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En geometría , un triángulo de Schwarz , llamado así en honor a Hermann Schwarz , es un triángulo esférico que puede usarse para revestir una esfera ( mosaico esférico ), posiblemente superponiéndose, a través de reflejos en sus bordes. Fueron clasificados en Schwarz (1873).
Estos pueden definirse de manera más general como teselados de la esfera, el plano euclidiano o el plano hiperbólico . Cada triángulo de Schwarz sobre una esfera define un grupo finito , mientras que en el plano euclidiano o hiperbólico definen un grupo infinito.
Un triángulo de Schwarz está representado por tres números racionales ( p q r ) , cada uno de los cuales representa el ángulo en un vértice. El valor n ⁄ d significa que el ángulo del vértice es d ⁄ n del semicírculo. "2" significa un triángulo rectángulo . Cuando estos son números enteros, el triángulo se llama triángulo de Möbius, y corresponde a un mosaico no superpuesto, y el grupo de simetría se llama grupo de triángulos . En la esfera hay tres triángulos de Möbius más una familia de un parámetro; en el plano hay tres triángulos de Möbius, mientras que en el espacio hiperbólico hay una familia de triángulos de Möbius de tres parámetros, y ningún objeto excepcional .
Un triángulo de dominio fundamental ( pqr ) , con ángulos de vértice π ⁄ p , π ⁄ q y π ⁄ r , puede existir en diferentes espacios dependiendo del valor de la suma de los recíprocos de estos números enteros:
Esta es simplemente una forma de decir que en el espacio euclidiano los ángulos interiores de un triángulo suman π , mientras que en una esfera suman un ángulo mayor que π , y en el espacio hiperbólico suman menos.
Un triángulo de Schwarz se representa gráficamente mediante una gráfica triangular . Cada nodo representa un borde (espejo) del triángulo de Schwarz. Cada arista está etiquetada por un valor racional correspondiente al orden de reflexión, siendo π/ ángulo del vértice .
Los bordes de orden 2 representan espejos perpendiculares que pueden ignorarse en este diagrama. El diagrama de Coxeter-Dynkin representa este gráfico triangular con aristas de orden 2 ocultas.
Se puede utilizar un grupo de Coxeter para una notación más simple, como ( p q r ) para gráficas cíclicas, y ( p q 2) = [ p , q ] para (triángulos rectángulos), y ( p 2 2) = [ p ]× [].
Los triángulos de Schwarz con números enteros, también llamados triángulos de Möbius , incluyen una familia de 1 parámetro y tres casos excepcionales :
Los triángulos de Schwarz ( p q r ), agrupados por densidad :
Densidad 1:
Densidad 2:
Densidad ∞:
Densidad 1:
Densidad 2:
Densidad 3:
Densidad 4:
Densidad 6:
Densidad 10:
El triángulo de Schwarz (2 3 7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño y, como tal, es de particular interés. Su grupo de triángulos (o más precisamente el grupo de isometrías que preservan la orientación del índice 2 de von Dyck ) es el grupo de triángulos (2,3,7) , que es el grupo universal para todos los grupos de Hurwitz : grupos máximos de isometrías de superficies de Riemann . Todos los grupos de Hurwitz son cocientes del grupo de triángulos (2,3,7), y todas las superficies de Hurwitz están revestidas por el triángulo de Schwarz (2,3,7). El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño , que es isomorfo a PSL(2,7) , y la superficie de Hurwitz asociada (de género 3) es el cuártico de Klein .
El triángulo (2 3 8) recubre la superficie de Bolza , una superficie altamente simétrica (pero no de Hurwitz) del género 2.
Los triángulos con un ángulo no entero, enumerados anteriormente, fueron clasificados por primera vez por Anthony W. Knapp en. [1] Se proporciona una lista de triángulos con múltiples ángulos no enteros en. [2]
En esta sección se analizarán las teselaciones del semiplano superior hiperbólico mediante triángulos de Schwarz utilizando métodos elementales. Para triángulos sin "cúspides" (ángulos iguales a cero o equivalentemente vértices en el eje real) se seguirá el enfoque elemental de Carathéodory (1954). Para triángulos con una o dos cúspides, se utilizarán los argumentos elementales de Evans (1973), simplificando el enfoque de Hecke (1935): en el caso de un triángulo de Schwarz con un ángulo cero y otro recto, la orientación que preserva El subgrupo del grupo de reflexión del triángulo es un grupo de Hecke . Para un triángulo ideal en el que todos los ángulos son cero, de modo que todos los vértices se encuentran sobre el eje real, la existencia del teselado se establecerá relacionándola con la serie de Farey descrita en Hardy & Wright (2008) y Series (2015). En este caso la teselación puede considerarse como la asociada a tres círculos en contacto sobre la esfera de Riemann , un caso límite de configuraciones asociadas a tres círculos disjuntos no anidados y sus grupos de reflexión, los llamados " grupos de Schottky ", descritos en detalle. en Mumford, Series y Wright (2015). Alternativamente, dividiendo el triángulo ideal en seis triángulos con ángulos 0, π /2 y π /3, la teselación por triángulos ideales puede entenderse en términos de teselaciones por triángulos con una o dos cúspides.
