Curvatura escalar

Medida de curvatura en geometría diferencial

En el campo matemático de la geometría de Riemann , la curvatura escalar (o escalar de Ricci ) es una medida de la curvatura de una variedad de Riemann . A cada punto de una variedad de Riemann , le asigna un único número real determinado por la geometría de la métrica cercana a ese punto. Se define mediante una complicada fórmula explícita en términos de derivadas parciales de los componentes métricos, aunque también se caracteriza por el volumen de bolas geodésicas infinitesimalmente pequeñas. En el contexto de la geometría diferencial de superficies , la curvatura escalar es el doble de la curvatura gaussiana , y caracteriza por completo la curvatura de una superficie. En dimensiones superiores, sin embargo, la curvatura escalar solo representa una parte particular del tensor de curvatura de Riemann .

La definición de curvatura escalar a través de derivadas parciales también es válida en el contexto más general de las variedades pseudo-riemannianas . Esto es significativo en la relatividad general , donde la curvatura escalar de una métrica lorentziana es uno de los términos clave en las ecuaciones de campo de Einstein . Además, esta curvatura escalar es la densidad lagrangiana para la acción de Einstein-Hilbert , cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío .

La geometría de las métricas de Riemann con curvatura escalar positiva ha sido ampliamente estudiada. En espacios no compactos, este es el contexto del teorema de masa positiva demostrado por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en la década de 1970, y refutado poco después por Edward Witten con diferentes técnicas. Schoen y Yau, e independientemente Mikhael Gromov y Blaine Lawson , desarrollaron una serie de resultados fundamentales sobre la topología de variedades cerradas que respaldan las métricas de curvatura escalar positiva. En combinación con sus resultados, la construcción del flujo de Ricci con cirugía de Grigori Perelman en 2003 proporcionó una caracterización completa de estas topologías en el caso tridimensional.

Definición

Dada una métrica riemanniana g , la curvatura escalar Scal se define como la traza del tensor de curvatura de Ricci con respecto a la métrica: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .}$

La curvatura escalar no se puede calcular directamente a partir de la curvatura de Ricci, ya que esta última es un campo tensorial (0,2); se debe utilizar la métrica para elevar un índice y obtener un campo tensorial (1,1) para poder tomar la traza. En términos de coordenadas locales se puede escribir, utilizando la convención de notación de Einstein , que: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{ij}R_{ij}}$

donde R _ij = Ric(∂ _i , ∂ _j ) son los componentes del tensor de Ricci en la base de coordenadas, y donde g ^ij son los componentes métricos inversos , es decir, los componentes de la inversa de la matriz de componentes métricos g _ij = g (∂ _i , ∂ _j ) . Basándonos en que la curvatura de Ricci es una suma de curvaturas seccionales , es posible expresar también la curvatura escalar como ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Scal} (p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {Sec} (e_{i},e_{j})}$

donde Sec denota la curvatura seccional y e ₁ , ..., e _n es cualquier marco ortonormal en p . Por un razonamiento similar, la curvatura escalar es el doble de la traza del operador de curvatura . ^[4] Alternativamente, dada la definición basada en coordenadas de la curvatura de Ricci en términos de los símbolos de Christoffel , es posible expresar la curvatura escalar como

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)}$

donde son los símbolos de Christoffel de la métrica, y es la derivada parcial de en la dirección de la coordenada σ. ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$

Las definiciones anteriores son igualmente válidas para una métrica pseudo-riemanniana . ^[5] El caso especial de las métricas lorentzianas es significativo en la teoría matemática de la relatividad general , donde la curvatura escalar y la curvatura de Ricci son los términos fundamentales en la ecuación de campo de Einstein .

Sin embargo, a diferencia del tensor de curvatura de Riemann o del tensor de Ricci, la curvatura escalar no se puede definir para una conexión afín arbitraria , debido a que la traza de un campo tensorial (0,2) está mal definida. Sin embargo, existen otras generalizaciones de la curvatura escalar, incluso en la geometría de Finsler . ^[6]

Notación tradicional

En el contexto de la notación de índice tensorial , es común utilizar la letra R para representar tres cosas diferentes: ^[7]

1. El tensor de curvatura de Riemann: R _ijk ^l o R _ijkl
2. El tensor de Ricci: R _ij
3. La curvatura escalar: R

Estos tres se distinguen entre sí por su número de índices: el tensor de Riemann tiene cuatro índices, el tensor de Ricci tiene dos índices y el escalar de Ricci tiene índices cero. Otras notaciones utilizadas para la curvatura escalar incluyen scal , ^[8] κ , ^[9] K , ^[10] r , ^[11] s o S ​​, ^[12] y τ . ^[13]

Quienes no utilizan una notación de índice suelen reservar R para el tensor de curvatura de Riemann completo. Alternativamente, en una notación sin coordenadas se puede utilizar Riem para el tensor de Riemann, Ric para el tensor de Ricci y R para la curvatura escalar.

