Colector Kähler

Variedad con estructura riemanniana, compleja y simpléctica

En matemáticas y especialmente en geometría diferencial , una variedad de Kähler es una variedad con tres estructuras mutuamente compatibles: una estructura compleja , una estructura riemanniana y una estructura simpléctica . El concepto fue estudiado por primera vez por Jan Arnoldus Schouten y David van Dantzig en 1930, y luego introducido por Erich Kähler en 1933. La terminología ha sido fijada por André Weil . La geometría de Kähler se refiere al estudio de las variedades de Kähler, su geometría y topología, así como al estudio de las estructuras y construcciones que se pueden realizar en las variedades de Kähler, como la existencia de conexiones especiales como las conexiones hermíticas de Yang-Mills , o métricas especiales como las métricas de Kähler-Einstein .

Toda variedad proyectiva compleja suave es una variedad de Kähler. La teoría de Hodge es una parte central de la geometría algebraica , demostrada mediante métricas de Kähler.

Definiciones

Dado que los colectores Kähler están equipados con varias estructuras compatibles, se pueden describir desde diferentes puntos de vista:

Punto de vista simpléctico

Una variedad de Kähler es una variedad simpléctica equipada con una estructura casi compleja integrable que es compatible con la forma simpléctica , lo que significa que la forma bilineal ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$

en el espacio tangente de en cada punto es simétrica y definida positiva (y por lo tanto una métrica riemanniana en ). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Punto de vista complejo

Una variedad de Kähler es una variedad compleja con una métrica hermítica cuya 2-forma asociada es cerrada . En más detalle, da una forma hermítica definida positiva en el espacio tangente en cada punto de , y la 2-forma está definida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)}$

para vectores tangentes y (donde es el número complejo ). Para una variedad de Kähler , la forma de Kähler es una forma (1,1) cerrada real . Una variedad de Kähler también se puede ver como una variedad de Riemann, con la métrica de Riemann definida por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).}$

De manera equivalente, una variedad de Kähler es una variedad hermítica de dimensión compleja tal que para cada punto de , hay un gráfico de coordenadas holomorfas alrededor de en el que la métrica concuerda con la métrica estándar en orden 2 cerca de . ^[2] Es decir, si el gráfico toma a en , y la métrica se escribe en estas coordenadas como , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle h_{ab}=({\frac {\partial }{\partial z_{a}}},{\frac {\partial }{\partial z_{b}}})}$

${\displaystyle h_{ab}=\delta _{ab}+O(\|z\|^{2})}$

para todos , en ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$

Dado que la forma 2 es cerrada, determina un elemento en la cohomología de De Rham , conocido como clase Kähler . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

Punto de vista riemanniano

Una variedad de Kähler es una variedad de Riemann de dimensión par cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo unitario . ^[3] De manera equivalente, existe una estructura compleja en el espacio tangente de en cada punto (es decir, una función lineal real de a sí misma con ) tal que preserva la métrica (lo que significa que ) y se preserva mediante transporte paralelo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle J}$

El potencial de Kähler

Una función real suave en una variedad compleja se llama estrictamente plurisubarmónica si la forma real cerrada (1,1) ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

es positiva, es decir, una forma de Kähler. Aquí están los operadores de Dolbeault . La función se llama potencial de Kähler para . ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

Por el contrario, mediante la versión compleja del lema de Poincaré , conocida como -lema local ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ , cada métrica de Kähler puede describirse localmente de esta manera. Es decir, si es una variedad de Kähler, entonces para cada punto en hay un entorno de y una función real suave en tal que . ^[4] Aquí se denomina potencial de Kähler local para . No existe una forma comparable de describir una métrica de Riemann general en términos de una sola función. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

Espacio de potenciales de Kähler

Si bien no siempre es posible describir una forma de Kähler de manera global utilizando un único potencial de Kähler, es posible describir la diferencia de dos formas de Kähler de esta manera, siempre que se encuentren en la misma clase de cohomología de De Rham . Esto es una consecuencia del -lema de la teoría de Hodge . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Es decir, si es una variedad compacta de Kähler, entonces la clase de cohomología se llama clase de Kähler . Cualquier otro representante de esta clase, digamos, difiere de por para alguna forma unitaria . El -lema establece además que esta forma exacta puede escribirse como para una función suave . En la discusión local anterior, uno toma la clase local de Kähler en un subconjunto abierto , y por el lema de Poincaré cualquier forma de Kähler será localmente cohomóloga a cero. Por lo tanto, el potencial local de Kähler es el mismo para localmente. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega '=\omega +d\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d\beta }$ ${\displaystyle d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$

