Teorema masivo que asigna todos menos 27 grupos simples finitos a unas pocas familias infinitas
En matemáticas , la clasificación de grupos finitos simples es el resultado de la teoría de grupos que establece que cada grupo finito simple es cíclico o alterno , o pertenece a una amplia clase infinita llamada grupos de tipo Lie , o bien es uno de veinticinco grupos. seis o veintisiete excepciones, llamadas esporádicas . La prueba consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004.
El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos finitos simples. Gracias al teorema de clasificación, estas preguntas a veces pueden responderse comprobando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.
Daniel Gorenstein anunció en 1983 que todos los grupos finitos simples habían sido clasificados, pero esto fue prematuro ya que había sido mal informado sobre la prueba de la clasificación de los grupos cuasifines . Aschbacher (2004) anunció la prueba completa de la clasificación después de que Aschbacher y Smith publicaran una prueba de 1221 páginas para el caso cuasifino faltante.
Resumen de la demostración del teorema de clasificación.
Gorenstein (1982, 1983) escribió dos volúmenes describiendo la parte característica extraña y de bajo rango de la prueba, y Michael Aschbacher , Richard Lyons y Stephen D. Smith et al. (2011) escribieron un tercer volumen que cubre el caso restante de la característica 2. La prueba se puede dividir en varias partes principales de la siguiente manera:
Grupos pequeños de 2 rangos.
Los grupos simples de rango 2 bajo son en su mayoría grupos de tipo Lie de rango pequeño sobre campos de características impares, junto con cinco tipos alternos y siete de características 2 y nueve grupos esporádicos.
Grupos de 2 rangos 1. Los 2 subgrupos de Sylow son cíclicos, lo cual es fácil de manejar usando el mapa de transferencia, o cuaterniones generalizados , que se manejan con el teorema de Brauer-Suzuki : en particular, no hay grupos simples de 2-. rango 1 excepto el grupo cíclico de orden dos.
Grupos de 2 rango 2. Alperin demostró que el subgrupo Sylow debe ser diédrico, cuasidiédrico, en forma de corona o un subgrupo Sylow 2 de U 3 (4). El primer caso se resolvió mediante el teorema de Gorenstein-Walter , que demostró que los únicos grupos simples son isomorfos a L 2 ( q ) para q impar o A 7 , el segundo y tercer caso se resolvieron mediante el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein, que implica que los únicos grupos simples son isomorfos a L 3 ( q ) o U 3 ( q ) para q impar o M 11 , y el último caso fue realizado por Lyons quien demostró que U 3 (4) es la única posibilidad simple.
La clasificación de grupos de rango 2 pequeños, especialmente rangos como máximo 2, hace un uso intensivo de la teoría de caracteres ordinaria y modular, que casi nunca se utiliza directamente en otras partes de la clasificación.
Todos los grupos que no sean de rango pequeño 2 se pueden dividir en dos clases principales: grupos de tipo de componente y grupos de tipo característico 2. Esto se debe a que si un grupo tiene rango 2 seccional al menos 5, entonces MacWilliams demostró que sus 2 subgrupos de Sylow están conexos, y el teorema del equilibrio implica que cualquier grupo simple con 2 subgrupos de Sylow conectados es de tipo componente o de tipo característico 2. . (Para grupos de rango 2 bajo, la prueba de esto no se cumple, porque teoremas como el teorema del funtor del señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango al menos 3).
Grupos de tipo de componente
Se dice que un grupo es de tipo componente si para algún centralizador C de una involución, C / O ( C ) tiene un componente (donde O ( C ) es el núcleo de C , el subgrupo normal máximo de orden impar). Estos son más o menos los grupos de tipo Lie de característica impar de gran rango, y grupos alternos, junto con algunos grupos esporádicos. Un paso importante en este caso es eliminar la obstrucción del núcleo de una involución. Esto se logra mediante el teorema B , que establece que cada componente de C / O ( C ) es la imagen de un componente de C.
La idea es que estos grupos tienen un centralizador de una involución con un componente que es un grupo cuasisimple más pequeño, que se puede suponer que ya se conoce por inducción. Entonces, para clasificar estos grupos se toma cada extensión central de cada grupo simple finito conocido y se encuentran todos los grupos simples con un centralizador de involución con este como componente. Esto da un número bastante grande de casos diferentes para verificar: no sólo hay 26 grupos esporádicos y 16 familias de grupos de tipo Lie y grupos alternos, sino que también muchos de los grupos de rango pequeño o de campos pequeños se comportan de manera diferente al general. caso y deben tratarse por separado, y los grupos de tipo Lie de características pares e impares también son bastante diferentes.
Grupos de tipo característico 2.
Un grupo es de tipo característica 2 si el subgrupo de ajuste generalizado F *( Y ) de cada subgrupo Y de 2 locales es un grupo de 2. Como sugiere el nombre, estos son aproximadamente los grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2, más un puñado de otros que son alternos, esporádicos o de característica extraña. Su clasificación se divide en casos de rango pequeño y grande, donde el rango es el rango más grande de un subgrupo abeliano impar que normaliza un subgrupo 2 no trivial, que a menudo (pero no siempre) es el mismo que el rango de una subálgebra de Cartan cuando el grupo es un grupo de tipo Lie en la característica 2.
