En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el teorema de Frobenius establece que si n divide el orden de un grupo finito G , entonces el número de soluciones de x n = 1 es un múltiplo de n . Fue introducido por Frobenius (1903).
Relacionada con esto está la conjetura de Frobenius ( probada posteriormente , pero no por Frobenius), que establece que si lo anterior es verdadero y el número de soluciones de x n = 1 es igual a n , entonces las soluciones forman un subgrupo normal .
Una versión más general del teorema de Frobenius establece que si C es una clase de conjugación con h elementos de un grupo finito G con g elementos y n es un entero positivo , entonces el número de elementos k tales que k n está en C es un múltiplo del máximo común divisor ( hn , g ) (Hall 1959, teorema 9.1.1).
Una aplicación del teorema de Frobenius es demostrar que los coeficientes de la exponencial de Artin-Hasse son p integrales, interpretándolos en términos del número de elementos de orden una potencia de p en el grupo simétrico S n .
Frobenius conjeturó que si además el número de soluciones de x n = 1 es exactamente n donde n divide el orden de G entonces estas soluciones forman un subgrupo normal. Esto ha sido demostrado (Iiyori & Yamaki 1991) como consecuencia de la clasificación de grupos simples finitos .
El grupo simétrico S 3 tiene exactamente 4 soluciones de x 4 = 1 pero éstas no forman un subgrupo normal; esto no es un contraejemplo de la conjetura ya que 4 no divide el orden de S 3, que es 6.