Diagrama de Coxeter-Dynkin

Representación pictórica de la simetría.

Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos finitos fundamentales de Coxeter

Diagramas de Coxeter-Dynkin para los grupos afines fundamentales de Coxeter

En geometría , un diagrama de Coxeter-Dynkin (o diagrama de Coxeter , gráfico de Coxeter ) es un gráfico con bordes etiquetados numéricamente (llamados ramas ) que representan un grupo de Coxeter o, a veces, un politopo uniforme o un mosaico uniforme construido a partir del grupo.

Los diagramas de Dynkin son objetos estrechamente relacionados, que se diferencian de los diagramas de Coxeter en dos aspectos: en primer lugar, las ramas etiquetadas con " 4 " o más son dirigidas , mientras que los diagramas de Coxeter no están dirigidos ; en segundo lugar, los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción ( cristalográfica ) adicional, a saber, que las únicas etiquetas de rama permitidas son 2, 3, 4 y 6. Los diagramas de Dynkin corresponden y se utilizan para clasificar sistemas de raíces y, por lo tanto, álgebras de Lie semisimples . ^[1]

Descripción

Un grupo Coxeter es un grupo que admite presentación:

$${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$

m _i,jmatriz simétrica M1diagonal^[a]Mmatriz de Coxeter

Dado que la matriz de Coxeter es simétrica, puede verse como la matriz de adyacencia de un gráfico con bordes etiquetados que tiene vértices correspondientes a los generadores r _i y bordes etiquetados con m _i,j entre los vértices correspondientes a r _i y r _j . Para simplificar estos diagramas, se pueden realizar dos cambios:

• Los bordes etiquetados con 2 se pueden omitir, lo que implica que los bordes faltantes son 2 s. Una etiqueta 2 indica que los dos generadores correspondientes conmutan; 2 es el número más pequeño que se puede utilizar para etiquetar un borde.
• Los bordes etiquetados con 3 se pueden dejar sin etiquetar, con la implicación de que un borde sin etiqueta actúa como 3 .

El gráfico resultante es un diagrama de Coxeter-Dynkin que describe el grupo Coxeter considerado.

matriz de Schläfli

Cada diagrama de Coxeter tiene una matriz de Schläfli correspondiente (llamada así en honor a Ludwig Schläfli ), A , con elementos de matriz a _i,j = a _j,i = −2 cos( π / p _i,j ) donde p _i,j es la rama orden entre los espejos i y j ; es decir, π / p _i,j es el ángulo diédrico entre los espejos i y j. Como matriz de cosenos , A también se llama matriz de Gramian . Todas las matrices de Schläfli del grupo Coxeter son simétricas porque sus vectores raíz están normalizados. A está estrechamente relacionada con la matriz de Cartan , utilizada en un gráfico similar pero dirigido: el diagrama de Dynkin , en los casos limitados de p = 2,3,4 y 6, que generalmente no son simétricos.

El determinante de la matriz de Schläfli se llama Schläflian ; ^{[ cita necesaria ]} el Schläflian y su signo determinan si el grupo es finito (positivo), afín (cero) o indefinido (negativo). ^[2] Esta regla se llama Criterio de Schläfli . ^{[3] [ verificación fallida ]}

Los valores propios de la matriz de Schläfli determinan si un grupo de Coxeter es de tipo finito (todos positivos), de tipo afín (todos no negativos, al menos uno es cero) o de tipo indefinido (de lo contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide, por ejemplo, en grupos hiperbólicos y otros de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos de Coxeter hiperbólicos. Usamos las siguientes definiciones:

• Un grupo de Coxeter con diagrama conexo es hiperbólico si no es de tipo finito ni afín, pero todo subdiagrama conexo adecuado es de tipo finito o afín.
• Un grupo hiperbólico de Coxeter es compacto si todos sus subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos) y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos).

Los grupos finitos y afines también se denominan elípticos y parabólicos respectivamente. Los grupos hiperbólicos también se llaman Lannér, en honor a F. Lannér, quien enumeró los grupos hiperbólicos compactos en 1950, ^[4] y Koszul (o cuasi-Lannér) para los grupos paracompactos.