Supongamos que el triángulo hiperbólico Δ tiene ángulos π / a , π / b y π / c con a , b , c enteros mayores que 1. El área hiperbólica de Δ es igual a π – π / a – π / b – π / c , de modo que
La construcción de un teselado se realizará primero para el caso en que a , b y c sean mayores que 2. [3]
El triángulo original Δ da un polígono convexo P 1 con 3 vértices. En cada uno de los tres vértices, el triángulo se puede reflejar sucesivamente a través de los bordes que emanan de los vértices para producir 2 m copias del triángulo donde el ángulo en el vértice es π / m . Los triángulos no se superponen excepto en los bordes, la mitad de ellos tienen su orientación invertida y encajan para formar una vecindad del punto. La unión de estos nuevos triángulos junto con el triángulo original forman una forma conectada P 2 . Está formado por triángulos que solo se cruzan en aristas o vértices, forma un polígono convexo con todos los ángulos menores o iguales a π y cada lado es el borde de un triángulo reflejado. En el caso de que un ángulo de Δ sea igual a π /3, un vértice de P 2 tendrá un ángulo interior de π , pero esto no afecta la convexidad de P 2 . Incluso en este caso degenerado cuando surge un ángulo de π , los dos bordes colineales todavía se consideran distintos para los propósitos de la construcción.
La construcción de P 2 se puede entender más claramente observando que algunos triángulos o tejas se añaden dos veces, las tres que tienen un lado en común con el triángulo original. El resto sólo tiene un vértice en común. Una forma más sistemática de realizar el mosaico es primero agregar un mosaico a cada lado (el reflejo del triángulo en ese borde) y luego llenar los espacios en cada vértice. Esto da como resultado un total de 3 + (2 a – 3) + (2 b - 3) + (2 c - 3) = 2 ( a + b + c ) - 6 nuevos triángulos. Los nuevos vértices son de dos tipos. Aquellos que son vértices de los triángulos unidos a lados del triángulo original, que están conectados a 2 vértices de Δ. Cada uno de ellos se encuentra en tres nuevos triángulos que se cruzan en ese vértice. El resto está conectado a un único vértice de Δ y pertenece a dos nuevos triángulos que tienen una arista común. Por tanto, hay 3 + (2 a – 4) + (2 b - 4) + (2 c - 4) = 2( a + b + c ) - 9 nuevos vértices. Por construcción no existe superposición. Para ver que P 2 es convexo, basta con ver que el ángulo entre los lados que se encuentran en un nuevo vértice forma un ángulo menor o igual a π . Pero los nuevos vértices se encuentran en dos o tres nuevos triángulos, que se encuentran en ese vértice, por lo que el ángulo en ese vértice no es mayor que 2 π /3 o π , según sea necesario.
Este proceso se puede repetir para P 2 para obtener P 3 agregando primero mosaicos a cada borde de P 2 y luego rellenando los mosaicos alrededor de cada vértice de P 2 . Luego se puede repetir el proceso desde P 3 , para obtener P 4 y así sucesivamente, produciendo sucesivamente P n a partir de P n – 1 . Se puede comprobar inductivamente que todos estos son polígonos convexos, con mosaicos que no se superponen. En efecto, como en el primer paso del proceso existen dos tipos de tejas al construir P n a partir de P n – 1 , las unidas a una arista de P n – 1 y las unidas a un único vértice. De manera similar, existen dos tipos de vértices, uno en el que se encuentran dos fichas nuevas y otro en el que se encuentran tres fichas. Entonces, siempre que no se superpongan mosaicos, el argumento anterior muestra que los ángulos en los vértices no son mayores que π y, por lo tanto, que P n es un polígono convexo. [a]
Por lo tanto, debe verificarse que al construir P n a partir de P n − 1 : [4]
(a) los nuevos triángulos no se superponen con P n − 1 excepto como ya se describió;
(b) los nuevos triángulos no se superponen entre sí excepto como ya se describió;
(c) la geodésica desde cualquier punto en Δ hasta un vértice del polígono P n – 1 forma un ángulo ≤ 2 π /3 con cada una de las aristas del polígono en ese vértice.
Para probar (a), observe que por convexidad, el polígono P n − 1 es la intersección de los semiespacios convexos definidos por los arcos circulares completos que definen su límite. Así, en un vértice dado de P n − 1 hay dos arcos circulares que definen dos sectores: un sector contiene el interior de P n − 1 , el otro contiene los interiores de los nuevos triángulos agregados alrededor del vértice dado. Esto se puede visualizar utilizando una transformación de Möbius para asignar el semiplano superior al disco unitario y el vértice al origen; el interior del polígono y cada uno de los nuevos triángulos se encuentran en diferentes sectores del disco unitario. Así se demuestra (a).
Antes de probar (c) y (b), se puede aplicar una transformación de Möbius para asignar el semiplano superior al disco unitario y un punto fijo en el interior de Δ al origen.
La prueba de (c) procede por inducción. Tenga en cuenta que el radio que une el origen con un vértice del polígono P n − 1 forma un ángulo menor que 2 π /3 con cada una de las aristas del polígono en ese vértice si exactamente dos triángulos de P n − 1 se encuentran en el vértice, ya que cada uno tiene un ángulo menor o igual a π /3 en ese vértice. Para comprobar que esto es cierto cuando tres triángulos de P n − 1 se encuentran en el vértice, digamos C , supongamos que el triángulo del medio tiene su base en un lado AB de P n − 2 . Por inducción los radios OA y OB forman ángulos menores o iguales a 2 π /3 con la arista AB . En este caso, la región en el sector entre los radios OA y OB fuera del borde AB es convexa como la intersección de tres regiones convexas. Por inducción los ángulos en A y B son mayores o iguales a π /3. Así, las geodésicas a C desde A y B comienzan en la región; por convexidad, el triángulo ABC se encuentra completamente dentro de la región. El cuadrilátero OACB tiene todos sus ángulos menores que π (dado que OAB es un triángulo geodésico), por lo que es convexo. Por tanto , el radio OC se encuentra dentro del ángulo del triángulo ABC cerca de C. Por lo tanto, los ángulos entre OC y los dos bordes de P n – 1 que se encuentran en C son menores o iguales a π /3 + π /3 = 2 π /3, como se afirma.
