En matemáticas , el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 7) , isomorfo a GL(3, 2) , es un grupo simple finito que tiene importantes aplicaciones en álgebra , geometría y teoría de números . Es el grupo de automorfismo del cuártico de Klein , así como el grupo de simetría del plano de Fano . Con 168 elementos, PSL(2, 7) es el grupo simple no abeliano más pequeño después del grupo alternante A 5 con 60 elementos, isomorfo a PSL(2, 5) .
El grupo lineal general GL(2, 7) está formado por todas las matrices invertibles 2×2 sobre F 7 , el cuerpo finito con 7 elementos. Estas tienen determinante distinto de cero. El subgrupo SL(2, 7) está formado por todas esas matrices con determinante unitario . Entonces PSL(2, 7) se define como el grupo cociente
se obtiene identificando I y − I , donde I es la matriz identidad . En este artículo, denotamos con G cualquier grupo que sea isomorfo a PSL(2, 7) .
G = PSL(2, 7) tiene 168 elementos. Esto se puede ver contando las posibles columnas; hay 7 2 − 1 = 48 posibilidades para la primera columna, luego 7 2 − 7 = 42 posibilidades para la segunda columna. Debemos dividir por 7 − 1 = 6 para forzar el determinante a igualar a uno, y luego debemos dividir por 2 cuando identificamos I y − I . El resultado es (48 × 42) / (6 × 2) = 168 .
Es un resultado general que PSL( n , q ) es simple para n , q ≥ 2 ( q siendo alguna potencia de un número primo), a menos que ( n , q ) = (2, 2) o (2, 3) . PSL(2, 2) es isomorfo al grupo simétrico S 3 , y PSL(2, 3) es isomorfo al grupo alternante A 4 . De hecho, PSL(2, 7) es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño , después del grupo alternante A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4) .
El número de clases de conjugación y representaciones irreducibles es 6. Los tamaños de las clases de conjugación son 1, 21, 42, 56, 24, 24. Las dimensiones de las representaciones irreducibles son 1, 3, 3, 6, 7, 8.
Tabla de caracteres
dónde
La siguiente tabla describe las clases de conjugación en términos del orden de un elemento en la clase, el tamaño de la clase, el polinomio mínimo de cada representante en GL(3, 2) y la notación de función para un representante en PSL(2, 7). Nótese que las clases 7A y 7B se intercambian por un automorfismo, por lo que los representantes de GL(3, 2) y PSL(2, 7) se pueden intercambiar arbitrariamente.
El orden del grupo es 168 = 3 × 7 × 8 , esto implica la existencia de subgrupos de Sylow de órdenes 3, 7 y 8 . Es fácil describir los dos primeros, son cíclicos, ya que cualquier grupo de orden primo es cíclico . Cualquier elemento de la clase de conjugación 3 A 56 genera el 3-subgrupo de Sylow. Cualquier elemento de las clases de conjugación 7 A 24 , 7 B 24 genera el 7-subgrupo de Sylow. El 2-subgrupo de Sylow es un grupo diedro de orden 8 . Puede describirse como centralizador de cualquier elemento de la clase de conjugación 2 A 21 . En la representación GL(3, 2) , un 2-subgrupo de Sylow consta de las matrices triangulares superiores.
Este grupo y su subgrupo Sylow 2 proporcionan un contraejemplo para varios teoremas de complemento p normal para p = 2 .
G = PSL(2, 7) actúa mediante transformación fraccionaria lineal sobre la línea proyectiva P 1 (7) sobre el campo de 7 elementos:
De esta manera surge todo automorfismo que preserva la orientación de P 1 (7), y por eso G = PSL(2, 7) puede considerarse geométricamente como un grupo de simetrías de la línea proyectiva P 1 (7); el grupo completo de posibles automorfismos lineales proyectivos que invierten la orientación es, en cambio, la extensión de orden 2 PGL(2, 7) , y el grupo de colineaciones de la línea proyectiva es el grupo simétrico completo de los puntos.
Sin embargo, PSL(2, 7) también es isomorfo a PSL(3, 2) ( = SL(3, 2) = GL(3, 2) ), el grupo lineal especial (general) de matrices 3×3 sobre el cuerpo con 2 elementos. De manera similar, G = PSL(3, 2) actúa sobre el plano proyectivo P 2 (2) sobre el cuerpo con 2 elementos, también conocido como plano de Fano :
Nuevamente, cada automorfismo de P 2 (2) surge de esta manera, y por lo tanto G = PSL(3, 2) puede considerarse geométricamente como el grupo de simetría de este plano proyectivo. El plano de Fano puede usarse para describir la multiplicación de octoniones , por lo que G actúa sobre el conjunto de tablas de multiplicación de octoniones.
La cuártica de Klein es la variedad proyectiva sobre los números complejos C definidos por el polinomio cuártico
Se trata de una superficie de Riemann compacta de género g = 3 , y es la única superficie de este tipo para la que el tamaño del grupo de automorfismos conformes alcanza el máximo de 84( g − 1) . Este límite se debe al teorema de automorfismos de Hurwitz , que se cumple para todo g > 1 . Estas " superficies de Hurwitz " son raras; el siguiente género para el que existe alguna es g = 7 , y el siguiente después de este es g = 14 .
Al igual que con todas las superficies de Hurwitz , a la superficie cuártica de Klein se le puede dar una métrica de curvatura negativa constante y luego se la puede teselar con heptágonos regulares (hiperbólicos) , como cociente del teselado heptagonal de orden 3 , con las simetrías de la superficie como superficie de Riemann o curva algebraica exactamente iguales a las simetrías del teselado. Para la superficie cuártica de Klein esto produce un teselado por 24 heptágonos, y el orden de G está relacionado con el hecho de que 24 × 7 = 168. Dualmente, se la puede teselar con 56 triángulos equiláteros, con 24 vértices, cada uno de grado 7, como cociente del teselado triangular de orden 7 .
La cuártica de Klein surge en muchos campos de las matemáticas, incluida la teoría de la representación, la teoría de la homología, la multiplicación de octoniones, el último teorema de Fermat y el teorema de Stark sobre campos de números cuadráticos imaginarios de clase número 1.
PSL(2, 7) es un subgrupo maximal del grupo de Mathieu M 21 ; los grupos M 21 y M 24 pueden construirse como extensiones de PSL(2, 7) . Estas extensiones pueden interpretarse en términos del teselado del cuártico de Klein, pero no se realizan mediante simetrías geométricas del teselado. [1]
El grupo PSL(2, 7) actúa sobre varios conjuntos finitos:
