En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Held es un grupo simple esporádico de orden
Es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por Dieter Held (1969a, 1969b) durante una investigación de grupos simples que contienen una involución cuyo centralizador es una extensión del grupo extra especial 2 1+6 por el grupo lineal L 3 (2), que es el mismo centralizador de involución que el grupo de Mathieu M 24 . Un segundo grupo de este tipo es el grupo lineal L 5 (2). El grupo de Held es la tercera posibilidad, y su construcción fue completada por John McKay y Graham Higman . En todos estos grupos, la extensión se divide.
El grupo de automorfismo externo tiene orden 2 y el multiplicador de Schur es trivial.
La representación compleja fiel más pequeña tiene dimensión 51; hay dos representaciones de este tipo que son duales entre sí.
Centraliza un elemento de orden 7 en el grupo Monster . Como resultado, el primo 7 juega un papel especial en la teoría del grupo; por ejemplo, la representación más pequeña del grupo Held sobre cualquier cuerpo es la representación de 50 dimensiones sobre el cuerpo con 7 elementos, y actúa naturalmente en un álgebra de operadores de vértices sobre el cuerpo con 7 elementos.
La representación de permutación más pequeña es una acción de rango 5 en 2058 puntos con estabilizador de puntos Sp 4 (4):2. El gráfico asociado con esta representación tiene rango 5 y está dirigido ; el automorfismo externo invierte la dirección de los bordes, disminuyendo el rango a 4.
Como He es el normalizador de un grupo de Frobenius 7:3 en el grupo Monster , no solo conmuta con un 7-ciclo, sino también con algunos 3-ciclos. Cada uno de estos 3-ciclos está normalizado por el grupo de Fischer Fi 24 , por lo que He:2 es un subgrupo del subgrupo derivado Fi 24 ' (el grupo no simple Fi 24 tiene 2 clases de conjugación de He:2, que están fusionadas por un automorfismo externo). Como se mencionó anteriormente, la representación de permutación más pequeña de He tiene 2058 puntos, y cuando se realiza dentro de Fi 24 ', hay una órbita de 2058 transposiciones .
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para He , la serie McKay-Thompson relevante es donde se puede establecer el término constante a(0) = 10 ( OEIS : A007264 ),
y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .
Se puede definir en términos de los generadores a y b y relaciones
Butler (1981) encontró las 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de He de la siguiente manera:
![{\displaystyle a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ed8dab5809933e68b6a028c33d1b27f45da03b)