En general, si es una clase de Kähler, entonces cualquier otra métrica de Kähler puede escribirse como para una función suave de este tipo. Esta forma no es automáticamente una forma positiva , por lo que el espacio de potenciales de Kähler para la clase se define como aquellos casos positivos y se denota comúnmente por : ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{[\omega ]}:=\{\varphi :X\to \mathbb {R} {\text{ smooth}}\mid \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

Si dos potenciales de Kähler difieren en una constante, entonces definen la misma métrica de Kähler, por lo que el espacio de métricas de Kähler en la clase se puede identificar con el cociente . El espacio de potenciales de Kähler es un espacio contráctil . De esta manera, el espacio de potenciales de Kähler permite estudiar simultáneamente todas las métricas de Kähler en una clase dada, y esta perspectiva en el estudio de la existencia resulta para las métricas de Kähler. ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$

Colectores y minimizadores de volumen Kähler

Para una variedad de Kähler compacta X , el volumen de un subespacio complejo cerrado de X está determinado por su clase de homología . En cierto sentido, esto significa que la geometría de un subespacio complejo está acotada en términos de su topología. (Esto falla completamente para subvariedades reales). Explícitamente, la fórmula de Wirtinger dice que

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r},}$

donde Y es un subespacio complejo cerrado de dimensión r y ω es la forma de Kähler. ^[5] Dado que ω es cerrado, esta integral depende solo de la clase de Y en H _{2 r} ( X , R ) . Estos volúmenes son siempre positivos, lo que expresa una fuerte positividad de la clase de Kähler ω en H ² ( X , R ) con respecto a los subespacios complejos. En particular, ω ⁿ no es cero en H ^{2 n} ( X , R ) , para una variedad de Kähler compacta X de dimensión compleja n .

Un hecho relacionado es que cada subespacio complejo cerrado Y de una variedad de Kähler compacta X es una subvariedad mínima (fuera de su conjunto singular). Aún más: por la teoría de la geometría calibrada , Y minimiza el volumen entre todos los ciclos (reales) en la misma clase de homología.

Identidades de Kähler

Como consecuencia de la fuerte interacción entre las estructuras suaves, complejas y riemannianas en una variedad de Kähler, existen identidades naturales entre los diversos operadores en las formas diferenciales complejas de las variedades de Kähler que no se cumplen para variedades complejas arbitrarias. Estas identidades relacionan la derivada exterior , los operadores de Dolbeault y sus adjuntos, los laplacianos , y el operador de Lefschetz y su adjunto, el operador de contracción . ^[6] Las identidades forman la base del conjunto de herramientas analíticas sobre las variedades de Kähler, y combinadas con la teoría de Hodge son fundamentales para demostrar muchas propiedades importantes de las variedades de Kähler y su cohomología. En particular, las identidades de Kähler son fundamentales para demostrar los teoremas de desaparición de Kodaira y Nakano , el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema de Hard Lefschetz , las relaciones bilineales de Hodge-Riemann y el teorema del índice de Hodge . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$ ${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$

El laplaciano en una variedad de Kähler

En una variedad riemanniana de dimensión , el laplaciano en formas suaves se define por donde es la derivada exterior y , donde es el operador de estrella de Hodge . (De manera equivalente, es el adjunto de con respecto al producto interno L 2 en formas con soporte compacto). Para una variedad hermítica , y se descomponen como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}}$

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

y se definen otros dos laplacianos:

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

Si es Kähler, las identidades de Kähler implican que estos laplacianos son todos iguales hasta una constante: ^[7] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

Estas identidades implican que en una variedad de Kähler , ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

donde es el espacio de las -formas armónicas en (formas con ) y es el espacio de las -formas armónicas . Es decir, una forma diferencial es armónica si y solo si cada uno de sus -componentes es armónico. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta \alpha =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (p,q)}$

Además, para una variedad de Kähler compacta , la teoría de Hodge da una interpretación de la división anterior que no depende de la elección de la métrica de Kähler. Es decir, la cohomología de con coeficientes complejos se divide como una suma directa de ciertos grupos de cohomología de haces coherentes : ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

El grupo de la izquierda depende únicamente de como espacio topológico, mientras que los grupos de la derecha dependen de como variedad compleja. Por lo tanto, este teorema de descomposición de Hodge conecta la topología y la geometría compleja para variedades de Kähler compactas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea el espacio vectorial complejo , que puede identificarse con el espacio de formas armónicas respecto de una métrica de Kähler dada. Los números de Hodge de se definen por . La descomposición de Hodge implica una descomposición de los números de Betti de una variedad de Kähler compacta en términos de sus números de Hodge: ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

