Teorema de los automorfismos de Hurwitz

Limita el orden del grupo de automorfismos de una superficie compacta de Riemann del género g > 1

En matemáticas , el teorema de automorfismos de Hurwitz limita el orden del grupo de automorfismos , mediante asignaciones conformes que preservan la orientación , de una superficie compacta de Riemann de género g  > 1, afirmando que el número de tales automorfismos no puede exceder 84 ( g  - 1). Un grupo para el que se alcanza el máximo se denomina grupo de Hurwitz , y la superficie de Riemann correspondiente, superficie de Hurwitz . Debido a que las superficies compactas de Riemann son sinónimo de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares , una superficie de Hurwitz también puede denominarse curva de Hurwitz . ^[1] El teorema lleva el nombre de Adolf Hurwitz , quien lo demostró en (Hurwitz 1893).

La cota de Hurwitz también es válida para curvas algebraicas sobre un campo de característica positiva 0 y sobre campos de característica positiva p >0 para grupos cuyo orden es coprimo de p , pero puede fallar en campos de característica positiva p >0 cuando p divide el orden del grupo. Por ejemplo, la doble cobertura de la línea proyectiva y ² = x ^p − x ramificada en todos los puntos definidos sobre el campo primo tiene género g =( p −1)/2 pero sobre ella actúa el grupo SL ₂ ( p ) de orden pag ³ - pag .

Interpretación en términos de hiperbolicidad.

Uno de los temas fundamentales en geometría diferencial es una tricotomía entre las variedades de Riemann de curvatura positiva, cero y negativa K. Se manifiesta en muchas situaciones diversas y en varios niveles. En el contexto de las superficies compactas de Riemann X , mediante el teorema de uniformización de Riemann , esto puede verse como una distinción entre las superficies de diferentes topologías:

• X una esfera , una superficie compacta de Riemann de género cero con K  > 0;
• X un toro plano , o una curva elíptica , una superficie de Riemann de género uno con K  = 0;
• y X una superficie hiperbólica , que tiene género mayor que uno y K  <0.

Mientras que en los dos primeros casos la superficie X admite infinitos automorfismos conformes (de hecho, el grupo de automorfismos conformes es un grupo de Lie complejo de dimensión tres para una esfera y de dimensión uno para un toro), una superficie de Riemann hiperbólica sólo admite una superficie discreta. conjunto de automorfismos. El teorema de Hurwitz afirma que, de hecho, hay más cosas ciertas: proporciona un límite uniforme en el orden del grupo de automorfismos en función del género y caracteriza aquellas superficies de Riemann para las cuales el límite es agudo .

Declaración y prueba

Teorema : Sea una superficie de género de Riemann lisa y conexa . Entonces su grupo de automorfismo tiene un tamaño como máximo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$

Prueba: Supongamos por ahora que es finito (esto se demostrará al final). ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$

• Considere el mapa de cocientes . Dado que actúa mediante funciones holomorfas, el cociente es localmente de la forma y el cociente es una superficie lisa de Riemann. El mapa de cociente es una cubierta ramificada, y veremos a continuación que los puntos de ramificación corresponden a las órbitas que tienen un estabilizador no trivial. Sea el género de . ${\displaystyle X\to X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z\to z^{n}}$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle X\to X/G}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle X/G}$
• Por la fórmula de Riemann-Hurwitz ,
  $${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$
  donde la suma está sobre los puntos de ramificación del mapa de cocientes . El índice de ramificación en es solo el orden del grupo estabilizador, desde donde el número de preimágenes de (el número de puntos en la órbita), y . Por definición de puntos de ramificación, para todos los índices de ramificación. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{i}\in X/G}$ ${\displaystyle X\to X/G}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$ ${\displaystyle e_{i}\geq 2}$ ${\displaystyle k}$

Ahora llame al lado derecho y ya que debemos tener . Reordenando la ecuación encontramos: ${\displaystyle |G|R}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle R>0}$

• Si entonces , y ${\displaystyle g_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle R\geq 2}$ ${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• Si , entonces y para que , ${\displaystyle g_{0}=1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$ ${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
• Si , entonces y ${\displaystyle g_{0}=0}$ ${\displaystyle k\geq 3}$
  • si entonces , para que ${\displaystyle k\geq 5}$ ${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$ ${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • si entonces , para que , ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$ ${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$
  • si entonces escribe . Podemos suponer . ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$ ${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$
    • si entonces es así , ${\displaystyle p\geq 3}$ ${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$ ${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$
    • si entonces ${\displaystyle p=2}$
      • si entonces es así , ${\displaystyle q\geq 4}$ ${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$ ${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$
      • si entonces es así . ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$ ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$

En conclusión, . ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$

Para demostrar que es finito, observe que actúa sobre la cohomología preservando la descomposición de Hodge y la red . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$

