grupo modular

Grupo de clases de mapeo que preserva la orientación del toroide

En matemáticas , el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo de matrices de 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Las matrices A y − A están identificadas. El grupo modular actúa en la mitad superior del plano complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias , y el nombre "grupo modular" proviene de la relación con los espacios de módulos y no de la aritmética modular . ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

Definición

El grupo modular Γ es el grupo de transformaciones fraccionarias lineales de la mitad superior del plano complejo , que tienen la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números enteros y ad − bc = 1 . La operación de grupo es la composición de funciones .

Este grupo de transformaciones es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z ) , que es el cociente del grupo lineal especial bidimensional SL(2, Z ) sobre los números enteros por su centro { I , − I } . En otras palabras, PSL(2, Z ) consta de todas las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

donde a , b , c , d son números enteros, ad − bc = 1 , y los pares de matrices A y − A se consideran idénticos. La operación de grupo es la multiplicación habitual de matrices .

Algunos autores definen el grupo modular como PSL(2, Z ) , y otros definen el grupo modular como el grupo más grande SL(2, Z ) .

Algunas relaciones matemáticas requieren la consideración del grupo GL(2, Z ) de matrices con determinante más o menos uno. ( SL(2, Z ) es un subgrupo de este grupo.) De manera similar, PGL(2, Z ) es el grupo cociente GL(2, Z )/{ I , − I } . Una matriz de 2 × 2 con determinante unitario es una matriz simpléctica y, por tanto, SL(2, Z ) = Sp(2, Z ) , el grupo simpléctico de matrices de 2 × 2 .

Encontrar elementos

Para encontrar una matriz explícita

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}}}$

en SL(2, Z ) , comience con dos números enteros coprimos y resuelva la ecuación determinante ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle ay-bx=1.}$

(Observe que la ecuación determinante obliga a ser coprimo, ya que de lo contrario habría un factor tal que , , por lo tanto ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle ca'=a}$ ${\displaystyle cb'=b}$

${\displaystyle c(a'y-b'x)=1}$

no tendría soluciones enteras.) Por ejemplo, si entonces la ecuación determinante se lee ${\displaystyle a=7,{\text{ }}b=6}$

${\displaystyle 7y-6x=1}$

luego toma y da , por lo tanto ${\displaystyle y=-5}$ ${\displaystyle x=-6}$ ${\displaystyle -35-(-36)=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}7&-6\\6&-5\end{pmatrix}}}$

es una matriz. Luego, usando la proyección, estas matrices definen elementos en PSL(2, Z ) .

Propiedades de la teoría de números

El determinante unitario de

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

implica que las fracciones_a/b,_a/C,_C/d,_b/dson todos irreducibles, es decir, no tienen factores comunes (siempre que los denominadores sean distintos de cero, por supuesto). De manera más general, sipag/qes una fracción irreducible, entonces

${\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}$

también es irreducible (nuevamente, siempre que el denominador sea distinto de cero). Cualquier par de fracciones irreducibles se puede conectar de esta forma; es decir, para cualquier parpag/qyr/sde fracciones irreducibles, existen elementos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

tal que

${\displaystyle r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.}$

Los elementos del grupo modular proporcionan una simetría en la red bidimensional . Sean ω ₁ y ω ₂ dos números complejos cuya razón no es real. Entonces el conjunto de puntos

${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una red de paralelogramos en el plano. Un par diferente de vectores α ₁ y α ₂ generarán exactamente la misma red si y sólo si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

para alguna matriz en GL(2, Z ) . Es por esta razón que las funciones doblemente periódicas , como las funciones elípticas , poseen una simetría de grupo modular.

La acción del grupo modular sobre los números racionales se puede entender más fácilmente imaginando una cuadrícula, con el punto de la cuadrícula ( p , q ) correspondiente a la fracciónpag/q(ver el huerto de Euclides ). Una fracción irreducible es aquella que es visible desde el origen; la acción del grupo modular sobre una fracción nunca lleva de una visible (irreducible) a una oculta (reducible), y viceversa.

Tenga en cuenta que cualquier miembro del grupo modular mapea la línea real proyectivamente extendida uno a uno a sí mismo y, además, mapea biyectivamente la línea racional proyectivamente extendida (los racionales con infinito) a sí mismo, los irracionales a los irracionales, los números trascendentales a los números trascendentales, los números no reales a los números no reales, el semiplano superior al semiplano superior, etcétera.

Sipag _{norte −1}/q _{norte −1}ypn_​/q _norteson dos convergentes sucesivos de una fracción continua , entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

pertenece a GL(2, Z ) . En particular, si bc − ad = 1 para enteros positivos a , b , c , d con a < b y c < d entoncesa/byC/dserán vecinos en la secuencia de Farey de orden max( b , d ) . Casos especiales importantes de fracciones continuas convergentes incluyen los números de Fibonacci y las soluciones de la ecuación de Pell . En ambos casos, los números se pueden organizar para formar un subconjunto de semigrupo del grupo modular.

Propiedades de la teoría de grupos

Presentación

Se puede demostrar que el grupo modular es generado por las dos transformaciones.

${\displaystyle {\begin{aligned}S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}}\\T&:z\mapsto z+1\end{aligned}}}$

de modo que cada elemento del grupo modular pueda representarse (de forma no única) mediante la composición de potencias de S y T. Geométricamente, S representa la inversión en el círculo unitario seguida de la reflexión con respecto al eje imaginario, mientras que T representa una traslación unitaria hacia la derecha.

Los generadores S y T obedecen a las relaciones S ² = 1 y ( ST ) ³ = 1 . Se puede demostrar ^[1] que estos son un conjunto completo de relaciones, por lo que el grupo modular tiene la presentación :

${\displaystyle \Gamma \cong \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\rangle }$

Esta presentación describe el grupo modular como el grupo de triángulos rotacionales D(2, 3, ∞) (infinito ya que no hay relación en T ) y, por lo tanto, se asigna a todos los grupos de triángulos (2, 3, n ) sumando la relación T. ⁿ = 1 , que ocurre por ejemplo en el subgrupo de congruencia Γ( n ) .

Usando los generadores S y ST en lugar de S y T , esto muestra que el grupo modular es isomorfo al producto libre de los grupos cíclicos C ₂ y C ₃ :

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3}}$

• 
  La acción de T  : z ↦ z + 1 sobre H
• 
  La acción de S  : z ↦ −1/zen H

grupo de trenzas

El grupo trenzado B ₃ es la extensión central universal del grupo modular.

El grupo trenzado B ₃ es la extensión central universal del grupo modular, y estos se asientan como celosías dentro del grupo de cobertura universal (topológico) SL ₂ ( R ) → PSL ₂ ( R ) . Además, el grupo modular tiene un centro trivial y, por tanto, el grupo modular es isomorfo al grupo cociente de B ₃ módulo su centro ; de manera equivalente, al grupo de automorfismos internos de B ₃ .

El grupo de trenza B ₃ a su vez es isomorfo al grupo de nudos del nudo trébol .

Cocientes

Son de gran interés los cocientes por subgrupos de congruencia.

Otros cocientes importantes son los grupos de triángulos (2, 3, n ) , que corresponden geométricamente a descender a un cilindro, cociente la coordenada x módulo n , como T ⁿ = ( z ↦ z  +  n ) . (2, 3, 5) es el grupo de simetría icosaédrica , y el grupo de triángulos (2, 3, 7) (y los mosaicos asociados) es la cobertura de todas las superficies de Hurwitz .

Presentarse como un grupo matricial.

El grupo puede ser generado por las dos matrices ^[2] ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\text{ }}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

desde

${\displaystyle S^{2}=-I_{2},{\text{ }}(ST)^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}^{3}=-I_{2}}$

La proyección convierte estas matrices en generadores de , con relaciones similares a la presentación grupal. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Relación con la geometría hiperbólica

El grupo modular es importante porque forma un subgrupo del grupo de isometrías del plano hiperbólico . Si consideramos el modelo de semiplano superior H de geometría plana hiperbólica, entonces el grupo de todas las isometrías de H que conservan la orientación consta de todas las transformaciones de Möbius de la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números reales . En términos de coordenadas proyectivas , el grupo PSL(2, R ) actúa sobre el semiplano superior H por proyectividad:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

Esta acción es fiel . Dado que PSL(2, Z ) es un subgrupo de PSL(2, R ) , el grupo modular es un subgrupo del grupo de isometrías de H que conservan la orientación . ^[3]

Teselación del plano hiperbólico

Un dominio fundamental típico para la acción de Γ en el semiplano superior.

El grupo modular Γ actúa como un subgrupo discreto de , es decir, para cada z en podemos encontrar una vecindad de z que no contiene ningún otro elemento de la órbita de z . Esto también significa que podemos construir dominios fundamentales , que (aproximadamente) contienen exactamente un representante de la órbita de cada z en H. (Se necesita cuidado en los límites del dominio). ${\textstyle \mathbb {H} }$ ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \mathbb {H} }$

Hay muchas maneras de construir un dominio fundamental, pero una opción común es la región

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}}$

delimitado por las líneas verticales Re( z ) =1/2y Re( z ) = −1/2, y el círculo | z | = 1 . Esta región es un triángulo hiperbólico. Tiene vértices en1/2+ yo√ 3/2y -1/2+ yo√ 3/2, donde el ángulo entre sus lados esπ/3, y un tercer vértice en el infinito, donde el ángulo entre sus lados es 0.