Para probar (b), se debe comprobar cómo se intersectan los nuevos triángulos en P n .
Primero considere las fichas agregadas a los bordes de P n – 1 . Adoptando una notación similar a (c), sea AB la base de la losa y C el tercer vértice. Entonces los radios OA y OB forman ángulos menores o iguales a 2 π /3 con la arista AB y el razonamiento de la prueba de (c) se aplica para demostrar que el triángulo ABC se encuentra dentro del sector definido por los radios OA y OB. . Esto es cierto para cada arista de P n – 1 . Dado que los interiores de los sectores definidos por aristas distintas están separados, los nuevos triángulos de este tipo sólo se cruzan como se afirma.
A continuación, considere las fichas adicionales agregadas para cada vértice de P n – 1 . Tomando el vértice como A , hay tres aristas AB 1 y AB 2 de P n – 1 que se encuentran en A. Sean C 1 y C 2 los vértices adicionales de los mosaicos agregados a estos bordes. Ahora las fichas adicionales añadidas en A se encuentran en el sector definido por los radios OB 1 y OB 2 . El polígono con vértices C 2 O , C 1 y luego los vértices de las fichas adicionales tiene todos sus ángulos internos menores que π y, por lo tanto, es convexo. Por tanto, está totalmente contenido en el sector definido por los radios OC 1 y OC 2 . Dado que los interiores de estos sectores están todos separados, esto implica todas las afirmaciones sobre cómo se cruzan los mosaicos agregados.
Finalmente queda demostrar que el mosaico formado por la unión de los triángulos cubre la totalidad del semiplano superior. Cualquier punto z cubierto por el mosaico se encuentra en un polígono P n y, por tanto, en un polígono P n +1 . Por lo tanto, se encuentra en una copia del triángulo original Δ así como en una copia de P 2 enteramente contenida en P n +1 . La distancia hiperbólica entre Δ y el exterior de P 2 es igual a r > 0. Por lo tanto, la distancia hiperbólica entre z y los puntos no cubiertos por el mosaico es al menos r . Dado que esto se aplica a todos los puntos del mosaico, el conjunto cubierto por el mosaico está cerrado. Por otro lado, el mosaico es abierto ya que coincide con la unión de los interiores de los polígonos P n . Por conectividad, el mosaico debe cubrir la totalidad del semiplano superior.
Para ver cómo manejar el caso cuando un ángulo de Δ es un ángulo recto, observe que la desigualdad
implica que si uno de los ángulos es recto, digamos a = 2, entonces b y c son mayores que 2 y uno de ellos, digamos b , debe ser mayor que 3. En este caso, reflejar el triángulo a través del lado AB da un triángulo hiperbólico isósceles con ángulos π / c , π / c y 2 π / b . Si 2 π / b ≤ π /3, es decir, b es mayor que 5, entonces todos los ángulos del triángulo duplicado son menores o iguales a π /3. En ese caso, la construcción del mosaico anterior a través de polígonos convexos crecientes se adapta palabra por palabra a este caso, excepto que alrededor del vértice con ángulo 2 π / b , solo se requieren copias b , y no 2 b , del triángulo para formar mosaicos en un vecindario. del vértice. Esto es posible porque el triángulo duplicado es isósceles. La teselación del triángulo duplicado produce la del triángulo original al cortar todos los triángulos más grandes por la mitad. [5]
Queda por tratar el caso cuando b es igual a 4 o 5. Si b = 4, entonces c ≥ 5: en este caso si c ≥ 6, entonces byc se pueden intercambiar y se aplica el argumento anterior, dejando el caso b = 4 y c = 5. Si b = 5, entonces c ≥ 4. El caso c ≥ 6 se puede manejar intercambiando b y c , de modo que el único caso extra es b = 5 y c = 5. Este último triángulo isósceles es el versión duplicada del primer triángulo excepcional, por lo que sólo es necesario considerar ese triángulo Δ 1 —con ángulos π /2, π /4 y π /5 y área hiperbólica π /20 (ver más abajo). Carathéodory (1954) maneja este caso mediante un método general que funciona para todos los triángulos rectángulos en los que los otros dos ángulos son menores o iguales a π /4. El método anterior para construir P 2 , P 3 , ... se modifica añadiendo un triángulo extra cada vez que surge un ángulo 3 π /2 en un vértice. El mismo razonamiento se aplica para demostrar que no hay superposición y que el mosaico cubre el semiplano superior hiperbólico. [5]
Por otro lado, la configuración dada da lugar a un grupo de triángulos aritméticos. Estos fueron estudiados por primera vez en Fricke y Klein (1897). y han dado lugar a una extensa literatura. En 1977 Takeuchi obtuvo una clasificación completa de grupos de triángulos aritméticos (hay un número finito) y determinó cuándo dos de ellos son conmensurables. El ejemplo particular está relacionado con la curva de Bring y la teoría aritmética implica que el grupo de triángulos para Δ 1 contiene el grupo de triángulos para el triángulo Δ 2 con ángulos π /4, π /4 y π /5 como un subgrupo de índice no normal. 6. [6]
Duplicar los triángulos Δ 1 y Δ 2 , esto implica que debe haber una relación entre 6 triángulos Δ 3 con ángulos π /2, π /5 y π /5 y área hiperbólica π /10 y un triángulo Δ 4 con ángulos π / 5, π /5 y π /10 y área hiperbólica 3 π /5. Threlfall (1932) estableció tal relación directamente por medios geométricos completamente elementales, sin referencia a la teoría aritmética: de hecho, como se ilustra en la quinta figura a continuación, el cuadrilátero obtenido al reflejar a través de un lado de un triángulo de tipo Δ 4 se puede enlosar mediante 12 triángulos de tipo Δ 3 . El teselado por triángulos del tipo Δ 4 se puede manejar mediante el método principal de este apartado; esto prueba por tanto la existencia de la teselación por triángulos de tipo Δ 3 y Δ 1 . [7]
En el caso de un triángulo de Schwarz con una o dos cúspides, el proceso de mosaico se vuelve más sencillo; pero es más fácil utilizar un método diferente que se remonta a Hecke para demostrar que agotan el semiplano superior hiperbólico.