Los números de Hodge de una variedad de Kähler compacta satisfacen varias identidades. La simetría de Hodge se cumple porque el laplaciano es un operador real, y por lo tanto . La identidad se puede demostrar utilizando que el operador de estrella de Hodge da un isomorfismo . También se deduce de la dualidad de Serre . ${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ ${\displaystyle \Delta _{d}}$ ${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$ ${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$

Topología de variedades compactas de Kähler

Una consecuencia simple de la teoría de Hodge es que todo número de Betti impar b _{2 a +1} de una variedad compacta de Kähler es par, por simetría de Hodge. Esto no es cierto para las variedades complejas compactas en general, como lo demuestra el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomorfa a S ¹ × S ³ y, por lo tanto, tiene b ₁ = 1 .

El "paquete Kähler" es una colección de restricciones adicionales sobre la cohomología de variedades de Kähler compactas, basadas en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema duro de Lefschetz y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . ^[9] Un resultado relacionado es que toda variedad de Kähler compacta es formal en el sentido de la teoría de homotopía racional. ^[10]

La cuestión de qué grupos pueden ser grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler, llamados grupos de Kähler , está abierta. La teoría de Hodge da muchas restricciones sobre los posibles grupos de Kähler. ^[11] La restricción más simple es que la abelianización de un grupo de Kähler debe tener rango par, ya que el número de Betti b ₁ de una variedad compacta de Kähler es par. (Por ejemplo, los números enteros Z no pueden ser el grupo fundamental de una variedad compacta de Kähler). Extensiones de la teoría como la teoría de Hodge no abeliana dan más restricciones sobre qué grupos pueden ser grupos de Kähler.

Sin la condición de Kähler, la situación es simple: Clifford Taubes demostró que cada grupo finitamente presentado surge como el grupo fundamental de alguna variedad compleja compacta de dimensión 3. ^[12] (Por el contrario, el grupo fundamental de cualquier variedad cerrada está finitamente presentado).

Caracterizaciones de variedades proyectivas complejas y variedades compactas de Kähler

El teorema de incrustación de Kodaira caracteriza las variedades proyectivas complejas suaves entre todas las variedades compactas de Kähler. Es decir, una variedad compleja compacta X es proyectiva si y solo si hay una forma de Kähler ω en X cuya clase en H ² ( X , R ) está en la imagen del grupo de cohomología integral H ² ( X , Z ) . (Debido a que un múltiplo positivo de una forma de Kähler es una forma de Kähler, es equivalente a decir que X tiene una forma de Kähler cuya clase en H ² ( X , R ) proviene de H ² ( X , Q ) .) Equivalentemente, X es proyectiva si y solo si hay un fibrado lineal holomórfico L en X con una métrica hermítica cuya forma de curvatura ω es positiva (ya que ω es entonces una forma de Kähler que representa la primera clase de Chern de L en H ² ( X , Z ) ). La forma de Kähler ω que satisface estas condiciones (es decir, la forma de Kähler ω es una forma diferencial integral) también se denomina forma de Hodge, y la métrica de Kähler en este momento se denomina métrica de Hodge. Las variedades de Kähler compactas con métrica de Hodge también se denominan variedades de Hodge. ^{[13] [14]}

Muchas propiedades de las variedades de Kähler se cumplen en la ligeramente mayor generalidad de las variedades -, es decir, las variedades complejas compactas para las que se cumple el -lema . En particular, la cohomología de Bott-Chern es una alternativa a la cohomología de Dolbeault de una variedad compleja compacta, y son isomorfas si y solo si la variedad satisface el -lema, y ​​en particular concuerdan cuando la variedad es Kähler. En general, el núcleo de la función natural de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de Dolbeault contiene información sobre el fracaso de la variedad de ser Kähler. ^[15] ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Toda curva compleja compacta es proyectiva, pero en una dimensión compleja de al menos 2, hay muchas variedades de Kähler compactas que no son proyectivas; por ejemplo, la mayoría de los toros complejos compactos no son proyectivos. Uno puede preguntarse si toda variedad de Kähler compacta puede al menos ser deformada (variando continuamente la estructura compleja) a una variedad proyectiva suave. El trabajo de Kunihiko Kodaira sobre la clasificación de superficies implica que toda variedad de Kähler compacta de dimensión compleja 2 puede de hecho ser deformada a una variedad proyectiva suave. Claire Voisin encontró, sin embargo, que esto falla en dimensiones de al menos 4. Ella construyó una variedad de Kähler compacta de dimensión compleja 4 que ni siquiera es homotópicamente equivalente a ninguna variedad proyectiva compleja suave. ^[16]