Algunos autores, en cambio, definen la curvatura de Ricci y la curvatura escalar con un factor de normalización, de modo que ^[10]

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{kijl}{\text{ and }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.}$

El propósito de tal elección es que las curvaturas de Ricci y escalares se conviertan en valores promedio (en lugar de sumas) de las curvaturas seccionales. ^[14]

Propiedades básicas

Es un hecho fundamental que la curvatura escalar es invariante bajo isometrías . Para ser precisos, si f es un difeomorfismo de un espacio M a un espacio N , este último equipado con una métrica (pseudo)riemanniana g , entonces la curvatura escalar de la métrica de pullback en M es igual a la composición de la curvatura escalar de g con la función f . Esto equivale a afirmar que la curvatura escalar está geométricamente bien definida, independientemente de cualquier elección de gráfico de coordenadas o marco local. ^[15] De manera más general, como puede expresarse en el lenguaje de las homotecias , el efecto de escalar la métrica por un factor constante c es escalar la curvatura escalar por el factor inverso c ⁻¹ . ^[16]

Además, la curvatura escalar es (hasta una elección arbitraria del factor de normalización) la única función independiente de coordenadas de la métrica que, evaluada en el centro de un gráfico de coordenadas normal , es un polinomio en las derivadas de la métrica y tiene la propiedad de escala mencionada anteriormente. ^[17] Esta es una formulación del teorema de Vermeil .

Identidad de Bianchi

Como consecuencia directa de las identidades de Bianchi , cualquier métrica (pseudo)riemanniana tiene la propiedad de que ^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.}$

Esta identidad se llama identidad de Bianchi contraída . Tiene como consecuencia casi inmediata el lema de Schur que establece que si el tensor de Ricci es un múltiplo puntual de la métrica, entonces la métrica debe ser Einstein (a menos que la dimensión sea dos). Además, esto dice que (excepto en dos dimensiones) una métrica es Einstein si y solo si el tensor de Ricci y la curvatura escalar están relacionados por

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},}$

donde n denota la dimensión. ^[18] La identidad de Bianchi contraída también es fundamental en las matemáticas de la relatividad general, ya que identifica al tensor de Einstein como una cantidad fundamental. ^[19]

Descomposición de Ricci

Dada una métrica (pseudo)riemanniana g en un espacio de dimensión n , la parte de curvatura escalar del tensor de curvatura de Riemann es el campo tensorial (0,4)

${\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).}$

(Esto sigue la convención de que R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^p − ... .) Este tensor es significativo como parte de la descomposición de Ricci ; es ortogonal a la diferencia entre el tensor de Riemann y él mismo. Las otras dos partes de la descomposición de Ricci corresponden a los componentes de la curvatura de Ricci que no contribuyen a la curvatura escalar, y al tensor de Weyl , que es la parte del tensor de Riemann que no contribuye a la curvatura de Ricci. Dicho de otra manera, el campo tensorial anterior es la única parte del tensor de curvatura de Riemann que contribuye a la curvatura escalar; las otras partes son ortogonales a él y no hacen tal contribución. ^[20] También existe una descomposición de Ricci para la curvatura de una métrica de Kähler . ^[21]

Fórmulas básicas

La curvatura escalar de una métrica modificada conformemente se puede calcular: ^[22]

${\displaystyle R(e^{2f}g)=e^{-2f}{\Big (}R(g)-2(n-1)\Delta ^{g}f-(n-2)(n-1)g(df,df){\Big )},}$

utilizando la convención Δ = g ^ij ∇ _i ∇ _j para el operador de Laplace–Beltrami . Alternativamente, ^[22]

${\displaystyle R(\psi ^{4/(n-2)}g)=-{\frac {4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta ^{g}\psi -R(g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.}$

Bajo un cambio infinitesimal de la métrica subyacente, se tiene ^[23]