Los grupos de rango 1 son los grupos delgados, clasificados por Aschbacher, y los de rango 2 son los notorios grupos cuasi finos , clasificados por Aschbacher y Smith. Estos corresponden aproximadamente a grupos de tipo Lie de rangos 1 o 2 sobre campos de característica 2.
Los grupos de rango al menos 3 se subdividen en 3 clases según el teorema de la tricotomía , demostrado por Aschbacher para el rango 3 y por Gorenstein y Lyons para el rango al menos 4. Las tres clases son grupos de tipo GF(2) (clasificados principalmente por Timmesfeld ), grupos de "tipo estándar" para algún primo impar (clasificados por el teorema de Gilman-Griess y trabajo de varios otros), y grupos de tipo unicidad, donde un resultado de Aschbacher implica que no hay grupos simples. El caso general de rango superior consiste principalmente en grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2 de rango al menos 3 o 4.
Existencia y unicidad de los grupos simples.
La parte principal de la clasificación produce una caracterización de cada grupo simple. Luego es necesario comprobar que existe un grupo simple para cada caracterización y que es único. Esto genera una gran cantidad de problemas separados; por ejemplo, las pruebas originales de la existencia y unicidad del grupo de monstruos sumaban unas 200 páginas, y la identificación de los grupos Ree por Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de unicidad de los grupos esporádicos utilizaron originalmente cálculos por computadora, la mayoría de los cuales han sido reemplazados desde entonces por pruebas manuales más cortas.
Historia de la prueba
El programa de Gorenstein
En 1972 Gorenstein (1979, Apéndice) anunció un programa para completar la clasificación de grupos finitos simples, que constaba de los siguientes 16 pasos:
Grupos de bajo rango 2. Esto fue hecho esencialmente por Gorenstein y Harada, quienes clasificaron los grupos con sección 2-rango como máximo 4. La mayoría de los casos de 2-rango como máximo 2 se habían hecho cuando Gorenstein anunció su programa.
La semisimplicidad de las 2 capas. El problema es demostrar que las 2 capas del centralizador de una involución en un grupo simple son semisimples.
Forma estándar en característica impar. Si un grupo tiene una involución con 2 componentes que es un grupo de tipo Lie de característica impar, el objetivo es mostrar que tiene un centralizador de involución en "forma estándar", lo que significa que un centralizador de involución tiene un componente que es de tipo Lie en característica impar y además tiene un centralizador de 2 rango 1.
Clasificación de grupos de tipo impar. El problema es demostrar que si un grupo tiene un centralizador de involución en "forma estándar", entonces es un grupo de tipo Lie de característica impar. Esto se resolvió mediante el teorema de involución clásico de Aschbacher .
Grupos con un subgrupo fuertemente integrado en p para p impar
El método del funtor señalizador para números primos impares. El principal problema es demostrar un teorema del funtor de señalización para funtores de señalización no solubles. Esto fue resuelto por McBride en 1982.
Grupos de tipo p característico . Este es el problema de los grupos con un subgrupo 2 local fuertemente incrustado en p con p impar, que fue manejado por Aschbacher.
Grupos cuasi finos. Un grupo cuasitina es aquel cuyos subgrupos 2-locales tienen p -rango como máximo 2 para todos los primos impares p , y el problema es clasificar los simples de tipo característico 2. Aschbacher y Smith lo completaron en 2004.
Grupos de 2 locales bajos de 3 rangos. Esto se resolvió esencialmente mediante el teorema de la tricotomía de Aschbacher para grupos con e ( G ) = 3. El cambio principal es que el rango 3 local 2 se reemplaza por el rango p 2 local para los primos impares.
Centralizadores de 3 elementos en forma estándar. Esto se hizo esencialmente mediante el teorema de la tricotomía .
Clasificación de grupos simples de característica 2 tipo. Esto fue manejado por el teorema de Gilman-Griess , con 3 elementos reemplazados por elementos p para los primos impares.
Cronología de la prueba
Muchos de los elementos del cuadro siguiente están tomados de Solomon (2001). La fecha indicada suele ser la fecha de publicación de la prueba completa de un resultado, que a veces es varios años posterior a la prueba o al primer anuncio del resultado, por lo que algunos de los elementos aparecen en el orden "incorrecto".
Clasificación de segunda generación
La demostración del teorema, tal como estaba alrededor de 1985, puede denominarse de primera generación . Debido a la extrema longitud de la prueba de primera generación, se ha dedicado mucho esfuerzo a encontrar una prueba más simple, llamada prueba de clasificación de segunda generación . Este esfuerzo, llamado "revisionismo", fue dirigido originalmente por Daniel Gorenstein .