En el caso de una cúspide y ángulos distintos de cero π / a , π / b con a , b enteros mayores que uno, el mosaico se puede prever en el disco unitario con el vértice que tiene el ángulo π / a en el origen. El mosaico comienza sumando 2 a – 1 copias del triángulo en el origen mediante reflexiones sucesivas. Esto da como resultado un polígono P 1 con 2 cúspides a y entre cada dos 2 vértices cada uno con un ángulo π / b . Por tanto, el polígono es convexo. Para cada vértice no ideal de P 1 , el triángulo único con ese vértice puede ser similar reflejado alrededor de ese vértice, agregando así 2 b – 1 nuevos triángulos, 2 b – 1 nuevos puntos ideales y 2 b – 1 nuevos vértices con ángulo π / a . El polígono resultante P 2 está formado por 2 a (2 b – 1) cúspides y el mismo número de vértices, cada uno con un ángulo de π / a , por lo que es convexo. El proceso puede continuar de esta manera para obtener polígonos convexos P 3 , P 4 , etc. El polígono P n tendrá vértices que tienen ángulos que alternan entre 0 y π / a para n par y entre 0 y π / b para n impar. Por construcción, los triángulos solo se superponen en los bordes o vértices, por lo que forman un mosaico. [8]
El caso donde el triángulo tiene dos cúspides y un ángulo distinto de cero π / a se puede reducir al caso de una cúspide observando que el trinale es el doble de un triángulo con una cúspide y ángulos distintos de cero π / a y π. / b con b = 2. El mosaico continúa como antes. [9]
Para demostrar que estos dan teselados, es más conveniente trabajar en el semiplano superior. Ambos casos se pueden tratar simultáneamente, ya que el caso de dos cúspides se obtiene duplicando un triángulo con una cúspide y ángulos distintos de cero π / a y π /2. Consideremos entonces el triángulo geodésico en el semiplano superior con ángulos 0, π / a , π / b con a , b enteros mayores que uno. El interior de dicho triángulo se puede representar como la región X en el semiplano superior que se encuentra fuera del disco unitario | z | ≤ 1 y entre dos rectas paralelas al eje imaginario que pasan por los puntos u y v del círculo unitario. Sea Γ el grupo de triángulos generado por las tres reflexiones en los lados del triángulo.
Para demostrar que las sucesivas reflexiones del triángulo cubren el semiplano superior, basta demostrar que para cualquier z en el semiplano superior existe una g en Γ tal que g ( z ) está en X. A esto se sigue un argumento de Evans (1973), simplificado a partir de la teoría de los grupos de Hecke . Sean λ = Re a y μ = Re b de modo que, sin pérdida de generalidad, λ < 0 ≤ μ. Los tres reflejos en los lados están dados por
Por tanto, T = R 3 ∘ R 2 es traducción por μ − λ. Se deduce que para cualquier z 1 en el semiplano superior, hay un elemento g 1 en el subgrupo Γ 1 de Γ generado por T tal que w 1 = g 1 ( z 1 ) satisface λ ≤ Re w 1 ≤ μ, es decir esta franja es un dominio fundamental para el grupo de traducción Γ 1 . Si | w 1 | ≥ 1, entonces w 1 se encuentra en X y se demuestra el resultado. De lo contrario, sea z 2 = R 1 ( w 1 ) y encuentre g 2 Γ 1 tal que w 2 = g 2 ( z 2 ) satisfaga λ ≤ Re w 2 ≤ μ. Si | w 2 | ≥ 1 entonces se prueba el resultado. Siguiendo de esta manera, algún w n satisface | w norte | ≥ 1, en cuyo caso se prueba el resultado; o | w norte | < 1 para todos los n . Ahora bien, dado que g n + 1 se encuentra en Γ 1 y | w norte | < 1,
En particular
y
Por lo tanto, de la desigualdad anterior, los puntos ( w n ) se encuentran en el conjunto compacto | z | ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ μ y Im z ≥ Im w 1 . De ello se deduce que | w norte | tiende a 1; porque si no, entonces habría un r < 1 tal que | w metro | ≤ r para un número infinito de my entonces la última ecuación anterior implicaría que Im w n tiende al infinito, una contradicción.
Sea w un punto límite de w n , de modo que | w | = 1. Por lo tanto, w se encuentra en el arco del círculo unitario entre u y v . Si w ≠ u , v , entonces R 1 w n estaría en X para n suficientemente grande, contrariamente a lo que se supone. Por tanto w = u o v . Por lo tanto, para n suficientemente grande, w n se encuentra cerca de u o v y, por lo tanto, debe encontrarse en una de las reflexiones del triángulo alrededor del vértice u o v , ya que estos completan las vecindades de u y v . Por tanto , hay un elemento g en Γ tal que g ( w n ) se encuentra en X. Dado que, por construcción, w n está en la órbita Γ de z 1 , se deduce que hay un punto en esta órbita que se encuentra en X , como se requiere. [10]
La teselación de un triángulo ideal con todos sus vértices en el círculo unitario y todos sus ángulos 0 puede considerarse como un caso especial de la teselación de un triángulo con una cúspide y dos ángulos ahora cero π /3 y π /2. De hecho, el triángulo ideal está formado por seis copias de un triángulo de una cúspide que se obtienen reflejando el triángulo más pequeño alrededor del vértice con un ángulo π /3.