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-\Delta ^{g}\left(g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}-R_{kl}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)g^{ik}g^{jl}.}$

Esto muestra en particular que el símbolo principal del operador diferencial que envía una métrica a su curvatura escalar está dado por

${\displaystyle (\xi _{i},h_{ij})\mapsto -g(\xi ,\xi )g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j}.}$

Además, el adjunto del operador de curvatura escalar linealizado es

${\displaystyle f\mapsto \nabla _{i}\nabla _{j}f-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},}$

y es un operador elíptico sobredeterminado en el caso de una métrica de Riemann. Es una consecuencia directa de las fórmulas de primera variación que, en primer orden, una métrica de Riemann plana de Ricci en una variedad cerrada no se puede deformar de modo que tenga una curvatura escalar positiva o negativa. También en primer orden, una métrica de Einstein en una variedad cerrada no se puede deformar bajo una normalización de volumen de modo que aumente o disminuya la curvatura escalar. ^[23]

Relación entre el volumen y la curvatura escalar de Riemann

Cuando la curvatura escalar es positiva en un punto, el volumen de una esfera geodésica pequeña en torno a ese punto es menor que el de una esfera del mismo radio en el espacio euclidiano. Por otra parte, cuando la curvatura escalar es negativa en un punto, el volumen de una esfera pequeña es mayor que el que tendría en el espacio euclidiano.

Esto se puede hacer más cuantitativo, para caracterizar el valor preciso de la curvatura escalar S en un punto p de una variedad riemanniana n . Es decir, la relación entre el volumen n -dimensional de una bola de radio ε en la variedad y el de una bola correspondiente en el espacio euclidiano viene dada, para ε pequeño, por ^[24] ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Por lo tanto, la segunda derivada de esta relación, evaluada en el radio ε  = 0, es exactamente menos la curvatura escalar dividida por 3( n  + 2).

Los límites de estas bolas son esferas de ( n  − 1) dimensiones de radio ; sus medidas de hipersuperficie ("áreas") satisfacen la siguiente ecuación: ^[25] ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Estas expansiones generalizan ciertas caracterizaciones de la curvatura gaussiana desde la dimensión dos a dimensiones superiores.

Casos especiales

Superficies

En dos dimensiones, la curvatura escalar es exactamente el doble de la curvatura gaussiana. Para una superficie embebida en el espacio euclidiano R ³ , esto significa que

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

donde son los radios principales de la superficie. Por ejemplo, la curvatura escalar de la 2-esfera de radio r es igual a 2/ r ² . ${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$

El tensor de curvatura de Riemann bidimensional tiene solo un componente independiente y se puede expresar en términos de la curvatura escalar y la forma de área métrica. Es decir, en cualquier sistema de coordenadas, se tiene

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

Formas espaciales

Una forma espacial es, por definición, una variedad de Riemann con una curvatura seccional constante. Las formas espaciales son localmente isométricas respecto de uno de los siguientes tipos:

Espacio euclidiano

El tensor de Riemann de un espacio euclidiano n -dimensional se desvanece de forma idéntica, por lo que la curvatura escalar también lo hace.

n -esferas

La curvatura seccional de una n -esfera de radio r es K  = 1/ r ² . Por lo tanto, la curvatura escalar es S  =  n ( n  − 1)/ r ² .

Espacio hiperbólico

Mediante el modelo hiperboloide , un espacio hiperbólico n -dimensional puede identificarse con el subconjunto del espacio de Minkowski ( n  + 1)-dimensional.

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.}$

El parámetro r es un invariante geométrico del espacio hiperbólico y la curvatura seccional es K  = −1/ r ² . La curvatura escalar es entonces S  = − n ( n  − 1)/ r ² .

La curvatura escalar también es constante cuando se da una métrica de Kähler de curvatura seccional holomórfica constante . ^[21]

Productos

La curvatura escalar de un producto M × N de variedades de Riemann es la suma de las curvaturas escalares de M y N . Por ejemplo, para cualquier variedad cerrada y uniforme M , M × S ² tiene una métrica de curvatura escalar positiva, simplemente tomando la 2-esfera como pequeña en comparación con M (de modo que su curvatura es grande). Este ejemplo podría sugerir que la curvatura escalar tiene poca relación con la geometría global de una variedad. De hecho, tiene cierta importancia global, como se analiza a continuación.