Grupos de Coxeter de rango 2

El tipo de grupo Coxeter de rango 2 , es decir, generado por dos espejos diferentes, está completamente determinado por el determinante de la matriz de Schläfli, ya que este determinante es simplemente el producto de los valores propios: finito (determinante positivo), afín (determinante cero), o tipo hiperbólico (determinante negativo). Coxeter utiliza una notación entre corchetes equivalente que enumera secuencias de órdenes de ramas como sustituto de los diagramas gráficos nodo-rama. Soluciones racionales [ p / q ], , también existen, con mcd ( p , q ) = 1; estos definen dominios fundamentales superpuestos. Por ejemplo, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 y 6/5.

visualizaciones geométricas

El diagrama de Coxeter-Dynkin puede verse como una descripción gráfica del dominio fundamental de los espejos. Un espejo representa un hiperplano dentro de un espacio dimensional esférico, euclidiano o hiperbólico dado. (En espacios 2D, un espejo es una línea; en 3D, un espejo es un plano).

Estas visualizaciones muestran los dominios fundamentales para grupos euclidianos 2D y 3D, y para grupos esféricos 2D. Para cada uno, el diagrama de Coxeter se puede deducir identificando los espejos del hiperplano y etiquetando su conectividad, ignorando los ángulos diédricos de 90 grados (orden 2; consulte la nota al pie [a] a continuación).

Aplicación a politopos uniformes.

Los diagramas de Coxeter-Dynkin pueden enumerar explícitamente casi todas las clases de politopo uniforme y teselaciones uniformes . Cada politopo uniforme con simetría reflectante pura (todos, excepto unos pocos casos especiales, tienen simetría reflexiva pura) se puede representar mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin con permutaciones de marcas . Cada politopo uniforme se puede generar utilizando dichos espejos y un único punto generador: las imágenes especulares crean nuevos puntos como reflejos, luego se pueden definir los bordes del politopo entre los puntos y un punto de imagen especular. Las caras se generan mediante el reflejo repetido de un borde que finalmente se envuelve en el generador original; la forma final, así como cualquier faceta de dimensiones superiores, también se crean cuando la cara se refleja para encerrar un área.

Para especificar el vértice generador, uno o más nodos están marcados con anillos, lo que significa que el vértice no está en los espejos representados por los nodos anillados. (Si se marcan dos o más espejos, el vértice está equidistante de ellos). Un espejo está activo (crea reflejos) sólo con respecto a puntos que no están en él. Un diagrama necesita al menos un nodo activo para representar un politopo. Un diagrama no conectado (subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales) requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo.

Todos los politopos regulares , representados por el símbolo de Schläfli { p , q , r ,...} , pueden tener sus dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos con un diagrama de Coxeter-Dynkin relacionado de una línea de nodos y ramas etiquetados por p , q , r , ..., con el primer nodo anillado.

Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental simplex. Dos anillos corresponden a las aristas del simplex y tienen un grado de libertad, siendo sólo el punto medio la solución uniforme para aristas de longitudes iguales. En general, los puntos generadores de k -anillo están en (k-1) -caras del simplex, y si todos los nodos están en anillo, el punto generador está en el interior del simplex.

El caso especial de politopos uniformes con simetría no reflexiva está representado por una marca secundaria donde se elimina el punto central de un nodo anillado (llamado agujero ) . Estas formas son alternancias de politopos con simetría reflectante, lo que implica que se eliminan todos los demás vértices. El politopo resultante tendrá una subsimetría del grupo Coxeter original . Una alternancia truncada se llama desaire .

• Un solo nodo representa un solo espejo. Esto se llama grupo A ₁ . Si está rodeado, esto crea un segmento de línea perpendicular al espejo, representado como {}.
• Dos nodos separados representan dos espejos perpendiculares . Si ambos nodos están rodeados, se puede crear un rectángulo o un cuadrado si el punto está a la misma distancia de ambos espejos.
• Dos nodos unidos por una rama de orden n pueden crear un n -gon si el punto está en un espejo, y un 2 n -gon si el punto está fuera de ambos espejos. Esto forma el grupo I ₁ (n) .
• Dos espejos paralelos pueden representar un grupo de polígonos infinitos I ₁ (∞) , también llamado Ĩ ₁ .
• Tres espejos en un triángulo forman imágenes que se ven en un caleidoscopio tradicional y pueden representarse mediante tres nodos conectados en un triángulo. Los ejemplos repetidos tendrán ramas etiquetadas como (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), aunque las dos últimas se pueden dibujar como una línea (ignorando las 2 ramas). Estos generarán mosaicos uniformes .
• Tres espejos pueden generar poliedros uniformes ; incluir números racionales da el conjunto de triángulos de Schwarz .
• Tres espejos, uno perpendicular a los otros dos, pueden formar prismas uniformes .