Cada paso del mosaico, sin embargo, está determinado únicamente por las posiciones de las nuevas cúspides en el círculo, o equivalentemente, el eje real; y estos puntos pueden entenderse directamente en términos de las series de Farey que siguen a Series (2015), Hatcher (2013, págs. 20-32) y Hardy & Wright (2008, págs. 23-31). Se parte del paso básico que genera el teselado, el reflejo de un triángulo ideal en uno de sus lados. La reflexión corresponde al proceso de inversión en geometría proyectiva y toma del conjugado armónico proyectivo , que puede definirse en términos de razón cruzada . De hecho, si p , q , r , s son puntos distintos en la esfera de Riemann, entonces hay una transformación de Möbius compleja única g que envía p , q y s a 0, ∞ y 1 respectivamente. La relación cruzada ( p , q ; r , s ) se define como g ( r ) y viene dada por la fórmula
Por definición es invariante bajo transformaciones de Möbius. Si a , b se encuentran en el eje real, el conjugado armónico de c con respecto a a y b se define como el número real único d tal que ( a , b ; c , d ) = −1. Entonces, por ejemplo, si a = 1 y b = –1, el conjugado de r es 1/ r . En general, la invariancia de Möbius se puede utilizar para obtener una fórmula explícita para d en términos de a , b y c . De hecho, trasladando el centro t = ( a + b )/2 del círculo con diámetro que tiene extremos a y b a 0, d – t es el conjugado armónico de c – t con respecto a a - t y b – t . El radio del círculo es ρ = ( b – a )/2 entonces ( d - t )/ρ es el conjugado armónico de ( c – t )/ρ con respecto a 1 y -1. De este modo
de modo que
Ahora se demostrará que existe una parametrización de tales triángulos ideales dados por racionales en forma reducida.
con a y c satisfaciendo la "condición de vecino" p 2 q 1 − q 2 p 1 = 1.
El término medio b se llama suma de Farey o mediante de los términos externos y se escribe
La fórmula para el triángulo reflejado da
De manera similar, el triángulo reflejado en el segundo semicírculo da un nuevo vértice b ⊕ c . Se verifica inmediatamente que a y b satisfacen la condición de vecino, al igual que b y c .
Ahora bien, este procedimiento se puede utilizar para realizar un seguimiento de los triángulos obtenidos reflejando sucesivamente el triángulo básico Δ con vértices 0, 1 y ∞. Basta considerar la franja con 0 ≤ Re z ≤ 1, ya que la misma imagen se reproduce en franjas paralelas aplicando reflexiones en las rectas Re z = 0 y 1. El triángulo ideal con vértices 0, 1, ∞ se refleja en el semicírculo. con base [0,1] en el triángulo con vértices a = 0, b = 1/2, c = 1. Por lo tanto, a = 0/1 y c = 1/1 son vecinos y b = a ⊕ c . El semicírculo se divide en dos semicírculos más pequeños con bases [ a , b ] y [ b , c ]. Cada uno de estos intervalos se divide en dos intervalos mediante el mismo proceso, lo que da como resultado 4 intervalos. Si continúa de esta manera, se obtienen subdivisiones en 8, 16, 32 intervalos, etc. En la n.ésima etapa, hay 2 n intervalos adyacentes con 2 n + 1 puntos finales. La construcción anterior muestra que los puntos finales sucesivos satisfacen la condición de vecino, de modo que los nuevos puntos finales resultantes de la reflexión vienen dados por la fórmula de la suma de Farey.
Para demostrar que el mosaico cubre todo el plano hiperbólico, basta demostrar que todo racional en [0,1] eventualmente ocurre como un punto final. Hay varias maneras de ver esto. Uno de los métodos más elementales es el descrito por Graham, Knuth y Patashnik (1994) en su desarrollo –sin el uso de fracciones continuas– de la teoría del árbol de Stern-Brocot , que codifica los nuevos puntos finales racionales que aparecen en el n ésimo. escenario. Dan una prueba directa de que todo racional aparece. De hecho, comenzando con {0/1,1/1}, se introducen puntos finales sucesivos en el nivel n +1 sumando sumas de Farey o mediantes ( p + r )/( q + s ) entre todos los términos consecutivos p / q , r / s en el enésimo nivel (como se describe arriba). Sea x = a / b un racional entre 0 y 1 con a y b coprimos. Supongamos que en algún nivel x está intercalado entre términos sucesivos p / q < x < r / s . Estas desigualdades fuerzan aq – bp ≥ 1 y br – como ≥ 1 y por lo tanto, dado que rp – qs = 1 ,
Esto pone un límite superior a la suma de numeradores y denominadores. Por otro lado, el mediante ( p + r )/( q + s ) puede introducirse y es igual a x , en cuyo caso el x racional aparece en este nivel; o el mediante proporciona un nuevo intervalo que contiene x con una suma de numerador y denominador estrictamente mayor. Por lo tanto, el proceso debe terminar después de como máximo los pasos a + b , demostrando así que aparece x . [11]
Un segundo enfoque se basa en el grupo modular G = SL(2, Z ). [12] El algoritmo euclidiano implica que este grupo es generado por las matrices
De hecho, sea H el subgrupo de G generado por S y T. Dejar
ser un elemento de SL(2, Z ). Por tanto, ad − cb = 1, de modo que a y c son coprimos. Dejar
Aplicando S si es necesario, se puede suponer que | un | > | c | (la igualdad no es posible mediante la coprimación). Escribimos a = mc + r con 0 ≤ r ≤ | c |. Pero entonces
Este proceso puede continuar hasta que una de las entradas sea 0, en cuyo caso la otra es necesariamente ±1. Aplicando una potencia de S si es necesario, se deduce que v = h u para alguna h en H. Por eso
con p , q enteros. Claramente p = 1, de modo que h −1 g = T q . Por tanto, g = h T q se encuentra en H según sea necesario.