Tanto en matemáticas como en relatividad general, las métricas de productos deformados son una fuente importante de ejemplos. Por ejemplo, el espacio-tiempo general de Robertson-Walker , importante para la cosmología , es la métrica de Lorentz.

${\displaystyle -dt^{2}+f(t)^{2}g}$

en ( a , b ) × M , donde g es una métrica de Riemann de curvatura constante en una variedad tridimensional M . La curvatura escalar de la métrica de Robertson-Walker está dada por

${\displaystyle 6{\frac {f'(t)^{2}+f(t)f''(t)+k}{f(t)^{2}}},}$

donde k es la curvatura constante de g . ^[26]

Espacios escalares planos

Es automático que cualquier variedad Ricci-plana tenga curvatura escalar cero; los espacios más conocidos de esta clase son las variedades de Calabi-Yau . En el contexto pseudo-riemanniano, esto también incluye el espacio-tiempo de Schwarzschild y el espacio-tiempo de Kerr .

Existen métricas con curvatura escalar cero pero curvatura de Ricci no nula. Por ejemplo, existe una métrica de Riemann completa sobre el fibrado lineal tautológico sobre el espacio proyectivo real , construida como una métrica de producto deformado , que tiene curvatura escalar cero pero curvatura de Ricci distinta de cero. Esto también puede verse como una métrica de Riemann rotacionalmente simétrica de curvatura escalar cero sobre el cilindro R × S ⁿ . ^[27]

Problema de Yamabe

El problema de Yamabe se resolvió en 1984 mediante la combinación de los resultados encontrados por Hidehiko Yamabe , Neil Trudinger , Thierry Aubin y Richard Schoen . ^[28] Demostraron que cada métrica de Riemann suave en una variedad cerrada se puede multiplicar por alguna función positiva suave para obtener una métrica con curvatura escalar constante. En otras palabras, cada métrica de Riemann en una variedad cerrada es conforme a una con curvatura escalar constante.

Métricas de Riemann de curvatura escalar positiva

Para una 2-variedad riemanniana cerrada M , la curvatura escalar tiene una relación clara con la topología de M , expresada por el teorema de Gauss-Bonnet : la curvatura escalar total de M es igual a 4 π veces la característica de Euler de M . Por ejemplo, las únicas superficies cerradas con métricas de curvatura escalar positiva son aquellas con característica de Euler positiva: la esfera S ² y RP 2 . Además, esas dos superficies no tienen métricas con curvatura escalar ≤ 0.

Resultados de inexistencia

En la década de 1960, André Lichnerowicz encontró que en una variedad de espín , la diferencia entre el cuadrado del operador de Dirac y el laplaciano tensorial (tal como se define en los campos de espinores) está dada exactamente por un cuarto de la curvatura escalar. Este es un ejemplo fundamental de una fórmula de Weitzenböck . Como consecuencia, si una métrica de Riemann en una variedad cerrada tiene curvatura escalar positiva, entonces no pueden existir espinores armónicos . Es entonces una consecuencia del teorema del índice de Atiyah-Singer que, para cualquier variedad de espín cerrada con dimensión divisible por cuatro y de curvatura escalar positiva, el género  debe desaparecer. Esto es una obstrucción puramente topológica a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar positiva. ^[29]

El argumento de Lichnerowicz que utiliza el operador de Dirac puede ser "retorcido" por un fibrado vectorial auxiliar , con el efecto de introducir solo un término extra en la fórmula de Lichnerowicz. ^[30] Luego, siguiendo el mismo análisis que el anterior excepto que se utiliza la versión de familias del teorema del índice y una versión refinada del género  conocido como el α-género , Nigel Hitchin demostró que en ciertas dimensiones hay esferas exóticas que no tienen ninguna métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. Gromov y Lawson emplearon posteriormente ampliamente estas variantes del trabajo de Lichnerowicz. Uno de sus teoremas resultantes introduce la noción de homotopía-teórica de ampliabilidad y dice que una variedad de espín ampliable no puede tener una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. Como corolario, una variedad cerrada con una métrica de Riemann de curvatura no positiva, como un toro , no tiene métrica con curvatura escalar positiva. Los diversos resultados de Gromov y Lawson sobre la inexistencia de métricas de Riemann con curvatura escalar positiva respaldan una conjetura sobre la desaparición de una amplia variedad de invariantes topológicos de cualquier variedad de espín cerrada con curvatura escalar positiva. Esto (en una formulación precisa) a su vez sería un caso especial de la conjetura fuerte de Novikov para el grupo fundamental , que trata con la K-teoría de C*-álgebras . ^[31] Esto a su vez es un caso especial de la conjetura de Baum–Connes para el grupo fundamental. ^[32]