Hasta 2023 [update], se han publicado diez volúmenes de la prueba de segunda generación (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). En 2012, Solomon estimó que el proyecto necesitaría otros cinco volúmenes, pero dijo que el progreso era lento. Se estima que la nueva prueba ocupará con el tiempo unas 5.000 páginas. (Esta extensión se debe en parte a que la prueba de segunda generación está escrita en un estilo más relajado). Sin embargo, con la publicación del volumen 9 de la serie GLS, e incluyendo la contribución de Aschbacher-Smith, esta estimación ya se alcanzó, con varias más volúmenes aún en preparación (el resto de lo que originalmente estaba previsto para el volumen 9, más los volúmenes proyectados 10 y 11). Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados al caso cuasifino de tal manera que esos volúmenes puedan ser parte de la prueba de segunda generación.
Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las que es posible una demostración más sencilla.
Lo más importante es que ahora se conoce el enunciado final correcto del teorema. Se pueden aplicar técnicas más simples que se sabe que son adecuadas para los tipos de grupos que sabemos que son finitos y simples. Por el contrario, quienes trabajaron en la prueba de primera generación no sabían cuántos grupos esporádicos había y, de hecho, algunos de los grupos esporádicos (por ejemplo, los grupos de Janko ) fueron descubiertos mientras demostraban otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas de las partes del teorema se demostraron utilizando técnicas demasiado generales.
Como se desconocía la conclusión, la demostración de primera generación consta de muchos teoremas independientes que tratan de casos especiales importantes. Gran parte del trabajo de demostrar estos teoremas se dedicó al análisis de numerosos casos especiales. Dada una prueba más amplia y orquestada, el tratamiento de muchos de estos casos especiales puede posponerse hasta que se puedan aplicar los supuestos más poderosos. El precio que se paga con esta estrategia revisada es que estos teoremas de primera generación ya no tienen demostraciones comparativamente cortas, sino que se basan en la clasificación completa.
Muchos teoremas de primera generación se superponen y, por tanto, dividen los casos posibles de manera ineficiente. Como resultado, se identificaron varias veces familias y subfamilias de grupos simples finitos. La prueba revisada elimina estas redundancias al basarse en una subdivisión de casos diferente.
Los teóricos de grupos finitos tienen más experiencia en este tipo de ejercicio y tienen nuevas técnicas a su disposición.
Aschbacher (2004) ha calificado el trabajo sobre el problema de clasificación de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y algunos otros como un programa de tercera generación . Uno de los objetivos de esto es tratar todos los grupos de la característica 2 de manera uniforme utilizando el método de amalgama.
Duración de la prueba
Gorenstein ha discutido algunas de las razones por las que podría no haber una prueba breve de la clasificación similar a la clasificación de grupos compactos de Lie .
La razón más obvia es que la lista de grupos simples es bastante complicada: con 26 grupos esporádicos es probable que haya muchos casos especiales que deban considerarse en cualquier prueba. Hasta ahora nadie ha encontrado una descripción limpia y uniforme de los grupos finitos simples similar a la parametrización de los grupos compactos de Lie mediante diagramas de Dynkin .
Atiyah y otros han sugerido que la clasificación debería simplificarse construyendo algún objeto geométrico sobre el que actúen los grupos y luego clasificando estas estructuras geométricas. El problema es que nadie ha podido sugerir una forma sencilla de encontrar una estructura geométrica asociada a un grupo simple. En cierto sentido, la clasificación funciona al encontrar estructuras geométricas como pares BN , pero esto sólo llega al final de un análisis muy largo y difícil de la estructura de un grupo finito simple.
Otra sugerencia para simplificar la prueba es hacer un mayor uso de la teoría de la representación . El problema aquí es que la teoría de la representación parece requerir un control muy estricto sobre los subgrupos de un grupo para funcionar bien. Para grupos de rango pequeño, esta teoría de control y representación funciona muy bien, pero para grupos de rango mayor nadie ha logrado utilizarla para simplificar la clasificación. En los primeros días de la clasificación, se hizo un esfuerzo considerable para utilizar la teoría de la representación, pero esto nunca logró mucho éxito en el caso de rango superior.
Consecuencias de la clasificación
Esta sección enumera algunos resultados que se han demostrado utilizando la clasificación de grupos finitos simples.
^ La familia infinita de grupos Ree de tipo 2 F 4 (2 2 n +1 ) contiene solo grupos finitos de tipo Lie. Son simples para n ≥1 ; para n =0 , el grupo 2 F 4 (2) no es simple, pero contiene el subgrupo conmutador simple 2 F 4 (2)′ . Entonces, si la familia infinita de grupos de conmutadores de tipo 2 F 4 (2 2 n +1 )′ se considera una familia infinita sistemática (todos del tipo Lie excepto n =0 ), el grupo de Tetas T := 2 F 4 ( 2)′ (como miembro de esta familia infinita) no es esporádico.
Citas
^ "El teorema de Feit-Thompson ha sido totalmente comprobado en Coq". msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Archivado desde el original el 19 de noviembre de 2016 . Consultado el 25 de septiembre de 2012 .
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"¿Dónde están las pruebas de segunda (y tercera) generación de la clasificación de grupos finitos simples?". Desbordamiento matemático .(Última actualización en junio de 2023)