Para demostrar que todos los racionales en [0,1] ocurren, basta demostrar que G lleva Δ a los triángulos del teselado. Esto se sigue observando primero que S y T llevan Δ a dicho triángulo: de hecho, como transformaciones de Möbius, S ( z ) = –1/ z y T ( z ) = z + 1, dan reflejos de Δ en dos de sus lados. Pero entonces S y T conjugan las reflexiones en los lados de Δ en reflexiones en los lados de S Δ y T Δ, que se encuentran en Γ. Por tanto, G normaliza Γ. Dado que los triángulos en el teselado son exactamente aquellos de la forma g Δ con g en Γ, se deduce que S y T , y por tanto todos los elementos de G , permutan los triángulos en el teselado. Dado que todo racional es de la forma g (0) para g en G , todo racional en [0,1] es el vértice de un triángulo en el teselado.
El grupo de reflexión y la teselación de un triángulo ideal también pueden considerarse como un caso límite del grupo Schottky para tres círculos disjuntos y no anidados en la esfera de Riemann. Nuevamente este grupo se genera por reflexiones hiperbólicas en los tres círculos. En ambos casos los tres círculos tienen un círculo común que los corta ortogonalmente. Utilizando una transformación de Möbius, se puede suponer que es el círculo unitario o, equivalentemente, el eje real en el semiplano superior. [13]
En esta subsección se describe el enfoque de Carl Ludwig Siegel al teorema de teselación de triángulos. El enfoque menos elemental de Siegel no utiliza la convexidad, sino que se basa en la teoría de las superficies de Riemann , cubriendo espacios y una versión del teorema de monodromía para recubrimientos. Se ha generalizado para dar pruebas del teorema del polígono de Poincaré más general. (Tenga en cuenta que el caso especial de mosaico con n -gónos regulares con ángulos interiores 2 π / n es una consecuencia inmediata de la teselación mediante triángulos de Schwarz con ángulos π / n , π / n y π /2.) [14] [15 ]
Sea Γ el producto libre Z 2 ∗ Z 2 ∗ Z 2 . Si Δ = ABC es un triángulo de Schwarz con ángulos π / a , π / b y π / c , donde a , b , c ≥ 2, entonces existe una aplicación natural de Γ sobre el grupo generado por reflexiones en los lados de Δ . Los elementos de Γ se describen mediante un producto de los tres generadores donde no hay dos generadores adyacentes iguales. En los vértices A , B y C el producto de las reflexiones en los lados que se encuentran en el vértice definen rotaciones por ángulos 2 π / a , 2 π / b y 2 π / c ; Sean g A , g B y g C los productos correspondientes de generadores de Γ = Z 2 ∗ Z 2 ∗ Z 2 . Sea Γ 0 el subgrupo normal del índice 2 de Γ, formado por elementos que son producto de un número par de generadores; y sea Γ 1 el subgrupo normal de Γ generado por ( g A ) a , ( g B ) by ( g C ) c . Estos actúan trivialmente sobre Δ. Sean Γ = Γ/Γ 1 y Γ 0 = Γ 0 /Γ 1 .
La unión disjunta de copias de Δ indexadas por elementos de Γ con identificaciones de bordes tiene la estructura natural de una superficie de Riemann Σ. En un punto interior de un triángulo hay una carta obvia. Como punto del interior de un borde, el gráfico se obtiene reflejando el triángulo a lo largo del borde. En un vértice de un triángulo con ángulo interior π / n , la gráfica se obtiene a partir de las 2 n copias del triángulo obtenidas al reflejarlo sucesivamente alrededor de ese vértice. El grupo Γ actúa mediante transformaciones de cubierta de Σ, con elementos en Γ 0 actuando como mapeos holomórficos y elementos que no están en Γ 0 actuando como mapeos antiholomórficos.
Hay un mapa natural P de Σ en el plano hiperbólico. El interior del triángulo con etiqueta g en Γ se toma sobre g (Δ), las aristas se llevan a las aristas y los vértices a los vértices. También es fácil verificar que una vecindad de un punto interior de un borde se toma en una vecindad de la imagen; y lo mismo para los vértices. Por tanto, P es localmente un homeomorfismo y, por tanto, lleva conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. La imagen P (Σ), es decir, la unión de las traslaciones g ( Δ ), es por tanto un subconjunto abierto del semiplano superior. Por otra parte, este conjunto también es cerrado. De hecho, si un punto está lo suficientemente cerca de Δ debe estar en una traslación de Δ . De hecho, una vecindad de cada vértice se completa con las reflexiones de Δ y si un punto se encuentra fuera de estas tres vecindades pero aún está cerca de Δ, debe estar en las tres reflexiones de Δ en sus lados. Por lo tanto, hay δ > 0 tal que si z se encuentra dentro de una distancia menor que δ de Δ , entonces z se encuentra en una Γ -trasladada de Δ . Dado que la distancia hiperbólica es Γ -invariante, se deduce que si z se encuentra dentro de una distancia menor que δ de Γ( Δ ), en realidad se encuentra en Γ( Δ ), por lo que esta unión es cerrada. Por conectividad se deduce que P (Σ) es todo el semiplano superior.
