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Grupo Artin-Tits

En el área matemática de la teoría de grupos , los grupos de Artin , también conocidos como grupos de Artin-Tits o grupos trenzados generalizados , son una familia de grupos discretos infinitos definidos por presentaciones simples . Están estrechamente relacionados con los grupos de Coxeter . Algunos ejemplos son los grupos libres , los grupos abelianos libres , los grupos trenzados y los grupos de Artin-Tits rectángulos, entre otros.

Los grupos reciben su nombre de Emil Artin , debido a sus primeros trabajos sobre grupos trenzados en las décadas de 1920 a 1940, [1] y Jacques Tits , quien desarrolló la teoría de una clase más general de grupos en la década de 1960. [2]

Definición

Una presentación de Artin–Tits es una presentación de grupo donde es un conjunto (normalmente finito) de generadores y es un conjunto de relaciones de Artin–Tits, es decir, relaciones de la forma para distintos en , donde ambos lados tienen longitudes iguales, y existe como máximo una relación para cada par de generadores distintos . Un grupo de Artin–Tits es un grupo que admite una presentación de Artin–Tits. Del mismo modo, un monoide de Artin–Tits es un monoide que, como monoide, admite una presentación de Artin–Tits.

Alternativamente, un grupo Artin–Tits puede especificarse por el conjunto de generadores y, para cada uno en , el número natural que es la longitud de las palabras y tal que es la relación que conecta y , si la hay. Por convención, se pone cuando no hay relación . Formalmente, si definimos para denotar un producto alterno de y de longitud , comenzando con — de modo que , , etc. — las relaciones Artin–Tits toman la forma

Los números enteros se pueden organizar en una matriz simétrica , conocida como matriz de Coxeter del grupo.

Si es una presentación de Artin–Tits de un grupo de Artin–Tits , el cociente de obtenido sumando la relación para cada uno de es un grupo de Coxeter . Por el contrario, si es un grupo de Coxeter presentado por reflexiones y se eliminan las relaciones , la extensión así obtenida es un grupo de Artin–Tits. Por ejemplo, el grupo de Coxeter asociado con el grupo trenzado de hebras es el grupo simétrico de todas las permutaciones de .

Ejemplos

Propiedades generales

Los monoides de Artin-Tits son elegibles para los métodos de Garside basados ​​en la investigación de sus relaciones de divisibilidad y son bien comprendidos:

Se conocen muy pocos resultados para los grupos Artin-Tits generales. En particular, las siguientes preguntas básicas siguen abiertas en el caso general:

– resolver los problemas de palabras y conjugación , que se supone que son decidibles,
– determinar la torsión, lo cual se supone que es trivial,
– determinar el centro —lo cual se supone que es trivial o monogénico en el caso en que el grupo no es un producto directo ("caso irreducible"),
– determinar la cohomología — en particular resolver la conjetura, es decir, encontrar un complejo acíclico cuyo grupo fundamental sea el grupo considerado.

A continuación se recogen resultados parciales que involucran subfamilias particulares. Entre los pocos resultados generales conocidos, se pueden mencionar:

Clases particulares de grupos Artin-Tits

Se pueden definir varias clases importantes de grupos Artin en términos de las propiedades de la matriz de Coxeter.

Grupos Artin-Tits de tipo esférico

Grupos de Artin en ángulo recto

Grupos de Artin-Tits de tipo grande

Otros tipos

Se han identificado e investigado muchas otras familias de grupos Artin–Tits. Aquí mencionamos dos de ellas.

Véase también

Referencias

  1. ^ Artin, Emil (1947). "Teoría de las trenzas". Anales de Matemáticas . 48 (1): 101–126. doi :10.2307/1969218. JSTOR  1969218. S2CID  30514042.
  2. ^ Tetas, Jacques (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Journal of Algebra , 4 : 96–116, doi : 10.1016/0021-8693(66)90053-6 , MR  0206117
  3. ^ Crisp, John; Paris, Luis (2001), "La solución a una conjetura de Tits sobre el subgrupo generado por los cuadrados de los generadores de un grupo de Artin", Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math/0003133 , Bibcode :2001InMat.145...19C, doi :10.1007/s002220100138, MR  1839284
  4. ^ París, Luis (2002), "Artin monoides se inyectan en sus grupos", Commentarii Mathematici Helvetici , 77 (3): 609–637, arXiv : math/0102002 , doi : 10.1007/s00014-002-8353-z , MR  1933791
  5. ^ Dyer, Matthew; Hohlweg, Christophe (2016), "Raíces pequeñas, elementos bajos y el orden débil en los grupos de Coxeter", Advances in Mathematics , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 , MR  1839284
  6. ^ Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Bibcode :1972InMat..17..273D, doi :10.1007/BF01406236, MR  0422673
  7. ^ Brieskorn, Egbert ; Saito, Kyoji (1972), "Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245–271, Bibcode :1972InMat..17..245B, doi :10.1007/BF01406235, MR  0323910
  8. ^ Charney, Ruth (1992), "Los grupos de Artin de tipo finito son biautomáticos", Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi :10.1007/BF01444642, MR  1157320
  9. ^ Crisp, John; Godelle, Eddy; Wiest, Bert (2009), "El problema de la conjugación en subgrupos de grupos de Artin de ángulos rectos", Journal of Topology , 2 (3): 442–460, doi :10.1112/jtopol/jtp018, MR  2546582
  10. ^ Bestvina, Mladen ; Brady, Noel (1997), "Teoría de Morse y propiedades de finitud de grupos", Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode :1997InMat.129..445B, doi :10.1007/s002220050168, MR  1465330
  11. ^ Leary, Ian (2018), "Un número incontable de grupos de tipo FP", Actas de la London Mathematical Society , 117 (2): 246–276, arXiv : 1512.06609 , doi : 10.1112/plms.12135 , MR  3851323
  12. ^ Appel, Kenneth I.; Schupp, Paul E. (1983), "Grupos de Artin y grupos infinitos de Coxeter", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 201–220, Bibcode :1983InMat..72..201A, doi :10.1007/BF01389320, MR  0700768
  13. ^ Peifer, David (1996), "Los grupos de Artin de tipo extragrande son biautomáticos", Journal of Pure and Applied Algebra , 110 (1): 15–56, doi :10.1016/0022-4049(95)00094-1, MR  1390670
  14. ^ Holt, Derek; Rees, Sarah (2012). "Los grupos de Artin de tipo grande son automáticos con geodésicas regulares". Actas de la London Mathematical Society . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . doi :10.1112/plms/pdr035. MR  2900234.
  15. ^ Altobelli, Joe; Charney, Ruth (2000), "Una forma racional geométrica para grupos Artin de tipo FC", Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi :10.1023/A:1005216814166, MR  1755729
  16. ^ Dehornoy, Patrick (2017), "Reducción multifracción I: El caso 3-Ore y los grupos Artin–Tits de tipo FC", Journal of Combinatorial Algebra , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi :10.4171/JCA/1-2-3, MR  3634782
  17. ^ McCammond, Jon; Sulway, Robert (2017), "Grupos de Artin de tipo euclidiano", Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode :2017InMat.210..231M, doi :10.1007/s00222-017-0728-2, MR  3698343
  18. ^ Paolini, Giovanni; Salvetti, Mario (2019), Prueba de la conjetura para grupos afines de Artin , arXiv : 1907.11795

Lectura adicional