Existe una fuerte conexión entre el grupo modular y las curvas elípticas . Cada punto en el semiplano superior da una curva elíptica, es decir, el cociente de por la red generada por 1 y . Dos puntos en el semiplano superior dan curvas elípticas isomorfas si y sólo si están relacionados por una transformación en el grupo modular. Así, el cociente del semiplano superior por la acción del grupo modular es el llamado espacio de módulos de curvas elípticas: un espacio cuyos puntos describen clases de isomorfismo de curvas elípticas. Esto a menudo se visualiza como el dominio fundamental descrito anteriormente, con algunos puntos en sus límites identificados. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$

El grupo modular y sus subgrupos son también una fuente de interesantes mosaicos del plano hiperbólico. Al transformar este dominio fundamental a su vez por cada uno de los elementos del grupo modular, se crea un mosaico regular del plano hiperbólico por triángulos hiperbólicos congruentes conocido como mosaico triangular de orden infinito V6.6.∞. Tenga en cuenta que cada uno de estos triángulos tiene un vértice en el infinito o en el eje real Im( z ) = 0 .

Este mosaico se puede extender al disco de Poincaré , donde cada triángulo hiperbólico tiene un vértice en el límite del disco. El mosaico del disco de Poincaré viene dado de forma natural por el J -invariante , que es invariante bajo el grupo modular y alcanza cada número complejo una vez en cada triángulo de estas regiones.

Esta teselación se puede refinar ligeramente, dividiendo cada región en dos mitades (convencionalmente coloreadas en blanco y negro), agregando un mapa de inversión de orientación; los colores corresponden entonces a la orientación del dominio. Sumando ( x , y ) ↦ (− x , y ) y tomando la mitad derecha de la región R (donde Re( z ) ≥ 0 ) se obtiene la teselación habitual. Esta teselación aparece impresa por primera vez en (Klein & 1878/79a), ^[4] donde se le atribuye a Richard Dedekind , en referencia a (Dedekind 1877). ^{[4] [5]}

Visualización del mapa (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) transformando los mosaicos asociados. ^[6]

El mapa de grupos (2, 3, ∞) → (2, 3, n ) (del grupo modular al grupo triangular) se puede visualizar en términos de este mosaico (produciendo un mosaico en la curva modular), como se muestra en el video. A la derecha.

Subgrupos de congruencia

Los subgrupos importantes del grupo modular Γ , llamados subgrupos de congruencia , se obtienen imponiendo relaciones de congruencia a las matrices asociadas.

Existe un homomorfismo natural SL(2, Z ) → SL(2, Z / N Z ) dado al reducir las entradas módulo N . Esto induce un homomorfismo en el grupo modular PSL(2, Z ) → PSL(2, Z / N Z ) . El núcleo de este homomorfismo se llama subgrupo de congruencia principal de nivel N , denotado Γ( N ) . Tenemos la siguiente secuencia corta exacta :

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.}$

Siendo el núcleo de un homomorfismo Γ( N ) es un subgrupo normal del grupo modular Γ . El grupo Γ( N ) está dado como el conjunto de todas las transformaciones modulares.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

para los cuales a ≡ d ≡ ±1 (mod N ) y b ≡ c ≡ 0 (mod N ) .

Es fácil demostrar que la traza de una matriz que representa un elemento de Γ( N ) no puede ser −1, 0 o 1, por lo que estos subgrupos son grupos libres de torsión . (Hay otros subgrupos libres de torsión).

El principal subgrupo de congruencia del nivel 2, Γ(2) , también se llama grupo modular Λ . Dado que PSL(2, Z /2 Z ) es isomorfo a S 3 , Λ es un subgrupo del índice 6. El grupo Λ consta de todas las transformaciones modulares para las cuales a y d son impares y b y c son pares.

