En matemáticas , y en particular en teoría de gauge y geometría compleja , una conexión hermítica de Yang-Mills (o conexión de Hermite-Einstein ) es una conexión de Chern asociada a un producto interno en un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad de Kähler que satisface un análogo de las ecuaciones de Einstein: es decir, se requiere que la contracción de la forma de curvatura 2 de la conexión con la forma de Kähler sea una constante multiplicada por la transformación identidad. Las conexiones hermíticas de Yang-Mills son ejemplos especiales de conexiones de Yang-Mills , y a menudo se denominan instantones .
La correspondencia Kobayashi-Hitchin probada por Donaldson , Uhlenbeck y Yau afirma que un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad compacta de Kähler admite una conexión hermítica de Yang-Mills si y sólo si es poliestable en pendiente .
Las conexiones de Hermite-Einstein surgen como soluciones de las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills. Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales sobre un fibrado vectorial sobre una variedad de Kähler, que implican las ecuaciones de Yang-Mills . Sea una conexión hermítica sobre un fibrado vectorial hermítico sobre una variedad de Kähler de dimensión . Entonces las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills son:
Para alguna constante . Aquí tenemos:
Nótese que, dado que se supone que es una conexión hermítica, la curvatura es antihermítica y, por lo tanto, implica . Cuando la variedad de Kähler subyacente es compacta, se puede calcular utilizando la teoría de Chern-Weil . Es decir, tenemos
Como y el endomorfismo identidad tiene traza dada por el rango de , obtenemos
¿Dónde está la pendiente del haz vectorial , dada por
y el volumen de se toma con respecto a la forma de volumen .
Debido a la similitud de la segunda condición en las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills con las ecuaciones para una métrica de Einstein , las soluciones de las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills a menudo se denominan conexiones de Hermite-Einstein , así como conexiones hermíticas de Yang-Mills .
La conexión de Levi-Civita de una métrica de Kähler-Einstein es de Hermite-Einstein con respecto a la métrica de Kähler-Einstein. (Estos ejemplos son, sin embargo, peligrosamente engañosos, porque hay variedades compactas de Einstein , como la métrica de Page en , que son hermíticas, pero para las cuales la conexión de Levi-Civita no es de Hermite-Einstein.)
Cuando el fibrado vectorial hermítico tiene una estructura holomorfa , existe una elección natural de conexión hermítica, la conexión de Chern . Para la conexión de Chern, la condición que se satisface automáticamente. La correspondencia de Hitchin-Kobayashi afirma que un fibrado vectorial holomorfa admite una métrica hermítica tal que la conexión de Chern asociada satisface las ecuaciones de Yang-Mills hermíticas si y solo si el fibrado vectorial es poliestable . Desde esta perspectiva, las ecuaciones de Yang-Mills hermíticas pueden verse como un sistema de ecuaciones para la métrica en lugar de la conexión de Chern asociada, y dichas métricas que resuelven las ecuaciones se denominan métricas de Hermite-Einstein .
La condición de Hermite-Einstein sobre las conexiones de Chern fue introducida por primera vez por Kobayashi (1980, sección 6). Estas ecuaciones implican las ecuaciones de Yang-Mills en cualquier dimensión, y en la dimensión real cuatro están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Yang-Mills autoduales que definen los instantones . En particular, cuando la dimensión compleja de la variedad de Kähler es , hay una división de las formas en formas autoduales y antiautoduales. La estructura compleja interactúa con esto de la siguiente manera:
Cuando el grado del fibrado vectorial se anula, las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills se convierten en . Según la representación anterior, esta es precisamente la condición de que . Es decir, es un instantón ASD . Nótese que cuando el grado no se anula, las soluciones de las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills no pueden ser anti-auto-duales y, de hecho, no hay soluciones para las ecuaciones ASD en este caso. [1]
