Escalar de Kretschmann

Invariante escalar cuadrático

En la teoría de variedades lorentzianas , particularmente en el contexto de aplicaciones a la relatividad general , el escalar de Kretschmann es un invariante escalar cuadrático . Fue introducido por Erich Kretschmann . ^[1]

Definición

La invariante de Kretschmann es ^{[1] [2]}

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

donde es el tensor de curvatura de Riemann y es el símbolo de Christoffel . Como es una suma de cuadrados de componentes del tensor, se trata de un invariante cuadrático . ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}=\partial _{c}\Gamma ^{a}{}_{db}-\partial _{d}\Gamma ^{a}{}_{cb}+\Gamma ^{a}{}_{ce}\Gamma ^{e}{}_{db}-\Gamma ^{a}{}_{de}\Gamma ^{e}{}_{cb}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

La convención de suma de Einstein con índices elevados y reducidos se utiliza anteriormente y en todo el artículo. Una expresión de suma explícita es

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

Ejemplos

Para un agujero negro de Schwarzschild de masa , el escalar de Kretschmann es ^[1] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

¿Dónde está la constante gravitacional? ${\displaystyle G}$

Para un espacio-tiempo FRW general con métrica

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

El escalar de Kretschmann es

${\displaystyle K={\frac {12\left[a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right]}{a(t)^{4}}}.}$

Relación con otros invariantes

Otro posible invariante (que se ha empleado, por ejemplo, al escribir el término gravitacional del Lagrangiano para algunas teorías de gravedad de orden superior ) es

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

donde es el tensor de Weyl , el tensor de curvatura conforme que también es la parte completamente sin trazas del tensor de Riemann. En dimensiones esto está relacionado con el invariante de Kretschmann por ^[3] ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

donde es el tensor de curvatura de Ricci y es la curvatura escalar de Ricci (obtenida tomando trazas sucesivas del tensor de Riemann). El tensor de Ricci se anula en los espacios-tiempos de vacío (como la solución de Schwarzschild mencionada anteriormente), y por lo tanto allí el tensor de Riemann y el tensor de Weyl coinciden, al igual que sus invariantes. ${\displaystyle R^{ab}}$ ${\displaystyle R}$

Invariantes de la teoría de calibre

El escalar de Kretschmann y el escalar de Chern-Pontryagin

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

donde es el dual izquierdo del tensor de Riemann, son matemáticamente análogos (hasta cierto punto, físicamente análogos) a los invariantes familiares del tensor del campo electromagnético ${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}.}$

Generalizando desde la teoría de calibre del electromagnetismo a la teoría de calibre no abeliana general, el primero de estos invariantes es ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle {\text{Tr}}(F_{ab}F^{ab})}$,

una expresión proporcional al lagrangiano de Yang–Mills . Aquí se muestra la curvatura de una derivada covariante , y es una forma de traza . El escalar de Kretschmann surge al tomar la conexión como si estuviera en el fibrado del marco . ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}}$

Véase también

• Invariantes de Carminati-McLenaghan , para un conjunto de invariantes
• Clasificación de los campos electromagnéticos , para más información sobre los invariantes del tensor de campo electromagnético
• Invariante de curvatura , para invariantes de curvatura en geometría riemanniana y pseudo-riemanniana en general
• Invariante de curvatura (relatividad general)
• Descomposición de Ricci , para más información sobre el tensor de Riemann y Weyl

Referencias

1. Richard C. Henry (2000). "Escalar de Kretschmann para un agujero negro de Kerr-Newman". The Astrophysical Journal . 535 (1). The American Astronomical Society: 350–353. arXiv : astro-ph/9912320v1 . Código Bibliográfico :2000ApJ...535..350H. doi :10.1086/308819. S2CID  119329546.
2. Grøn y Hervik 2007, pág. 219
3. Cherubini, Christian; Bini, Donato; Capozziello, Salvatore; Ruffini, Remo (2002). "Invariantes escalares de segundo orden del tensor de Riemann: aplicaciones a los espaciotiempos de agujeros negros". Revista Internacional de Física Moderna D . 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095v1 . Código Bibliográfico :2002IJMPD..11..827C. doi :10.1142/S0218271802002037. ISSN  0218-2718. S2CID  14587539.

Lectura adicional

• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Teoría general de la relatividad de Einstein , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• BF Schutz (2009), Un primer curso de relatividad general (segunda edición) , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0