Los duales de los politopos uniformes a veces están marcados con una barra perpendicular que reemplaza los nodos anillados, y un orificio de corte para los nodos de los desaires. Por ejemplo,representa un rectángulo (como dos espejos ortogonales activos), yrepresenta su polígono dual , el rombo .

Ejemplos con poliedros y mosaicos.

Por ejemplo, el grupo B ₃ Coxeter tiene un diagrama:. Esto también se llama simetría octaédrica .

Hay 7 poliedros uniformes convexos que se pueden construir a partir de este grupo de simetría y 3 a partir de sus subsimetrías de alternancia , cada uno con un diagrama de Coxeter-Dynkin marcado de forma única. El símbolo de Wythoff representa un caso especial del diagrama de Coxeter para gráficos de rango 3, con los 3 órdenes de rama nombrados, en lugar de suprimir las ramas de orden 2. El símbolo de Wythoff es capaz de manejar la forma chata , pero no las alternancias generales sin que todos los nodos estén anillados.

Las mismas construcciones se pueden hacer en grupos de Coxeter desunidos (ortogonales) como los prismas uniformes , y se pueden ver más claramente como mosaicos de dipedros y hosoedros en la esfera, como esta familia [6] × [] o [6,2]:

En comparación, el [6,3],La familia produce un conjunto paralelo de 7 mosaicos uniformes del plano euclidiano y sus mosaicos duales. Nuevamente hay 3 alternancias y alguna versión de media simetría.

En el plano hiperbólico [7,3],La familia produce un conjunto paralelo de mosaicos uniformes y sus mosaicos duales. Solo hay una alternancia ( desaire ), ya que todas las órdenes de las sucursales son impares. Muchas otras familias hiperbólicas de mosaicos uniformes se pueden ver en mosaicos uniformes en el plano hiperbólico .

Diagramas de Coxeter muy extendidos

Un uso incluye una definición muy extendida del uso directo del diagrama de Dynkin que considera grupos afines como grupos hiperbólicos extendidos sobreextendidos y un tercer nodo como grupos simples muy extendidos . Estas extensiones suelen estar marcadas por un exponente de 1, 2 o 3 + símbolos para el número de nodos extendidos. Esta serie extendida se puede extender hacia atrás, eliminando secuencialmente los nodos de la misma posición en el gráfico, aunque el proceso se detiene después de eliminar el nodo ramificado. La familia extendida E 8 es el ejemplo que se muestra más comúnmente y se extiende hacia atrás desde E ₃ y hacia adelante hasta E ₁₁ .

El proceso de extensión puede definir una serie limitada de gráficos de Coxeter que progresan de finitos a afines, hiperbólicos y lorentzianos. El determinante de las matrices de Cartan determina dónde cambia la serie de finita (positiva) a afín (cero) a hiperbólica (negativa) y termina como un grupo lorentziano, que contiene al menos un subgrupo hiperbólico. ^[5] Los grupos H _n no cristalográficos forman una serie extendida donde H ₄ se extiende como un hiperbólico compacto y se sobre-extiende en un grupo lorentziano.

Los determinantes de la matriz de Schläfli por rango son: ^[6]

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ (finito para todo n )
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 (finito para todo n )
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (finito para todo n )
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (finito para todo n )

Los determinantes de la matriz de Schläfli en series excepcionales son:

• det( E n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n (finito para E ₃ (= A ₂ A ₁ ), E ₄ (= A ₄ ​​), E ₅ (= D ₅ ), E 6 , E 7 y E 8 , afines en E 9 ( ), hiperbólico en E ₁₀ ) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) (finito para n = 4 a 7, afín ( ) e hiperbólico en n = 8.) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) (finito para n = 4 a 6, afín ( ) e hiperbólico en n = 7.) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n (finito para F ₃ (= B ₃ ) a F 4 , afín en F 5 ( ), hiperbólico en F ₆ ) ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n (finito para G 2 , afín en G ₃ ( ), hiperbólico en G ₄ ) ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

Plegado geométrico

Un diagrama de Coxeter-Dynkin (simplemente entrelazado) (finito, afín o hiperbólico) que tiene una simetría (que satisface una condición, a continuación) se puede cociente por la simetría, produciendo un nuevo diagrama, generalmente entrelazado de forma múltiple, con el proceso llamado " plegable". ^{[8] [9]}

Por ejemplo, en el plegado D ₄ a G ₂ , el borde en G ₂ apunta desde la clase de los 3 nodos externos (valencia 1) a la clase del nodo central (valencia 3). Y E ₈ se pliega en 2 copias de H ₄ , la segunda copia escalada por τ . ^[10]

Geométricamente esto corresponde a proyecciones ortogonales de politopos y teselaciones uniformes . En particular, cualquier diagrama finito de Coxeter-Dynkin simple se puede plegar a I ₂ ( h ), donde h es el número de Coxeter , que corresponde geométricamente a una proyección al plano de Coxeter .

Reflexiones complejas

Los diagramas de Coxeter-Dynkin se han extendido al espacio complejo , C ⁿ , donde los nodos son reflexiones unitarias de período mayor que 2. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Coxeter escribe el grupo complejo, p[q]r, como diagrama. ^[11]

Un politopo complejo regular unidimensional se representa como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, teniendo p vértices. Su representación real es un polígono regular , { p }. Su simetría es _p [] o, orden p . Un generador de operador unitario parase ve como una rotación de 2 π / p radianes en sentido contrario a las agujas del reloj , y una ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$El borde se crea mediante aplicaciones secuenciales de una única reflexión unitaria. Un generador de reflexión unitario para un 1-politopo con p vértices es e ^{2 π i / p} = cos(2 π / p ) + i sin(2 π / p ) . Cuando p = 2, el generador es e ^{π i} = –1, lo mismo que un punto de reflexión en el plano real.

En un politopo superior, _p {} orepresenta un elemento de borde p , con un borde de 2, {} o, que representa un borde real ordinario entre dos vértices.

Un polígono regular complejo tiene la forma _p { q } _r o diagrama de Coxeter ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. El grupo de simetría de un polígono regular complejo.No se llama grupo Coxeter , sino grupo Shephard , un tipo de grupo de reflexión complejo . El orden de _p [ q ] _r es . ^[13] ${\displaystyle 8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

Los grupos de Shephard de rango 2 son: ₂ [ q ] ₂ , _p [4] ₂ , ₃ [3] ₃ , ₃ [6] ₂ , ₃ [4] ₃ , ₄ [3] ₄ , ₃ [8] ₂ , ₄ [6] ₂ , ₄ [4] ₃ , ₃ [5] ₃ , ₅ [3] ₅ , ₃ [10] ₂ , ₅ [6] ₂ y ₅ [4] ₃ o,,,,,,,,,,,,,de orden 2 q , 2 p ² , 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 y 1800 respectivamente.

El grupo de simetría _{p 1} [ q ] _{p 2} está representado por 2 generadores R ₁ , R ₂ , donde:

R ₁ ^{pags ₁} = R ₂ ^{pags ₂} = yo .

Si q es par, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Si q es impar, (R ₂ R ₁ ) ^(q-1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q -1)/2} R ₁ . Cuando q es impar, p ₁ = p ₂ .

El grupo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$o [1 1 1] ^p está definido por 3 períodos 2 reflexiones unitarias {R ₁ , R ₂ , R ₃ }:

R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ R ₃ ) ³ = (R ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₁ ) ^p = 1.

El periodo p puede verse como una doble rotación en real . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

un grupo similar ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$o [1 1 1] ^(p) está definido por 3 períodos 2 reflexiones unitarias {R ₁ , R ₂ , R ₃ }:

R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ R ₃ ) ³ = (R ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₂ ) ^p = 1.