También se puede pedir una caracterización de las variedades compactas de Kähler entre todas las variedades complejas compactas. En la dimensión compleja 2, Kodaira y Yum-Tong Siu demostraron que una superficie compleja compacta tiene una métrica de Kähler si y solo si su primer número de Betti es par. ^[17] Buchdahl y Lamari proporcionaron independientemente una prueba alternativa de este resultado que no requiere el estudio caso por caso utilizando la clasificación de superficies complejas compactas. ^{[18] [19]} Por lo tanto, "Kähler" es una propiedad puramente topológica para superficies complejas compactas. El ejemplo de Hironaka muestra, sin embargo, que esto falla en dimensiones al menos 3. En más detalle, el ejemplo es una familia de 1 parámetro de 3-pliegues complejos compactos suaves tales que la mayoría de las fibras son Kähler (e incluso proyectivas), pero una fibra no es Kähler. De esta forma, una variedad compacta de Kähler puede ser difeomórfica con respecto a una variedad compleja no-Kähler.

Variedades de Kähler-Einstein

Una variedad de Kähler se denomina variedad de Kähler-Einstein si tiene una curvatura de Ricci constante . De manera equivalente, el tensor de curvatura de Ricci es igual a una constante λ multiplicada por el tensor métrico , Ric = λg . La referencia a Einstein proviene de la relatividad general , que afirma que, en ausencia de masa, el espacio-tiempo es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones con una curvatura de Ricci cero. Consulte el artículo sobre variedades de Einstein para obtener más detalles.

Aunque la curvatura de Ricci está definida para cualquier variedad de Riemann, juega un papel especial en la geometría de Kähler: la curvatura de Ricci de una variedad de Kähler X puede verse como una forma (1,1) cerrada real que representa c ₁ ( X ) (la primera clase de Chern del fibrado tangente ) en H ² ( X , R ) . De ello se deduce que una variedad compacta de Kähler–Einstein X debe tener fibrado canónico K _X ya sea antiamplio, homológicamente trivial o amplio , dependiendo de si la constante de Einstein λ es positiva, cero o negativa. Las variedades de Kähler de esos tres tipos se denominan Fano , Calabi–Yau o con fibrado canónico amplio (lo que implica tipo general ), respectivamente. Por el teorema de incrustación de Kodaira, las variedades de Fano y las variedades con fibrado canónico amplio son automáticamente variedades proyectivas.

Shing-Tung Yau demostró la conjetura de Calabi : toda variedad proyectiva suave con fibrado canónico amplio tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci negativa constante), y toda variedad de Calabi-Yau tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci cero). Estos resultados son importantes para la clasificación de variedades algebraicas, con aplicaciones como la desigualdad de Miyaoka-Yau para variedades con fibrado canónico amplio y la descomposición de Beauville-Bogomolov para variedades de Calabi-Yau. ^[20]

Por el contrario, no todas las variedades suaves de Fano tienen una métrica de Kähler-Einstein (que tendría una curvatura de Ricci positiva constante). Sin embargo, Xiuxiong Chen, Simon Donaldson y Song Sun demostraron la conjetura de Yau- Tian -Donaldson: una variedad suave de Fano tiene una métrica de Kähler-Einstein si y solo si es K-estable , una condición puramente algebro-geométrica.

En situaciones en las que no puede existir una métrica de Kähler-Einstein, es posible estudiar generalizaciones suaves, incluidas las métricas de Kähler de curvatura escalar constante y las métricas de Kähler extremales . Cuando puede existir una métrica de Kähler-Einstein, estas generalizaciones más amplias son automáticamente Kähler-Einstein.

Curvatura seccional holomórfica

La desviación de una variedad de Riemann X respecto de la métrica estándar en el espacio euclidiano se mide por la curvatura seccional , que es un número real asociado a cualquier plano real de 2 planos en el espacio tangente de X en un punto. Por ejemplo, la curvatura seccional de la métrica estándar en CP ⁿ (para n ≥ 2 ) varía entre 1/4 y 1 en cada punto. Para una variedad hermítica (por ejemplo, una variedad de Kähler), la curvatura seccional holomorfa significa la curvatura seccional restringida a líneas complejas en el espacio tangente. Esto se comporta de manera más simple, en el sentido de que CP ⁿ tiene una curvatura seccional holomorfa igual a 1 en todas partes. En el otro extremo, la bola unitaria abierta en C ⁿ tiene una métrica de Kähler completa con una curvatura seccional holomorfa igual a −1. (Con esta métrica, la bola también se denomina espacio hiperbólico complejo ).