• En particular, su acción da un homomorfismo con imagen discreta . ${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle h(G)}$
• Además, la imagen conserva el producto interior hermitiano natural no degenerado . En particular, la imagen está contenida en el grupo unitario que es compacto . Por tanto, la imagen no es sólo discreta, sino finita. ${\displaystyle h(G)}$ ${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle h(G)}$
• Queda por demostrar que tiene un núcleo finito. De hecho, probaremos que es inyectiva. Supongamos que actúa como identidad en . Si es finita, entonces según el teorema del punto fijo de Lefschetz , ${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi \in G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$
  $${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

Esto es una contradicción, y también lo es infinito. Dado que es una subvariedad compleja cerrada de dimensión positiva y es una curva suave y conexa (es decir ), debemos tener . Así es la identidad, y concluimos que es inyectiva y finita. QED ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G\cong h(G)}$

Corolario de la prueba : Una superficie de Riemann de género tiene automorfismos si y sólo si es una cubierta ramificada con tres puntos de ramificación, de índices 2 , 3 y 7 . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

La idea de otra prueba y construcción de las superficies de Hurwitz.

Según el teorema de uniformización, cualquier superficie hiperbólica X (es decir, la curvatura gaussiana de X es igual a menos uno en cada punto) está cubierta por el plano hiperbólico . Los mapeos conformes de la superficie corresponden a automorfismos del plano hiperbólico que preservan la orientación. Según el teorema de Gauss-Bonnet , el área de la superficie es

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1).

Para que el grupo de automorfismos G de X sea lo más grande posible, queremos que el área de su dominio fundamental D para esta acción sea lo más pequeña posible. Si el dominio fundamental es un triángulo con los ángulos de vértice π/p, π/q y π/r, definiendo un mosaico del plano hiperbólico, entonces p , q y r son números enteros mayores que uno, y el área es

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r ).

Por lo tanto, estamos pidiendo números enteros que formen la expresión

1 − 1/ pag − 1/ q − 1/ r

estrictamente positivo y lo más pequeño posible. Este valor mínimo es 1/42, y

1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42

da un triple único de tales números enteros. Esto indicaría que el pedido | GRAMO | del grupo de automorfismos está limitado por

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1).

Sin embargo, un razonamiento más delicado muestra que se trata de una sobreestimación por el factor de dos, porque el grupo G puede contener transformaciones que invierten la orientación. Para los automorfismos conformes que conservan la orientación, el límite es 84 ( g - 1).

Construcción

Los grupos y superficies de Hurwitz se construyen basándose en el mosaico del plano hiperbólico mediante el triángulo de Schwarz (2,3,7) .

Para obtener un ejemplo de un grupo de Hurwitz, comencemos con un mosaico (2,3,7) del plano hiperbólico. Su grupo de simetría total es el grupo de triángulos completo (2,3,7) generado por las reflexiones a través de los lados de un único triángulo fundamental con los ángulos π/2, π/3 y π/7. Dado que una reflexión invierte el triángulo y cambia la orientación, podemos unir los triángulos en pares y obtener un polígono en mosaico que conserva la orientación. Una superficie de Hurwitz se obtiene "cerrando" una parte de este mosaico infinito del plano hiperbólico a una superficie compacta de Riemann de género g . Esto implicará necesariamente exactamente 84 ( g − 1) fichas de triángulos dobles.

Los siguientes dos mosaicos regulares tienen el grupo de simetría deseado; el grupo rotacional corresponde a la rotación alrededor de una arista, un vértice y una cara, mientras que el grupo de simetría completa también incluiría una reflexión. Los polígonos en el mosaico no son dominios fundamentales: el mosaico de triángulos (2,3,7) refina ambos y no es regular.

Las construcciones de Wythoff producen más mosaicos uniformes , produciendo ocho mosaicos uniformes , incluidos los dos regulares que se muestran aquí. Todos estos descienden a las superficies de Hurwitz, produciendo mosaicos de las superficies (triangulación, mosaicos por heptágonos, etc.).

De los argumentos anteriores se puede inferir que un grupo de Hurwitz G se caracteriza por la propiedad de que es un cociente finito del grupo con dos generadores a y b y tres relaciones

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

por tanto G es un grupo finito generado por dos elementos de orden dos y tres, cuyo producto es de orden siete. Más precisamente, cualquier superficie de Hurwitz, es decir, una superficie hiperbólica que realiza el orden máximo del grupo de automorfismos para las superficies de un género determinado, se puede obtener mediante la construcción dada. Esta es la última parte del teorema de Hurwitz.

Ejemplos de grupos y superficies de Hurwitz

El pequeño cúbicocuboctaedro es una inmersión poliédrica del mosaico del cuartico de Klein por 56 triángulos, que se encuentran en 24 vértices. ^[2]

El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) , de orden 168, y la curva correspondiente es la curva cuártica de Klein . Este grupo también es isomorfo a PSL(3,2) .

