Conjetura de Novikov

Problema no resuelto en topología

La conjetura de Novikov es uno de los problemas sin resolver más importantes de la topología . Recibe su nombre en honor a Sergei Novikov, quien la planteó originalmente en 1965.

La conjetura de Novikov se refiere a la invariancia de homotopía de ciertos polinomios en las clases de Pontryagin de una variedad , que surgen del grupo fundamental . Según la conjetura de Novikov, las signaturas superiores , que son ciertos invariantes numéricos de variedades suaves, son invariantes de homotopía .

La conjetura ha sido demostrada para grupos abelianos finitamente generados . Aún no se sabe si la conjetura de Novikov es válida para todos los grupos. No se conocen contraejemplos de la conjetura.

Formulación precisa de la conjetura

Sea un grupo discreto y su espacio de clasificación , que es un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo , y por lo tanto único hasta la equivalencia de homotopía como un complejo CW. Sea ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

${\displaystyle f\colon M\rightarrow BG}$

sea ​​una función continua de una variedad cerrada orientada -dimensional a , y ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).}$

Novikov consideró la expresión numérica, encontrada al evaluar la clase de cohomología en la dimensión superior contra la clase fundamental , y conocida como firma superior : ${\displaystyle [M]}$

${\displaystyle \left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q} }$

donde es el polinomio de Hirzebruch , o a veces (de manera menos descriptiva) como el polinomio -. Para cada , este polinomio se puede expresar en las clases de Pontryagin del fibrado tangente de la variedad. La conjetura de Novikov establece que la firma superior es un invariante del tipo de homotopía orientada de para cada una de esas funciones y cada una de esas clases , en otras palabras, si es una equivalencia de homotopía que preserva la orientación, la firma superior asociada a es igual a la asociada a . ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h\colon M'\rightarrow M}$ ${\displaystyle f\circ h}$ ${\displaystyle f}$

Conexión con la conjetura de Borel

La conjetura de Novikov es equivalente a la inyectividad racional del mapa de ensamblaje en la teoría L. La conjetura de Borel sobre la rigidez de las variedades asféricas es equivalente a que el mapa de ensamblaje sea un isomorfismo.

Referencias

• Davis, James F. (2000), "Varios aspectos de la conjetura de Novikov" (PDF) , en Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (eds.), Encuestas sobre teoría de la cirugía. Vol. 1 , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press , págs. 195–224, ISBN 978-0-691-04937-3, Sr.  1747536
• John Milnor y James D. Stasheff , Clases características, Annals of Mathematics Studies 76, Princeton (1974).
• Sergei P. Novikov , Construcción algebraica y propiedades de análogos hermíticos de la teoría k sobre anillos con involución desde el punto de vista del formalismo hamiltoniano. Algunas aplicaciones a la topología diferencial y a la teoría de clases características . Izv.Akad.Nauk SSSR, v. 34, 1970 I N2, págs. 253–288; II: N3, págs. 475–500. Resumen en inglés en Actes Congr. Intern. Math., v. 2, 1970, págs. 39–45.

Enlaces externos

• Biografía de Sergei Novikov
• Bibliografía de la conjetura de Novikov
• Conjetura de Novikov Actas de la conferencia de Oberwolfach de 1993, volumen 1
• Conjetura de Novikov Actas de la conferencia de Oberwolfach de 1993, volumen 2
• Notas del seminario de Oberwolfach de 2004 sobre la conjetura de Novikov (pdf)
• Artículo de Scholarpedia de SP Novikov (2010)
• La conjetura de Novikov en el Atlas de variedades