Otra familia importante de subgrupos de congruencia es el grupo modular Γ ₀ ( N ) definido como el conjunto de todas las transformaciones modulares para las cuales c ≡ 0 (mod N ) , o equivalentemente, como el subgrupo cuyas matrices se vuelven triangulares superiores al reducir el módulo N. Tenga en cuenta que Γ( N ) es un subgrupo de Γ ₀ ( N ) . Las curvas modulares asociadas con estos grupos son un aspecto de monstruoso alcohol ilegal : para un número primo p , la curva modular del normalizador es de género cero si y sólo si p divide el orden del grupo de monstruos , o de manera equivalente, si p es un supersingular. principal .

monoide diádico

Un subconjunto importante del grupo modular es el monoide diádico , que es el monoide de todas las cadenas de la forma ST ^k ST ^m ST ⁿ ... para enteros positivos k , m , n , .... Este monoide ocurre naturalmente en el estudio de curvas fractales y describe las simetrías de autosemejanza de la función de Cantor , la función del signo de interrogación de Minkowski y el copo de nieve de Koch , siendo cada una de ellas un caso especial de la curva general de De Rham . El monoide también tiene representaciones lineales de dimensiones superiores; por ejemplo, se puede entender que la representación N = 3 describe la autosimetría de la curva de manjar blanco .

Mapas del toroide

El grupo GL(2, Z ) son los mapas lineales que preservan la red estándar Z ² , y SL(2, Z ) son los mapas que preservan la orientación y preservan esta red; por lo tanto, descienden a autohomeomorfismos del toro (mapeo SL a mapas que preservan la orientación) y, de hecho, se mapean isomórficamente al grupo de clases de mapeo (extendido) del toro, lo que significa que cada autohomeomorfismo del toro es isotópico a un mapa de este formulario. Las propiedades algebraicas de una matriz como elemento de GL(2, Z ) corresponden a la dinámica del mapa inducido del toro.

grupos hecke

El grupo modular se puede generalizar a los grupos de Hecke , llamados así por Erich Hecke , y definidos de la siguiente manera. ^[7]

El grupo de Hecke H _q con q ≥ 3 , es el grupo discreto generado por

${\displaystyle {\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}}$

donde λ _q = 2 cosπ/q. Para valores pequeños de q ≥ 3 , se tiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}$

El grupo modular Γ es isomorfo a H ₃ y comparten propiedades y aplicaciones, por ejemplo, del mismo modo que se tiene el producto libre de grupos cíclicos.

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}$

más generalmente uno tiene

${\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q},}$

que corresponde al grupo de triángulos (2, q , ∞) . Existe igualmente una noción de subgrupos de congruencia principal asociados a ideales principales en Z [ λ ] .

Historia

El grupo modular y sus subgrupos fueron estudiados en detalle por primera vez por Richard Dedekind y Felix Klein como parte de su programa de Erlangen en la década de 1870. Sin embargo, Joseph Louis Lagrange estudió las funciones elípticas estrechamente relacionadas en 1785, y Carl Gustav Jakob Jacobi y Niels Henrik Abel publicaron más resultados sobre funciones elípticas en 1827.

Ver también

• grupo bianchi
• Curva modular clásica
• grupo fucsia
• J -invariante
• grupo kleiniano
• Grupo de clases de mapeo
• La función del signo de interrogación de Minkowski
• Transformación de Moebius
• curva modular
• Forma modular
• Kuṭṭaka
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Mosaicos uniformes en plano hiperbólico.

Referencias

1. Alperin, Roger C. (abril de 1993). " PSL ₂ ( Z ) = Z ₂ ∗ Z ₃ ". América. Matemáticas. Mensual . 100 (4): 385–386. doi :10.2307/2324963. JSTOR  2324963.
2. Conrado, Keith. "SL(2,Z)" (PDF) .
3. McCreary, Paul R.; Murphy, Teri Jo; Carter, cristiano. "El Grupo Modular" (PDF) . La revista Mathematica . 9 (3).
4. Le Bruyn, Lieven (22 de abril de 2008), ¿Dedekind o Klein?
5. Stillwell, John (enero de 2001). "Milagros modulares". El Mensual Matemático Estadounidense . 108 (1): 70–76. doi :10.2307/2695682. ISSN  0002-9890. JSTOR  2695682.
6. Westendorp, Gerard. "Teselados platónicos de superficies de Riemann". www.xs4all.nl .
7. Rosenberger, Gerhard; Bien, Benjamín; Gaglione, Anthony M.; Spellman, Dennis (2006). Teoría combinatoria de grupos, grupos discretos y teoría de números. pag. 65.ISBN​ 9780821839850.

• Apóstol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2ª ed.). Nueva York: Springer. cap. 2.ISBN​ 0-387-97127-0.
• Klein, Felix (1878–1879), "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (Sobre la transformación de funciones elípticas y...)", Math. Annalen , 14 : 13–75, doi :10.1007/BF02297507, S2CID  121056952, archivado desde el original el 19 de julio de 2011 , consultado el 3 de junio de 2010
• Dedekind, Richard (septiembre de 1877), "Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen", Crelle's Journal , 83 : 265–292.