Conjetura de Sims

Conjetura en la teoría de grupos

En matemáticas , la conjetura de Sims es un resultado de la teoría de grupos , propuesta originalmente por Charles Sims . ^[1] Conjeturó que si es un grupo de permutación primitivo en un conjunto finito y denota el estabilizador del punto en , entonces existe una función de valor entero tal que para la longitud de cualquier órbita de en el conjunto . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(d)\geq |G_{\alpha }|}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle S\setminus \{\alpha \}}$

La conjetura fue probada por Peter Cameron , Cheryl Praeger , Jan Saxl y Gary Seitz usando la clasificación de grupos simples finitos , en particular el hecho de que solo existen un número finito de tipos de isomorfismo de grupos esporádicos .

El teorema se lee exactamente como sigue: ^[2]

Teorema  —  Existe una función tal que siempre que es un grupo de permutación primitivo y es la longitud de una órbita no trivial de un estabilizador puntual en , entonces el orden de es como máximo . ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h>1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f(h)}$

Por lo tanto, en un grupo de permutación primitivo con estabilizadores "grandes", estos estabilizadores no pueden tener ninguna órbita pequeña. Una consecuencia de su demostración es que sólo existe un número finito de grafos transitivos de distancia conexos que tengan un grado mayor que 2. ^{[3] [4] [5]}

Referencias

1. Sims, Charles C. (1967). "Gráficos y grupos de permutaciones finitos". Mathematische Zeitschrift . 95 (1): 76–86. doi :10.1007/BF01117534. S2CID  186227555.
2. Pyber, László; Tracey, Gareth (2021). "Algunas simplificaciones en la prueba de la conjetura de Sims". arXiv : 2102.06670 [math.GR].
3. Cameron, Peter J. ; Praeger, Cheryl E. ; Saxl, Jan ; Seitz, Gary M. (1983). "Sobre la conjetura de Sims y los grafos transitivos de distancia". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 15 (5): 499–506. doi :10.1112/blms/15.5.499.
4. Cameron, Peter J. (1982). "Sólo hay un número finito de grafos transitivos de distancia de valencia dada mayor que dos". Combinatorica . 2 (1): 9–13. doi :10.1007/BF02579277. S2CID  6483108.
5. Isaacs, I. Martin (2011). Teoría de grupos finitos . Sociedad Matemática Americana . ISBN 9780821843444. OCLC  935038216.