La siguiente es la curva de Macbeath , con grupo de automorfismo PSL(2,8) de orden 504. Muchos más grupos simples finitos son grupos de Hurwitz; por ejemplo, todos menos 64 de los grupos alternos son grupos de Hurwitz, siendo el ejemplo más grande que no es de Hurwitz el de grado 167. El grupo alterno más pequeño que es un grupo de Hurwitz es A ₁₅ .

La mayoría de los grupos lineales especiales proyectivos de gran rango son grupos de Hurwitz (Lucchini, Tamburini y Wilson 2000). Para los rangos inferiores, menos grupos de este tipo son Hurwitz. Para n _p del orden de p módulo 7, se tiene que PSL(2, q ) es Hurwitz si y sólo si q =7 o q = p ^{n _p} . De hecho, PSL(3, q ) es Hurwitz si y solo si q = 2, PSL(4, q ) nunca es Hurwitz y PSL(5, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 ⁴ o q = p ^{n _pág} , (Tamburini y Vsemirnov 2006).

De manera similar, muchos grupos del tipo Lie son Hurwitz. Los grupos clásicos finitos de gran rango son Hurwitz (Lucchini y Tamburini 1999). Los grupos de Lie excepcionales de tipo G2 y los grupos de Ree de tipo 2G2 son casi siempre Hurwitz (Malle 1990). Otras familias de grupos de Lie excepcionales y retorcidos de bajo rango son Hurwitz en (Malle 1995).

Hay 12 grupos esporádicos que pueden generarse como grupos de Hurwitz: los grupos de Janko J ₁ , J ₂ y J ₄ , los grupos de Fischer Fi ₂₂ y Fi' ₂₄ , el grupo de Rudvalis , el grupo de Held , el grupo de Thompson , los Harada– El grupo Norton , el tercer grupo Conway Co ₃ , el grupo Lyons y el Monster , (Wilson 2001).

Grupos de automorfismo en género bajo.

El mayor |Aut( X )| puede obtener para una superficie de Riemann X de género g se muestra a continuación, para 2≤ g ≤10, junto con una superficie X ₀ con |Aut( X ₀ )| máximo.

En este rango sólo existe una curva de Hurwitz en género g =3 y g =7.

Generalizaciones

El concepto de superficie de Hurwitz se puede generalizar de varias maneras a una definición que tiene ejemplos en todos los géneros excepto en unos pocos. Quizás la más natural sea una superficie "máximamente simétrica": una que no se puede modificar continuamente a través de superficies igualmente simétricas hasta una superficie cuya simetría contenga adecuadamente la de la superficie original. Esto es posible para todos los géneros compactos orientables (consulte la sección anterior "Grupos de automorfismos en géneros inferiores").

Ver también

• (2,3,7) grupo triangular

Notas

1. Técnicamente hablando, existe una equivalencia de categorías entre la categoría de superficies compactas de Riemann con los mapas conformes que conservan la orientación y la categoría de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares con los morfismos algebraicos.
2. (Richter) Tenga en cuenta que cada cara del poliedro consta de varias caras en el mosaico: dos caras triangulares constituyen una cara cuadrada, etc., según esta imagen explicativa.

Referencias

• Hurwitz, A. (1893), "Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich", Mathematische Annalen , 41 (3): 403–442, doi :10.1007/BF01443420, JFM  24.0380.02.
• Lucchini, A.; Tamburini, MC (1999), "Grupos clásicos de gran rango como grupos de Hurwitz", Journal of Algebra , 219 (2): 531–546, doi : 10.1006/jabr.1999.7911 , ISSN  0021-8693, MR  1706821
• Lucchini, A.; Tamburini, MC; Wilson, JS (2000), "Grupos de Hurwitz de gran rango", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Segunda Serie, 61 (1): 81–92, doi :10.1112/S0024610799008467, ISSN  0024-6107, MR  1745399
• Malle, Gunter (1990), "Grupos de Hurwitz y G2 (q)", Boletín matemático canadiense , 33 (3): 349–357, doi : 10.4153/CMB-1990-059-8 , ISSN  0008-4395, SEÑOR  1077110
• Malle, Gunter (1995), "Grupos de Hurwitz excepcionales de rango pequeño", Grupos de tipo Lie y sus geometrías (Como, 1993) , London Math. Soc. Serie de notas de conferencia, vol. 207, Cambridge University Press , págs. 173–183, SEÑOR  1320522
• Tamburini, MC; Vsemirnov, M. (2006), "Subgrupos (2,3,7) irreducibles de PGL(n,F) para n ≤ 7", Journal of Algebra , 300 (1): 339–362, doi :10.1016/j .jalgebra.2006.02.030, ISSN  0021-8693, SEÑOR  2228652
• Wilson, RA (2001), "The Monster is a Hurwitz group", Journal of Group Theory , 4 (4): 367–374, doi :10.1515/jgth.2001.027, MR  1859175, archivado desde el original el 2012-03- 05 , consultado el 4 de septiembre de 2015.
• Richter, David A., Cómo hacer el Mathieu Group M24 , consultado el 15 de abril de 2010