Ver también

• grupo coxeter
• triangulo negro
• tetraedro goursat
• diagrama de dinkin
• Politopo uniforme
  • Símbolo de Wythoff
  • Poliedro uniforme
  • Lista de poliedros uniformes
  • Lista de mosaicos planos uniformes
  • Uniforme de 4 politopos
  • Panal uniforme convexo
  • Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico.
• Construcción de Wythoff y símbolo de Wythoff

Referencias

1. Hall, Brian C. (2003), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
2. Borovik, Alejandro; Borovik, Anna (2010). Espejos y reflejos . Saltador. págs. 118-119.
3. Coxeter, Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 , sec. 7.7, pág. 133, Criterio de Schläfli 
4. Lannér F., Sobre complejos con grupos transitivos de automorfismos , Medd. Universidad de Lund. Estera. Sem. [Com. Sem. Matemáticas. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71
5. Álgebras de Kac-Moody en teoría M
6. Determinantes de Cartan-Gram para los grupos de Lie simples, Wu, Alfred C. T, Instituto Americano de Física, noviembre de 1982
7. John Crisp , ' Mapas inyectivos entre grupos Artin ', en Down under teoría de grupos, Actas del año especial sobre teoría de grupos geométricos, (Universidad Nacional de Australia, Canberra, Australia, 1996), posdata archivada el 16 de octubre de 2005 en Wayback Machine , págs. 13-14, y googlebook, Teoría de grupos geométricos abajo, pág. 131
8. Zuber, Jean-Bernard (1998). "Diagramas generalizados de Dynkin y sistemas de raíces y su plegado". Teoría de campos topológicos : 28–30. arXiv : hep-th/9707046 . Código Bib : 1998tftp.conf..453Z. CiteSeerX 10.1.1.54.3122 . 
9. Dechant, Pierre-Philippe; Boehm, Celine; Twarock, Reidun (2013). "Extensiones afines de grupos Coxeter no cristalográficos inducidas por proyección". Revista de Física Matemática . 54 (9): 093508. arXiv : 1110.5228 . Código Bib : 2013JMP....54i3508D. doi : 10.1063/1.4820441. S2CID  59469917.
10. La geometría E8 desde la perspectiva de Clifford Avances en las álgebras aplicadas de Clifford , marzo de 2017, volumen 27, número 1, págs. 397–421 Pierre-Philippe Dechant
11. Coxeter, Politopos regulares complejos , segunda edición, (1991)
12. Coxeter, Politopos regulares complejos, pag. 177, Cuadro III
13. Grupos Unitarios de Reflexión , p.87

1. ${\displaystyle (R_{i}\circ R_{i})^{1}={\rm {Id}}.}$
2. Si entonces es así y ${\displaystyle R\perp R',}$ ${\displaystyle R'\circ R={\rm {sym}}_{R\cap R'}=R\circ R',}$ ${\displaystyle R\circ R'\circ R=R\circ R\circ R'={\rm {Id}}\circ R'=R'}$ ${\displaystyle R'\circ R\circ R'=R'\circ R'\circ R={\rm {Id}}\circ R=R.}$

Otras lecturas

• James E. Humphreys , Grupos de reflexión y grupos Coxeter , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, 29 (1990)
• Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [ 2]  
  • (Documento 17) Coxeter , La evolución de los diagramas de Coxeter-Dynkin , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• Coxeter , La belleza de la geometría: doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes) 
• Coxeter , Politopos regulares (1963), Macmillan Company
  • Politopos regulares , tercera edición, (1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 (Capítulo 5: El caleidoscopio y sección 11.3 Representación mediante gráficos) 
• HSM Coxeter y WOJ Moser, Generadores y relaciones para grupos discretos, 4.ª ed., Springer-Verlag, Nueva York, 1980
• Norman Johnson , Geometrías y transformaciones , capítulos 11,12,13, preimpresión 2011
• NW Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, El tamaño de un Coxeter simplex hiperbólico , Transformation Groups, 1999, Volumen 4, Número 4, págs. 329–353 [3] [4]
• Norman W. Johnson y Asia Ivic Weiss Enteros cuadráticos y grupos de Coxeter Archivado el 26 de marzo de 2023 en Wayback Machine PDF Can. J. Matemáticas. vol. 51 (6), 1999, págs. 1307-1336

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Diagrama de Coxeter-Dynkin". MundoMatemático .
• Discusión de octubre de 1978 sobre la historia de los diagramas de Coxeter por Coxeter y Dynkin en Toronto , Canadá ; Colección Eugene Dynkin de entrevistas sobre matemáticas, Biblioteca de la Universidad de Cornell .