La curvatura seccional holomorfa está íntimamente relacionada con la geometría compleja de la variedad compleja subyacente. Una consecuencia elemental del lema de Ahlfors Schwarz es que si es una variedad hermítica con una métrica hermítica de curvatura seccional holomorfa negativa (limitada arriba por una constante negativa), entonces es hiperbólica de Brody (es decir, cada función holomorfa es constante). Si resulta que X es compacta, entonces esto es equivalente a que la variedad sea hiperbólica de Kobayashi . ^[21] ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to X}$

Por otra parte, si es una variedad de Kähler compacta con una métrica de Kähler de curvatura seccional holomorfa positiva, Yang Xiaokui demostró que X está racionalmente conexo. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Una característica notable de la geometría compleja es que la curvatura seccional holomorfa disminuye en subvariedades complejas. ^[22] (Lo mismo ocurre con un concepto más general, la curvatura biseccional holomorfa). Por ejemplo, cada subvariedad compleja de C ⁿ (con la métrica inducida de C ⁿ ) tiene una curvatura seccional holomorfa ≤ 0.

Para los mapas holomorfos entre variedades hermíticas, la curvatura seccional holomorfa no es lo suficientemente fuerte como para controlar el término de curvatura objetivo que aparece en la estimación de segundo orden del lema de Schwarz. Esto motivó la consideración de la curvatura biseccional real , introducida por Xiaokui Yang y Fangyang Zheng. ^[23] Esto también aparece en el trabajo de Man-Chun Lee y Jeffrey Streets bajo el nombre de operador de curvatura complejo . ^[24]

Ejemplos

1. El espacio complejo C ⁿ con la métrica hermítica estándar es una variedad de Kähler.
2. Un toro complejo compacto C ⁿ /Λ (Λ una red completa ) hereda una métrica plana de la métrica euclidiana en C ⁿ y, por lo tanto, es una variedad de Kähler compacta.
3. Toda métrica de Riemann en una 2-variedad orientada es de Kähler. (De hecho, su grupo de holonomía está contenido en el grupo de rotación SO(2), que es igual al grupo unitario U(1).) En particular, una 2-variedad de Riemann orientada es una superficie de Riemann de manera canónica; esto se conoce como la existencia de coordenadas isotérmicas . A la inversa, toda superficie de Riemann es de Kähler ya que la forma de Kähler de cualquier métrica hermítica es cerrada por razones dimensionales.
4. Existe una opción estándar de métrica de Kähler en el espacio proyectivo complejo CP ⁿ , la métrica de Fubini–Study . Una descripción involucra al grupo unitario U( n + 1) , el grupo de automorfismos lineales de C ^{n +1} que preservan la forma hermítica estándar. La métrica de Fubini–Study es la única métrica de Riemann en CP ⁿ (hasta un múltiplo positivo) que es invariante bajo la acción de U( n + 1) en CP ⁿ . Una generalización natural de CP ⁿ es proporcionada por los espacios simétricos hermíticos de tipo compacto, como los Grassmannianos . La métrica natural de Kähler en un espacio simétrico hermítico de tipo compacto tiene una curvatura seccional ≥ 0.
5. La métrica inducida en una subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad de Stein (incorporada en C ⁿ ) o variedad algebraica proyectiva suave (incorporada en CP ⁿ ) es Kähler. Esta es una clase grande de ejemplos.
6. La bola unitaria abierta B en C ⁿ tiene una métrica de Kähler completa llamada métrica de Bergman , con curvatura seccional holomorfa igual a −1. Una generalización natural de la bola la proporcionan los espacios simétricos hermíticos de tipo no compacto, como el espacio de la mitad superior de Siegel . Todo espacio simétrico hermítico X de tipo no compacto es isomorfo a un dominio acotado en algún C ⁿ , y la métrica de Bergman de X es una métrica de Kähler completa con curvatura seccional ≤ 0.
7. Toda superficie K3 es Kähler (de Siu). ^[17]

Véase también

• Variedad casi compleja
• Colector de hiperkähler
• Variedad de cuaterniones-Kähler
• Funcional de la energía K