Por otro lado, P es un homeomorfismo local, por lo que es un mapa de cobertura. Dado que el semiplano superior es simplemente conexo, se deduce que P es uno-uno y, por lo tanto, las traslaciones de Δ teselan el semiplano superior. Esto es una consecuencia de la siguiente versión del teorema de monodromía para recubrimientos de superficies de Riemann: si Q es un mapa de recubrimiento entre las superficies de Riemann Σ 1 y Σ 2 , entonces cualquier camino en Σ 2 puede elevarse a un camino en Σ 1 y cualquier dos caminos homotópicos con los mismos puntos finales se elevan a caminos homotópicos con los mismos puntos finales; un corolario inmediato es que si Σ 2 es simplemente conexo, Q debe ser un homeomorfismo. [16] Para aplicar esto, sea Σ 1 = Σ, sea Σ 2 el semiplano superior y sea Q = P . Según el corolario del teorema de la monodromía, P debe ser uno-uno.
También se deduce que g (Δ) = Δ si y sólo si g se encuentra en Γ 1 , de modo que el homomorfismo de Γ 0 en el grupo de Möbius es fiel.
La teselación de los triángulos de Schwarz puede verse como una generalización de la teoría de los grupos infinitos de Coxeter , siguiendo la teoría de los grupos de reflexión hiperbólica desarrollada algebraicamente por Jacques Tetas [17] y geométricamente por Ernest Vinberg . [18] En el caso del plano Lobachevsky o hiperbólico , las ideas se originan en la obra decimonónica de Henri Poincaré y Walther von Dyck . Sin embargo, como Joseph Lehner ha señalado en Mathematical Reviews , las pruebas rigurosas de que los reflejos de un triángulo de Schwarz generan una teselación a menudo han sido incompletas, siendo un ejemplo su propio libro de 1964 "Discontinuous Groups and Automorphic Forms" . [19] [20] El tratamiento elemental de Carathéodory en su libro de texto Funktiontheorie de 1950 , traducido al inglés en 1954, y el relato de Siegel de 1954 utilizando el principio de monodromía son pruebas rigurosas. El enfoque que utiliza grupos de Coxeter se resumirá aquí, dentro del marco general de clasificación de grupos de reflexión hiperbólicos. [21]
Sean r, s, t símbolos y sean a , b , c ≥ 2 números enteros, posiblemente ∞ , con
Defina Γ como el grupo con presentación que tiene generadores r, s, t que son todos involuciones y satisfacen
Conjunto [22]
Teorema (representación geométrica). Los operadores ρ, σ, τ son involuciones en V , con respectivos vectores propios e r , e s , et con valor propio simple −1. Los productos de los operadores tienen pedidos correspondientes a la presentación anterior (por lo que στ tiene orden a , etc). Los operadores ρ, σ, τ inducen una representación de Γ en V que preserva Λ .
La forma bilineal Λ para la base tiene matriz
también lo tiene determinante
Para comprobar el orden de productos como στ , basta tener en cuenta que:
(1) es claro ya que si γ = στ genera un subgrupo normal con σγσ −1 = γ −1 . Para (2), U es invariante por definición y la matriz es definida positiva ya que dado que Λ tiene firma (2, 1) , un vector w distinto de cero en W debe satisfacer Λ ( w , w ) <0 . Por definición, σ tiene valores propios 1 y –1 en U , por lo que w debe fijarse por σ . De manera similar, w debe fijarse por τ , de modo que se demuestre (3). Finalmente en (1)
de modo que, si a es finito, los valores propios de στ son -1, ς y ς −1 , donde y si a es infinito, los valores propios de στ son -1, X y X −1 , donde Además, un argumento de inducción sencillo muestra que si entonces [23]
y si x > 0 entonces
Sea Γ a el subgrupo diédrico de Γ generado por s y t , con definiciones análogas para Γ b y Γ c . De manera similar, defina Γ r como el subgrupo cíclico de Γ dado por el grupo de 2 {1, r }, con definiciones análogas para Γ s y Γ t . A partir de las propiedades de la representación geométrica, estos seis grupos actúan fielmente sobre V . En particular , Γ a puede identificarse con el grupo generado por σ y τ ; como arriba, se descompone explícitamente como una suma directa del subespacio irreducible bidimensional U y el subespacio unidimensional W con una acción trivial. Por tanto, existe un vector único.
Observación sobre las representaciones de grupos diédricos. Es bien sabido que, para espacios de productos internos reales de dimensión finita, dos involuciones ortogonales S y T se pueden descomponer como una suma directa ortogonal de espacios invariantes bidimensionales o unidimensionales; por ejemplo, esto se puede deducir de la observación de Paul Halmos y otros, de que el operador autoadjunto positivo ( S – T ) 2 conmuta tanto con S como con T. Sin embargo, en el caso anterior, donde la forma bilineal Λ ya no es un producto interno definido positivo, se debe dar un razonamiento ad hoc diferente.
Teorema (Tetas). Es fiel la representación geométrica del grupo Coxeter.
