Georges de Rham ( en francés: [dəʁam] ; 10 de septiembre de 1903 - 9 de octubre de 1990) fue un matemático suizo , conocido por sus contribuciones a la topología diferencial .
Georges de Rham nació el 10 de septiembre de 1903 en Roche , un pequeño pueblo en el cantón de Vaud en Suiza . Fue el quinto de los seis hijos de Léon de Rham, un ingeniero de construcción. [1] Georges de Rham creció en Roche, pero fue a la escuela en la cercana Aigle , la ciudad principal del distrito, viajando diariamente en tren. Según sus propias palabras, no fue un estudiante extraordinario en la escuela, donde disfrutaba principalmente de la pintura y soñaba con convertirse en pintor . [2] En 1919 se mudó con su familia a Lausana en un apartamento alquilado en el castillo de Beaulieu , donde viviría el resto de su vida. Georges de Rham comenzó el Gymnasium en Lausana con un enfoque en las humanidades, siguiendo su pasión por la literatura y la filosofía, pero aprendiendo poco matemáticas. Sin embargo, al graduarse del Gymnasium en 1921, decidió no continuar con la Facultad de Letras para evitar el latín. En su lugar, optó por la Facultad de Ciencias de la Universidad de Lausana . En la facultad, comenzó estudiando biología, física y química, pero no matemáticas. Al intentar aprender algo de matemáticas por sí mismo como herramienta para la física, su interés aumentó y, en el tercer año, abandonó la biología para centrarse decididamente en las matemáticas. [3]
En la Universidad recibió la influencia de dos profesores, Gustave Dumas y Dmitri Mirimanoff , quienes lo guiaron en el estudio de las obras de Émile Borel , René-Louis Baire , Henri Lebesgue y Joseph Serret . Después de graduarse en 1925, de Rham permaneció en la Universidad de Lausana como asistente de Dumas. Al comenzar a trabajar para completar su doctorado, leyó las obras de Henri Poincaré sobre topología por consejo de Dumas. Aunque encontró inspiración para un tema de tesis en Poincaré, el progreso fue lento ya que la topología era un tema relativamente nuevo y el acceso a la literatura relevante era difícil en Lausana. [2] Con la recomendación de Dumas, de Rham contactó con Lebesgue y fue a París durante unos meses en 1926 y, nuevamente, durante unos meses en 1928. Ambos viajes fueron financiados por sus propios ahorros y pasó su tiempo en París tomando clases y estudiando en la Universidad de París y el Collège de France . Lebesgue ayudó mucho a De Rham en este período, tanto en sus estudios como en sus primeras publicaciones de investigación. Cuando terminó su tesis, Lebesgue le aconsejó que se la enviara a Élie Cartan y, en 1931, De Rham se doctoró en la Universidad de París ante una comisión dirigida por Cartan y que incluía a Paul Montel y Gaston Julia como examinadores. [1]
En 1932, de Rham regresó a la Universidad de Lausana como profesor extraordinario. En 1936 también fue nombrado profesor de la Universidad de Ginebra y continuó ocupando ambos puestos en paralelo hasta su jubilación en 1971. [4]
De Rham fue también uno de los mejores alpinistas de Suiza. Como miembro del Grupo Independiente de Alta Montaña de Lausana desde 1944, abrió varias rutas difíciles, algunas de ellas en los Alpes del Valais (como la arista sur del Stockhorn desde Baltschieder [5] ) y los Alpes de Vaud (como L'Argentine [6] y Pacheu). En 1944 escribió una guía de escalada completa del Miroir d'Argentine , donde escaló rutas hasta 1980. Según John Milnor , en 1933 de Rham se encontró en una de sus caminatas con James Alexander y Hassler Whitney , quienes escalaban juntos cerca del Weisshorn en Valais ; este encuentro fue el comienzo de una amistad de más de 40 años entre Whitney y de Rham. [7]
La teoría de las formas diferenciales tiene raíces clásicas, con la relación entre formas y topología diferencial iniciada a principios del siglo XX por Henri Poincaré y Élie Cartan , quienes observaron el lema de Poincaré así como el hecho de que no toda forma diferencial cerrada es exacta . Cartan conjeturó en 1928 que los números de Betti de una variedad suave podrían ser codificados por formas diferenciales. Como una forma particular de esto, conjeturó que una forma cerrada es exacta si se integra a cero sobre cualquier subvariedad sin límite, y que una subvariedad sin límite es en sí misma un límite de otra subvariedad, si toda forma cerrada se integra a cero sobre ella. De Rham, en su tesis de 1931, demostró la conjetura de Cartan descomponiendo una forma diferencial arbitraria en la suma de una forma cerrada y un número de formas elementales , que son formas diferenciales asociadas a una triangulación suave del espacio. [8]
Después de este trabajo, de Rham hizo varios intentos de unificar formas y subvariedades en un único tipo de objeto matemático. Identificó la noción última de corriente en la década de 1950, generalizando (e inspirado por) el trabajo reciente de Laurent Schwartz sobre distribuciones . [9] El trabajo de De Rham sobre estos temas ahora se formula generalmente en el lenguaje de la teoría de cohomología , aunque él mismo no lo hizo. [8] En esta forma, su trabajo de tesis se ha vuelto fundamental para el campo de la topología diferencial , mientras que su teoría de corrientes es básica para la teoría de la medida geométrica y campos relacionados. [10] [11] Su trabajo es particularmente importante para la teoría de Hodge y la teoría de haces .
En una parte adicional de su tesis de 1931, de Rham introdujo versiones de dimensiones superiores de los espacios de lentes tridimensionales y calculó su homología , estableciendo así una condición necesaria para que dos espacios de lentes sean homeomorfos. [8]
La estructura de un producto de Riemann implica automáticamente una estructura de producto de los grupos de holonomía . En 1952, De Rham consideró la inversa, demostrando que, si hay una descomposición del fibrado tangente en subfibrados vectoriales que son invariantes bajo el grupo de holonomía, entonces la estructura de Riemann debe descomponerse como un producto. Este resultado, ahora conocido como el teorema de descomposición de De Rham , se ha convertido en un resultado fundamental de los libros de texto de geometría de Riemann . [12] [13]