Teorema de monodromía

Oración matemática

Ilustración de la continuación analítica a lo largo de una curva (sólo se muestran un número finito de discos ). ${\displaystyle U_{t}}$

Continuación analítica a lo largo de una curva del logaritmo natural (sólo se muestra la parte imaginaria del logaritmo).

En el análisis complejo , el teorema de monodromía es un resultado importante sobre la continuación analítica de una función analítica compleja a un conjunto mayor. La idea es que se puede extender una función analítica compleja (de aquí en adelante llamada simplemente función analítica ) a lo largo de curvas que comienzan en el dominio original de la función y terminan en el conjunto mayor. Un problema potencial de esta estrategia de continuación analítica a lo largo de una curva es que normalmente hay muchas curvas que terminan en el mismo punto en el conjunto mayor. El teorema de monodromía proporciona condiciones suficientes para que la continuación analítica dé el mismo valor en un punto dado independientemente de la curva utilizada para llegar allí, de modo que la función analítica extendida resultante esté bien definida y sea univaluada.

Antes de enunciar este teorema es necesario definir la continuación analítica a lo largo de una curva y estudiar sus propiedades.

Continuación analítica a lo largo de una curva

La definición de continuación analítica a lo largo de una curva es un poco técnica, pero la idea básica es que uno comienza con una función analítica definida alrededor de un punto y extiende esa función a lo largo de una curva a través de funciones analíticas definidas en pequeños discos superpuestos que cubren esa curva.

Formalmente, considere una curva (una función continua ) Sea una función analítica definida en un disco abierto centrado en Una continuación analítica del par a lo largo de es una colección de pares para tales que ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \gamma (0).}$ ${\displaystyle (f,U)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

• ${\displaystyle f_{0}=f}$y ${\displaystyle U_{0}=U.}$

• Para cada uno hay un disco abierto centrado en y es una función analítica. ${\displaystyle t\in [0,1],U_{t}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle f_{t}:U_{t}\to \mathbb {C} }$

• Para cada uno existe tal que para todos con uno tiene que (lo que implica que y tienen una intersección no vacía ) y las funciones y coinciden en la intersección ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle t'\in [0,1]}$ ${\displaystyle |t-t'|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \gamma (t')\in U_{t}}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle U_{t'}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t'}}$ ${\displaystyle U_{t}\cap U_{t'}.}$

Propiedades de la continuación analítica a lo largo de una curva

La continuación analítica a lo largo de una curva es esencialmente única, en el sentido de que dadas dos continuaciones analíticas y de a lo largo de las funciones y coinciden en De manera informal, esto dice que cualesquiera dos continuaciones analíticas de a lo largo terminarán con los mismos valores en un entorno de ${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$ ${\displaystyle (g_{t},V_{t})}$ ${\displaystyle (0\leq t\leq 1)}$ ${\displaystyle (f,U)}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap V_{1}.}$ ${\displaystyle (f,U)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (1).}$

Si la curva es cerrada (es decir, ), no es necesario tener igual en un entorno de Por ejemplo, si uno comienza en un punto con y el logaritmo complejo definido en un entorno de este punto, y uno deja que sea el círculo de radio centrado en el origen (recorrido en sentido antihorario desde ), entonces al hacer una continuación analítica a lo largo de esta curva uno terminará con un valor del logaritmo en el que es más el valor original (ver la segunda ilustración a la derecha). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \gamma (0).}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

Teorema de monodromía

La homotopía con puntos finales fijos es necesaria para que se cumpla el teorema de la monodromía.

Como se señaló anteriormente, dos continuaciones analíticas a lo largo de la misma curva arrojan el mismo resultado en el punto final de la curva. Sin embargo, dadas dos curvas diferentes que se ramifican desde el mismo punto alrededor del cual se define una función analítica, y las curvas se reconectan al final, no es cierto en general que las continuaciones analíticas de esa función a lo largo de las dos curvas arrojarán el mismo valor en su punto final común.

En efecto, se puede considerar, como en la sección anterior, el logaritmo complejo definido en un entorno de un punto y del círculo centrado en el origen y de radio. Entonces, es posible viajar desde hasta de dos maneras, en sentido antihorario, en el arco del semiplano superior de este círculo, y en sentido horario, en el arco del semiplano inferior. Los valores del logaritmo en obtenidos por continuación analítica a lo largo de estos dos arcos diferirán en ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Sin embargo, si se puede deformar continuamente una de las curvas para formar otra, manteniendo fijos los puntos de partida y de llegada, y es posible la continuación analítica en cada una de las curvas intermedias, entonces las continuaciones analíticas a lo largo de las dos curvas producirán los mismos resultados en su punto final común. Esto se denomina teorema de la monodromía y su enunciado se precisa a continuación.

Sea un disco abierto en el plano complejo centrado en un punto y sea una función analítica compleja. Sea otro punto en el plano complejo. Si existe una familia de curvas con tales que y para toda la función es continua, y para cada una es posible hacer una continuación analítica de a lo largo entonces las continuaciones analíticas de a lo largo y darán los mismos valores en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \gamma _{s}:[0,1]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma _{s}(0)=P}$ ${\displaystyle \gamma _{s}(1)=Q}$ ${\displaystyle s\in [0,1],}$ ${\displaystyle (s,t)\in [0,1]\times [0,1]\to \gamma _{s}(t)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma _{s},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle Q.}$

El teorema de monodromía permite extender una función analítica a un conjunto mayor mediante curvas que conectan un punto del dominio original de la función con puntos del conjunto mayor. El teorema que se expone a continuación también se denomina teorema de monodromía.

Sea un disco abierto en el plano complejo centrado en un punto y sea una función analítica compleja. Si es un conjunto abierto simplemente conexo que contiene y es posible realizar una continuación analítica de sobre cualquier curva contenida en que comienza en entonces admite una continuación analítica directa a lo que significa que existe una función analítica compleja cuya restricción a es ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle g:W\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f.}$

Véase también

• Continuación analítica
• Monodromía

Referencias

• Krantz, Steven G. (1999). Manual de variables complejas . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
• Jones, Gareth A.; Singerman, David (1987). Funciones complejas: un punto de vista algebraico y geométrico . Cambridge University Press. ISBN 0-521-31366-X.

• Triebel, Hans (1986). Análisis y física matemática, ed. inglesa . Pub D. Reidel. ISBN del condado 90-277-2077-0.

Enlaces externos

• Teorema de monodromía en MathWorld
• Teorema de monodromía en PlanetMath .
• Teorema de monodromía en la Enciclopedia de Matemáticas