ser números enteros, pero el polinomio c ⁿ Q tiene coeficientes enteros y tiene las mismas raíces que Q. ${\displaystyle c={\frac {p}{q}}}$

Un caso especial es cuando el polinomio resultante Q no tiene ningún término en y ^{n − 1} . ${\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.}$

Recíprocos de las raíces

Dejar

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

sea ​​un polinomio. El polinomio cuyas raíces son los recíprocos de las raíces de P como raíces es su polinomio recíproco

${\displaystyle Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Escalando las raíces

Dejar

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

sea ​​un polinomio y c sea una constante distinta de cero. Un polinomio cuyas raíces son el producto por c de las raíces de P es

${\displaystyle Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.}$

El factor c ⁿ aparece aquí porque, si c y los coeficientes de P son números enteros o pertenecen a algún dominio integral , lo mismo es cierto para los coeficientes de Q.

En el caso especial donde , todos los coeficientes de Q son múltiplos de c , y es un polinomio mónico , cuyos coeficientes pertenecen a cualquier dominio integral que contiene c y los coeficientes de P . Esta transformación polinómica se utiliza a menudo para reducir preguntas sobre números algebraicos a preguntas sobre números enteros algebraicos . ${\displaystyle c=a_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {Q}{c}}}$

Combinando esto con una traducción de las raíces por , permite reducir cualquier pregunta sobre las raíces de un polinomio, como la búsqueda de raíces , a una pregunta similar sobre un polinomio más simple, que es mónico y no tiene un término de grado n − 1 . Para ver ejemplos de esto, consulte Función cúbica § Reducción a una función cúbica deprimida o Función cuártica § Conversión a una función cuártica deprimida . ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$

Transformación por una función racional

Todos los ejemplos anteriores son transformaciones polinómicas mediante una función racional , también llamadas transformaciones de Tschirnhaus . Sea

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

sea ​​una función racional, donde g y h son polinomios coprimos . La transformación polinómica de un polinomio P por f es el polinomio Q (definido hasta el producto por una constante no nula) cuyas raíces son las imágenes por f de las raíces de P .

Una transformación polinómica de este tipo puede calcularse como una resultante . De hecho, las raíces del polinomio deseado Q son exactamente los números complejos y tales que existe un número complejo x tal que se tiene simultáneamente (si los coeficientes de P , g y h no son números reales o complejos, "número complejo" debe reemplazarse por "elemento de un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los polinomios de entrada" ).

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}}$

Ésta es exactamente la propiedad definitoria de la resultante.

${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).}$

Por lo general, esto es difícil de calcular a mano. Sin embargo, como la mayoría de los sistemas de álgebra computacional tienen una función incorporada para calcular las resultantes, es sencillo calcularlo con una computadora .

Propiedades

Si el polinomio P es irreducible , entonces el polinomio resultante Q es irreducible o es una potencia de un polinomio irreducible. Sea una raíz de P y considere L , la extensión del cuerpo generada por . El primer caso significa que es un elemento primitivo de L , que tiene a Q como polinomio mínimo . En el segundo caso, pertenece a un subcuerpo de L y su polinomio mínimo es el polinomio irreducible que tiene a Q como potencia. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(\alpha )}$ ${\displaystyle f(\alpha )}$

Transformación para la resolución de ecuaciones

Las transformaciones polinómicas se han aplicado a la simplificación de ecuaciones polinómicas para su solución, cuando es posible, por radicales. Descartes introdujo la transformación de un polinomio de grado d que elimina el término de grado d − 1 mediante una traslación de las raíces. Un polinomio de este tipo se denomina deprimido . Esto ya es suficiente para resolver la ecuación cuadrática mediante raíces cuadradas. En el caso de la cúbica, las transformaciones de Tschirnhaus reemplazan la variable por una función cuadrática, lo que permite eliminar dos términos, y por lo tanto se pueden utilizar para eliminar el término lineal en una cúbica deprimida para lograr la solución de la cúbica mediante una combinación de raíces cuadradas y cúbicas. La transformación de Bring-Jerrard, que es cuártica en la variable, convierte una ecuación de quinto grado en la forma normal de Bring-Jerrard con términos de grado 5, 1 y 0.

Referencias

• Adamchik, Victor S.; Jeffrey, David J. (2003). "Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard" (PDF) . SIGSAM Bull . 37 (3): 90–94. Zbl  1055.65063. Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009.