En el caso especial de las variedades de cuatro dimensiones, las ecuaciones de Seiberg-Witten se han aplicado de forma útil al estudio de la curvatura escalar. De forma similar al análisis de Lichnerowicz, la clave es una aplicación del principio del máximo para demostrar que las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten deben ser triviales cuando la curvatura escalar es positiva. También en analogía con el trabajo de Lichnerowicz, los teoremas de índice pueden garantizar la existencia de soluciones no triviales de las ecuaciones. Tal análisis proporciona nuevos criterios para la inexistencia de métricas de curvatura escalar positiva. Claude LeBrun desarrolló estas ideas en varios artículos. ^[33]

Resultados de existencia

En contraste con los resultados de inexistencia anteriores, Lawson y Yau construyeron métricas riemannianas de curvatura escalar positiva a partir de una amplia clase de acciones grupales efectivas no abelianas. ^[30]

Más tarde, Schoen-Yau y Gromov-Lawson (utilizando diferentes técnicas) demostraron el resultado fundamental de que la existencia de métricas riemannianas de curvatura escalar positiva se conserva mediante cirugía topológica en codimensión al menos tres, y en particular se conserva mediante la suma conexa . Esto establece la existencia de tales métricas en una amplia variedad de variedades. Por ejemplo, muestra inmediatamente que la suma conexa de un número arbitrario de copias de formas espaciales esféricas y cilindros generalizados S ^m × S ⁿ tiene una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. La construcción de Grigori Perelman del flujo de Ricci con cirugía tiene, como corolario inmediato, el recíproco en el caso tridimensional: una 3-variedad orientable cerrada con una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva debe ser una suma conexa de este tipo. ^[34]

Basándose en la cirugía permitida por la construcción de Gromov–Lawson y Schoen–Yau, Gromov y Lawson observaron que el teorema del h-cobordismo y el análisis del anillo de cobordismo pueden aplicarse directamente. Demostraron que, en dimensión mayor que cuatro, cualquier variedad cerrada no espín simplemente conexa tiene una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. ^[35] Stephan Stolz completó la teoría de existencia para variedades cerradas simplemente conexas en dimensión mayor que cuatro, mostrando que mientras el α-género sea cero, entonces existe una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. ^[36]

De acuerdo con estos resultados, para variedades cerradas, la existencia de métricas riemannianas de curvatura escalar positiva está completamente establecida en el caso tridimensional y en el caso de variedades simplemente conexas de dimensión mayor que cuatro.

Teorema de tricotomía de Kazdan y Warner

El signo de la curvatura escalar tiene una relación más débil con la topología en dimensiones superiores. Dada una variedad cerrada y suave M de dimensión al menos 3, Kazdan y Warner resolvieron el problema de curvatura escalar prescrito , describiendo qué funciones suaves en M surgen como la curvatura escalar de alguna métrica de Riemann en M . Es decir, M debe ser exactamente de uno de los siguientes tres tipos: ^[37]

1. Toda función en M es la curvatura escalar de alguna métrica en M.
2. Una función en M es la curvatura escalar de alguna métrica en M si y solo si es idénticamente cero o negativa en algún lugar.
3. Una función en M es la curvatura escalar de alguna métrica en M si y solo si es negativa en algún lugar.

Así, toda variedad de dimensión al menos 3 tiene una métrica con curvatura escalar negativa, de hecho, de curvatura escalar negativa constante. El resultado de Kazdan-Warner centra la atención en la cuestión de qué variedades tienen una métrica con curvatura escalar positiva, que sea equivalente a la propiedad (1). El caso límite (2) puede describirse como la clase de variedades con una métrica fuertemente escalar-plana , es decir, una métrica con curvatura escalar cero tal que M no tiene ninguna métrica con curvatura escalar positiva.