Notas

1. Cannas da Silva (2001), Definición 16.1.
2. Zheng (2000), Proposición 7.14.
3. Kobayashi y Nomizu (1996), v.2, pág. 149.
4. Moroianu (2007), Proposición 8.8.
5. Zheng (2000), sección 7.4.
6. Huybrechts (2005), sección 3.1.
7. Huybrechts (2005), Proposición 3.1.12.
8. Huybrechts (2005), Corolario 3.2.12.
9. Huybrechts (2005), secciones 3.3 y 5.2,
10. Huybrechts (2005), Proposición 3.A.28.
11. Amorós y otros (1996)
12. Amorós et al. (1996), Corolario 1.66.
13. Wells (2007) p.217 Definición 1.1
14. Kodaira (1954)
15. Angella, D. y Tomassini, A., 2013. Sobre la cohomología del lema y Bott-Chern. Inventiones mathematicae , 192 (1), págs.71-81. ${\displaystyle \partial {\overline {\partial }}}$
16. Voisin (2004)
17. Barth y col. (2004), sección IV.3.
18. Buchdahl (1999)
19. Lamari (1999)
20. Zheng (2000), Corolario 9.8.
21. Zheng (2000), Lema 9.14.
22. Kobayashi y Nomizu (1996), v.2, Proposición IX.9.2.
23. Yang y Zheng (2018)
24. Lee y las calles (2021)

Referencias

• Amorós, Jaume; Burger, Marc; Corlette, Kevin; Kotschick, Dieter; Toledo, Domingo (1996), Grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 44, American Mathematical Society , doi :10.1090/surv/044, ISBN 978-0-8218-0498-8, Sr.  1379330
• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 4, Springer , doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Buchdahl, Nicolás (1999). "Sobre superficies compactas de Kähler". Anales del Instituto Fourier . 49 (1): 287–302. doi : 10.5802/aif.1674 . SEÑOR  1688136. Zbl  0926.32025.
• Cannas da Silva, Ana (2001), Lecciones de geometría simpléctica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1764, Springer , doi :10.1007/978-3-540-45330-7, ISBN 978-3540421955, Sr.  1853077
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-05059-9.Sr. 0507725  .
• Kähler, Erich (1933), "Ùber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 9 : 173–186, doi : 10.1007/BF02940642, JFM  58.0780.02, S2CID  122246578
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 978-3-540-21290-4, Sr.  2093043
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996) [1969], Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2, John Wiley e hijos , ISBN 978-0-471-15732-8, Sr.  1393941
• Kodaira, K. (1954). "Sobre las variedades de Kahler de tipo restringido: una caracterización intrínseca de las variedades algebraicas)". Anales de Matemáticas . 60 (1): 28–48. doi :10.2307/1969701. JSTOR  1969701.
• Lamari, Ahcene (1999). "Courants kählériens et superficies compactadas". Anales del Instituto Fourier . 49 (1): 263–285. doi : 10.5802/aif.1673 . SEÑOR  1688140. Zbl  0926.32026.
• Lee, Man-Chun; Streets, Jeffrey (2021). "Variedades complejas con operador de curvatura negativa". International Mathematics Research Notices . 2021 (24): 18520–18528. arXiv : 1903.12645 . doi :10.1093/imrn/rnz331. S2CID  88524040.
• Moroianu, Andrei (2007), Lecciones sobre geometría de Kähler , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 69, Cambridge University Press , arXiv : math/0402223 , doi :10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, Sr.  2325093
• Voisin, Claire (2004), "Sobre los tipos de homotopía de variedades proyectivas complejas y compactas de Kähler", Inventiones Mathematicae , 157 (2): 329–343, arXiv : math/0312032 , Bibcode :2004InMat.157..329V, doi :10.1007/s00222-003-0352-1, MR  2076925, S2CID  11984149
• Yang, Xiaokui; Zheng, Fangyang (2018). "Sobre la curvatura biseccional real para variedades hermíticas". Transactions of the American Mathematical Society . 371 (4): 2703–2718. arXiv : 1610.07165 . doi :10.1090/tran/7445. S2CID  119669591.
• Wells, Raymond O. (2007). Análisis diferencial en variedades complejas. Springer. ISBN 9780387738925.
• Zheng, Fangyang (2000), Geometría diferencial compleja , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2163-3, Sr.  1777835

Enlaces externos

• "Variedad de Kähler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Moroianu, Andrei (2004), Conferencias sobre geometría de Kähler (PDF)