Este resultado fue demostrado por primera vez por Tit a principios de los años 1960 y publicado por primera vez en el texto de Bourbaki (1968) con sus numerosos ejercicios. En el texto, la cámara fundamental fue introducida mediante un argumento inductivo; Vinay Deodhar amplió el ejercicio 8 del §4 del Capítulo V para desarrollar una teoría de las raíces positivas y negativas y así acortar el argumento original de Tetas. [24]
Sea X el cono convexo de sumas κ e r + λ e s + μ e t con coeficientes reales no negativos, no todos cero. Para g en el grupo Γ , defina ℓ( g ) , la palabra longitud o longitud , como el número mínimo de reflexiones de r, s, t necesarias para escribir g como una composición ordenada de reflexiones simples. Defina una raíz positiva como un vector g e r , g e s o g e r que se encuentra en X , con g en Γ . [b]
Es rutinario comprobar a partir de las definiciones que [25]
Proposición. Si g está en Γ y ℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1 para una reflexión simple q , entonces g e q está en ± X y , por lo tanto, es una raíz positiva o negativa, según el signo.
Reemplazando g por gq , solo se debe considerar el signo positivo. La afirmación se demostrará por inducción sobre ℓ( g ) = m , siendo trivial para m = 0 . Supongamos que ℓ( gs ) = ℓ( g ) + 1 . Si ℓ( g ) = m > 0 , sin menos generalidad se puede suponer que la expresión mínima para g termina en ...t . Dado que s y t generan el grupo diédrico Γ a , g se puede escribir como un producto g = hk , donde k = ( st ) n o t ( st ) n y h tiene una expresión mínima que termina en ...r , pero nunca con s o t . Esto implica que ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1 y ℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1 . Dado que ℓ( h ) < m , la hipótesis de inducción muestra que tanto h e s como h e t se encuentran en X. Por tanto, basta demostrar que k e s tiene la forma λ e s + μ e t con λ , μ ≥ 0 , no ambos 0. Pero eso ya se ha verificado en las fórmulas anteriores. [25]
Corolario (demostración del teorema de Tit). La representación geométrica es fiel.
Basta demostrar que si g fija e r , e s , e t , entonces g = 1 . Considerando una expresión mínima para g ≠ 1 , las condiciones ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1 claramente no pueden ser satisfechas simultáneamente por las tres reflexiones simples q .
Tenga en cuenta que, como consecuencia del teorema de Tit, los generadores (izquierda) satisfacen las condiciones (derecha):
Más consecuencias. Las raíces son la unión disjunta de las raíces positivas y las raíces negativas. La simple reflexión q permuta toda raíz positiva distinta de e q . Para g en Γ , ℓ( g ) es el número de raíces positivas que g se vuelven negativas .
Dominio fundamental y cono de tetas. [27]
Sea G el subgrupo de Lie cerrado tridimensional de GL( V ) que preserva Λ . Como V puede identificarse con un espacio tridimensional de Lorentz o Minkowski con firma (2,1) , el grupo G es isomorfo al grupo de Lorentz O(2,1) y por lo tanto [c] Elegir e como un vector raíz positivo en X , el estabilizador de e es un subgrupo compacto máximo K de G isomorfo a O(2) . El espacio homogéneo X = G / K es un espacio simétrico de curvatura negativa constante, que puede identificarse con el hiperboloide bidimensional o plano de Lobachevsky . El grupo discreto Γ actúa discontinuamente sobre G / K : el espacio cociente Γ \ G / K es compacto si a, b, c son todos finitos y de área finita en caso contrario. Los resultados sobre la cámara fundamental de Titus tienen una interpretación natural en términos del correspondiente triángulo de Schwarz, que se traduce directamente en las propiedades de la teselación del triángulo geodésico a través del grupo de reflexión hiperbólica Γ . El paso de los grupos de Coxeter a la teselación puede encontrarse por primera vez en los ejercicios del §4 del Capítulo V de Bourbaki (1968), debido a Tits, y en Iwahori (1966); Actualmente se encuentran disponibles muchos otros tratamientos equivalentes, no siempre expresados directamente en términos de espacios simétricos.
Maskit (1971) dio una prueba general del teorema del polígono de Poincaré en el espacio hiperbólico; De Rham (1971) presentó una prueba similar. Especializado en el plano hiperbólico y los triángulos de Schwarz, esto puede usarse para dar un enfoque moderno para establecer la existencia de teselaciones de triángulos de Schwarz, como se describe en Beardon (1983) y Maskit (1988). Los matemáticos suizos de la Harpe (1990) y Haefliger han proporcionado una explicación introductoria, tomando como punto de partida la teoría de grupos geométricos . [28]
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}\quad {\begin{casos}>1&\implica {\text {Esfera}}\\[2pt]=1&\implica {\text{Plano euclidiano}}\\[2pt]<1&\implica {\text{Plano hiperbólico}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c781765fbaeffe4ee3f94e7b3cb51a404d10b98c)
^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&= 1.\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7ecf1d5c46800fc04eba2cea7eddf4e18209cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ es finito,} }\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{de lo contrario.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi } {b}}&{\text{si }}b\geq 2{\text{ es finito,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{de lo contrario.}}\end{cases }}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ es finito,}}\ \[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{de lo contrario.}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3bc2020b035d2c11a118c23f7a15f0e8349a140)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&= -C,\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacd3a78ece3fb65695a97959deb4d2acd7b0cf1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e } _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf { e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c908e760f5f2f0a01371ee2e77d3ee9f4e01a67c)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e } _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt ]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _ {t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee50c0dc8d5bc2decdf0f2453f821dabb7533a6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf { e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin( 2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \ theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b48fd6d6b2bf7d056c4874931112b041f2d1ac6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x} {\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{ t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e } _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\ izquierda[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2) x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m }(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afd090c1a27ca10876bb1fae31c6782be8375b4)
\ \ {\text{ st }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ st }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{ alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38956fd2255e8ebfbd33932b71059ae07f4df98b)
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