Akito Futaki demostró que las métricas fuertemente escalar-planas (como se definieron anteriormente) son extremadamente especiales. Para una variedad de Riemann simplemente conexa M de dimensión al menos 5 que sea fuertemente escalar-plana, M debe ser un producto de variedades de Riemann con grupo de holonomía SU( n ) ( variedades de Calabi–Yau ), Sp( n ) ( variedades de hyperkähler ), o Spin(7). ^[38] En particular, estas métricas son Ricci-planas, no solo escalar-planas. Por el contrario, hay ejemplos de variedades con estos grupos de holonomía, como la superficie K3 , que son de espín y tienen α-invariante distinto de cero, por lo tanto son fuertemente escalar-planas.

Véase también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Invariante de Yamabe
• Escalar de Kretschmann

Notas

1. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Definición 3.19; Lawson y Michelsohn 1989, pág. 160; Petersen 2016, Sección 1.5.2.
2. Aubin 1998, Sección 1.2.3; Petersen 2016, Sección 1.5.2.
3. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Definición 3.19; Petersen 2016, Sección 3.1.5.
4. Petersen 2016, Sección 3.1.5.
5. Besse 1987, Sección 1F; O'Neill 1983, pág. 88.
6. Bao, Chern y Shen 2000.
7. Aubin 1998, Definición 1.22; Jost 2017, pág. 200; Petersen 2016, Observación 3.1.7.
8. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 135; Petersen 2016, pág. 30.
9. Lawson y Michelsohn 1989, pág. 160.
10. do Carmo 1992, Sección 4.4.
11. Berlín, Getzler y Vergne 2004, p. 34.
12. Besse 1987, pag. 10; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 135; O'Neill 1983, pág. 88.
13. Gilkey 1995, pág. 144.
14. do Carmo 1992, págs. 107-108.
15. O'Neill 1983, págs. 90-91.
16. O'Neill 1983, pág. 92.
17. Gilkey 1995, Ejemplo 2.4.3.
18. Aubin 1998, Sección 1.2.3; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 3.K.3; Petersen 2016, Sección 3.1.5.
19. Besse 1987, Sección 3C; O'Neill 1983, pág. 336.
20. Besse 1987, Secciones 1G y 1H.
21. Besse 1987, Sección 2D.
22. Aubin 1998, pág. 146; Besse 1987, Sección 1J.
23. Besse 1987, Sección 1K.
24. Chavel 1984, Sección XII.8; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 3.H.4.
25. Chavel 1984, Sección XII.8.
26. O'Neill 1983, pág. 345.
27. Petersen 2016, Sección 4.2.3.
28. Lee y Parker 1987.
29. Besse 1987, Sección 1I; Gilkey 1995, Sección 4.1; Jost 2017, Secciones 4.4 y 4.5; Lawson y Michelsohn 1989, Sección II.8.
30. Lawson & Michelsohn 1989, Secciones II.8 y IV.3.
31. Blackadar 1998, Sección 24.3; Lawson y Michelsohn 1989, Sección IV.5.
32. Blackadar 1998, Sección 24.4.
33. Jost 2017, Sección 11.2.
34. Perelman 2003, Sección 6.1; Cao y Zhu 2006, Corolario 7.4.4; Kleiner y Lott 2008, Lemas 81.1 y 81.2.
35. Lawson y Michelsohn 1989, Sección IV.4.
36. Berger 2003, Sección 12.3.3.
37. Besse 1987, Teorema 4.35.
38. Petersen 2016, Corolario C.4.4.

Referencias

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Lectura adicional

• Gromov, Misha (2023). "Cuatro conferencias sobre curvatura escalar". En Gromov, Mikhail L. ; Lawson, H. Blaine Jr. (eds.). Perspectivas en curvatura escalar. Volumen 1 . Hackensack, NJ: World Scientific Publishing . págs. 1–514. arXiv : 1908.10612 . doi :10.1142/12644-vol1. ISBN 978-981-124-998-3.MR  4577903.Zbl 1532.53003  .​
• Rosenberg, Jonathan ; Stolz, Stephan (2001). "Métricas de curvatura escalar positiva y conexiones con la cirugía". En Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (eds.). Encuestas sobre teoría de la cirugía. Volumen 2 . Anales de estudios matemáticos. Vol. 149. Princeton, NJ: Princeton University Press . págs. 353–386. CiteSeerX  10.1.1.725.8156 . doi :10.1515/9781400865215-010. ISBN 0-691-08814-4.Señor 1818778  .
• Yau, S.-T. (2000). "Revisión de geometría y análisis". Revista asiática de matemáticas . 4 (1): 235–278. doi : 10.4310/AJM.2000.v4.n1.a16 . MR  1803723. Zbl  1031.53004.