Variedad pseudo-riemanniana

Variedad diferenciable con tensor métrico no degenerado

En física matemática , una variedad pseudoriemanniana , ^{[1] [2]} también llamada variedad semiriemanniana , es una variedad diferenciable con un tensor métrico que es no degenerado en todas partes . Esta es una generalización de una variedad riemanniana en la que se relaja el requisito de definitividad positiva .

Todo espacio tangente de una variedad pseudo-riemanniana es un espacio vectorial pseudo-euclidiano .

Un caso especial utilizado en la relatividad general es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones para modelar el espacio-tiempo , donde los vectores tangentes pueden clasificarse como temporales, nulos y espaciales .

Introducción

Colectores

En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio que es localmente similar a un espacio euclidiano . En un espacio euclidiano n -dimensional, cualquier punto puede especificarse mediante n números reales. Estos se denominan coordenadas del punto.

Una variedad diferenciable n -dimensional es una generalización del espacio euclidiano n -dimensional. En una variedad, puede que solo sea posible definir coordenadas localmente . Esto se logra definiendo parches de coordenadas : subconjuntos de la variedad que se pueden mapear en el espacio euclidiano n -dimensional.

Consulte Variedad , Variedad diferenciable , Parche de coordenadas para obtener más detalles.

Espacios tangentes y tensores métricos

A cada punto de una variedad diferenciable de dimensión 1 se asocia un espacio tangente (denotado como ). Se trata de un espacio vectorial de dimensión 1 , cuyos elementos pueden considerarse como clases de equivalencia de curvas que pasan por el punto 1 . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

Un tensor métrico es una función bilineal , simétrica, no degenerada , que asigna un número real a pares de vectores tangentes en cada espacio tangente de la variedad. Denotando el tensor métrico por podemos expresar esto como ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}$

El mapa es simétrico y bilineal, por lo que si son vectores tangentes en un punto de la variedad , entonces tenemos ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

para cualquier número real . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Es decir , no degenerado significa que no existe ningún valor distinto de cero tal que para todo . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle g(X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$

Firmas métricas

Dado un tensor métrico g en una variedad real n -dimensional, la forma cuadrática q ( x ) = g ( x , x ) asociada con el tensor métrico aplicado a cada vector de cualquier base ortogonal produce n valores reales. Por la ley de inercia de Sylvester , el número de cada valor positivo, negativo y cero producido de esta manera son invariantes del tensor métrico, independientemente de la elección de la base ortogonal. La signatura ( p , q , r ) del tensor métrico da estos números, que se muestran en el mismo orden. Un tensor métrico no degenerado tiene r = 0 y la signatura puede denotarse ( p , q ) , donde p + q = n .

Definición

Una variedad pseudo-riemanniana ( M , g ) es una variedad diferenciable M que está equipada con un tensor métrico g , suave, simétrico y no degenerado en todas partes .

Esta métrica se denomina métrica pseudo-riemanniana . Aplicada a un campo vectorial, el valor del campo escalar resultante en cualquier punto de la variedad puede ser positivo, negativo o cero.

La firma de una métrica pseudo-riemanniana es ( p ,  q ) , donde tanto p como q son no negativos. La condición de no degeneración junto con la continuidad implica que p y q permanecen inalterados en toda la variedad (suponiendo que está conexa).

Variedad lorentziana

Una variedad lorentziana es un caso especial importante de una variedad pseudoriemanniana en la que la signatura de la métrica es (1,  n −1) (equivalentemente, ( n −1, 1) ; véase Convención de signos ). Estas métricas se denominan métricas lorentzianas . Su nombre se debe al físico holandés Hendrik Lorentz .

Aplicaciones en física

Después de las variedades de Riemann, las variedades de Lorentz forman la subclase más importante de variedades pseudo-riemannianas. Son importantes en aplicaciones de la relatividad general .

Una premisa principal de la relatividad general es que el espacio-tiempo puede ser modelado como una variedad lorentziana de 4 dimensiones con signatura (3, 1) o, equivalentemente, (1, 3) . A diferencia de las variedades riemannianas con métricas definidas positivas, una signatura indefinida permite clasificar los vectores tangentes en temporales , nulos o espaciales . Con una signatura de ( p , 1) o (1,  q ) , la variedad también es localmente (y posiblemente globalmente) orientable en el tiempo (ver Estructura causal ).

Propiedades de las variedades pseudo-riemannianas

Así como el espacio euclidiano puede considerarse como el modelo local de una variedad riemanniana , el espacio de Minkowski con la métrica plana de Minkowski es el modelo local de una variedad lorentziana. Asimismo, el espacio modelo para una variedad pseudoriemanniana de signatura ( p ,  q ) es el espacio pseudoeuclidiano , para el que existen coordenadas x _i tales que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

Algunos teoremas de la geometría de Riemann pueden generalizarse al caso pseudo-Riemanniano. En particular, el teorema fundamental de la geometría de Riemann es cierto para todas las variedades pseudo-Riemannianas. Esto permite hablar de la conexión de Levi-Civita en una variedad pseudo-Riemanniana junto con el tensor de curvatura asociado . Por otro lado, hay muchos teoremas en la geometría de Riemann que no se cumplen en el caso generalizado. Por ejemplo, no es cierto que cada variedad suave admita una métrica pseudo-Riemanniana de una firma dada; hay ciertas obstrucciones topológicas . Además, una subvariedad no siempre hereda la estructura de una variedad pseudo-Riemanniana; por ejemplo, el tensor métrico se vuelve cero en cualquier curva similar a la luz . El toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo de una variedad pseudo-riemanniana que es compacta pero no completa, una combinación de propiedades que el teorema de Hopf-Rinow no permite para las variedades riemannianas. ^[3]

Véase también

• Condiciones de causalidad
• Variedad hiperbólica global
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica
• Colector orientable
• Espacio-tiempo

Notas

1. Benn y Tucker 1987, pág. 172
2. Bishop y Goldberg 1968, pág. 208
3. O'Neill 1983, pág. 193

Referencias

• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (Primera publicación: edición de 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
• Bishop, Richard L. ; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover en 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Chen, Bang-Yen (2011), Geometría pseudo-riemanniana, invariantes [delta] y aplicaciones , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• O'Neill, Barrett (1983), Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 103, Academic Press, ISBN 9780080570570
• Vrănceanu, G.; Roşca, R. (1976), Introducción a la relatividad y la geometría pseudoriemanniana , Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România

Enlaces externos

• Medios relacionados con Variedades de Lorentz en Wikimedia Commons