(2,3,7) grupo de triángulos

En la teoría de las superficies de Riemann y la geometría hiperbólica , el grupo de triángulos (2,3,7) es particularmente importante por su conexión con las superficies de Hurwitz , es decir, las superficies de Riemann de género g con el mayor orden posible, 84( g − 1), de su grupo de automorfismo.

El término "grupo de triángulos (2,3,7)" con mayor frecuencia no se refiere al grupo de triángulos completo Δ(2,3,7) (el grupo de Coxeter con el triángulo de Schwarz (2,3,7) o una realización como un hiperbólico grupo de reflexión ), sino más bien al grupo de triángulos ordinario (el grupo de von Dyck ) D (2,3,7) de mapas que preservan la orientación (el grupo de rotación), que es el índice 2.

Los subgrupos normales libres de torsión del grupo de triángulos (2,3,7) son grupos fucsianos asociados con superficies de Hurwitz , como el cuártico de Klein , la superficie de Macbeath y el primer triplete de Hurwitz .

Construcciones

Construcción hiperbólica

El grupo de triángulos (2,3,7) es el grupo de isometrías del mosaico que preservan la orientación por el triángulo de Schwarz (2,3,7) , que se muestra aquí en una proyección del modelo de disco de Poincaré .

Para construir el grupo de triángulos, comienza con un triángulo hiperbólico con ángulos π/2, π/3 y π/7. Este triángulo, el triángulo hiperbólico de Schwarz más pequeño , mosaico el plano mediante reflejos en sus lados. Consideremos entonces el grupo generado por reflexiones en los lados del triángulo, que (ya que los mosaicos del triángulo) es un grupo cristalográfico no euclidiano (un subgrupo discreto de isometrías hiperbólicas) con este triángulo como dominio fundamental ; el mosaico asociado es el mosaico heptagonal bisecado de orden 3 . El grupo de triángulos (2,3,7) se define como los subgrupos índice 2 que consisten en isometrías que preservan la orientación, que es un grupo fucsiano (grupo NEC que preserva la orientación).

Presentación de grupo

Tiene una presentación en términos de un par de generadores, g ₂ , g ₃ , módulo las siguientes relaciones:

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.}$

Geométricamente, estos corresponden a rotaciones de y alrededor de los vértices del triángulo de Schwarz. ${\displaystyle {\frac {2\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{7}}}$

Álgebra de cuaterniones

El grupo de triángulos (2,3,7) admite una presentación en términos del grupo de cuaterniones de norma 1 en un orden adecuado en un álgebra de cuaterniones . Más específicamente, el grupo de triángulos es el cociente del grupo de cuaterniones por su centro ±1.

Sea η = 2cos(2π/7). Entonces de la identidad

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.}$

vemos que Q (η) es una extensión cúbica totalmente real de Q. El grupo de triángulos hiperbólicos (2,3,7) es un subgrupo del grupo de elementos de norma 1 en el álgebra de cuaterniones generado como álgebra asociativa por el par de generadores i , j y relaciones i ² = j ² = η , ij  = −ji .​ Se elige un orden de cuaterniones de Hurwitz adecuado en el álgebra de cuaterniones. Aquí el orden se genera por elementos. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

De hecho, el orden es un módulo Z [η] libre sobre la base . Aquí los generadores satisfacen las relaciones. ${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,\,}$

que descienden a las relaciones apropiadas en el grupo de triángulos, después de cocientes por el centro.

Relación con SL(2,R)

Visualización del mapa (2,3,∞) → (2,3,7) transformando los mosaicos asociados. ^[1]

Extendiendo los escalares de Q (η) a R (a través de la incrustación estándar), se obtiene un isomorfismo entre el álgebra de cuaterniones y el álgebra M(2, R ) de matrices reales de 2 por 2. La elección de un isomorfismo concreto permite exhibir el grupo de triángulos (2,3,7) como un grupo fucsiano específico en SL(2, R ) , específicamente como un cociente del grupo modular . Esto se puede visualizar mediante los mosaicos asociados, como se muestra a la derecha: el mosaico (2,3,7) en el disco de Poincaré es un cociente del mosaico modular en el semiplano superior.

Para muchos propósitos, los isomorfismos explícitos son innecesarios. Así, las trazas de los elementos del grupo (y, por tanto, también las longitudes de traslación de los elementos hiperbólicos que actúan en el semiplano superior , así como las sístoles de los subgrupos fucsianos) se pueden calcular mediante la traza reducida en el álgebra de cuaterniones y la fórmula

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).}$

Referencias

1. Azulejos platónicos de superficies de Riemann: The Modular Group, Gerard Westendorp

Otras lecturas

• Elkies, Dakota del Norte (1998). "Cálculos de la curva de Shimura". En Buhler, JP (ed.). Teoría algorítmica de números. HORMIGAS 1998 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 1423. Saltador. págs. 1–47. arXiv : math.NT/0005160 . doi :10.1007/BFb0054850. ISBN 978-3-540-69113-6.
• Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. (2007). "Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia". J. Geom diferencial. 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 .