En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un p -complemento normal de un grupo finito para un primo p es un subgrupo normal de orden coprimo con p e índice una potencia de p . En otras palabras, el grupo es un producto semidirecto del p -complemento normal y cualquier p -subgrupo de Sylow . Un grupo se llama p -nilpotente si tiene un p -complemento normal .
Cayley demostró que si el subgrupo 2 de Sylow de un grupo G es cíclico , entonces el grupo tiene un complemento 2 normal , lo que demuestra que el subgrupo 2 de Sylow de un grupo simple de orden par no puede ser cíclico.
Burnside (1911, Teorema II, sección 243) demostró que si un p -subgrupo de Sylow de un grupo G está en el centro de su normalizador, entonces G tiene un p -complemento normal . Esto implica que si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo G y el p -subgrupo de Sylow es cíclico, entonces G tiene un p -complemento normal .
El teorema del complemento p normal de Frobenius es un fortalecimiento del teorema del complemento p normal de Burnside , que establece que si el normalizador de cada subgrupo no trivial de un subgrupo p de Sylow de G tiene un complemento p normal , entonces también lo tiene G. Más precisamente, las siguientes condiciones son equivalentes:
El teorema del p -complemento normal de Frobenius muestra que si cada normalizador de un subgrupo no trivial de un p -subgrupo de Sylow tiene un p -complemento normal , entonces también lo tiene G. Para las aplicaciones, a menudo es útil tener una versión más fuerte donde en lugar de usar todos los subgrupos no triviales de un p -subgrupo de Sylow, se usan solo los subgrupos característicos no triviales . Para los primos impares p, Thompson encontró un criterio reforzado: de hecho, no necesitaba todos los subgrupos característicos, sino solo dos especiales.
Thompson (1964) demostró que si p es un primo impar y los grupos N(J( P )) y C(Z( P )) ambos tienen p -complementos normales para un P-subgrupo de Sylow de G , entonces G tiene un p -complemento normal .
En particular, si el normalizador de cada subgrupo característico no trivial de P tiene un complemento p normal , entonces también lo tiene G. Esta consecuencia es suficiente para muchas aplicaciones.
El resultado falla para p = 2 ya que el grupo simple PSL 2 ( F 7 ) de orden 168 es un contraejemplo .
Thompson (1960) dio una versión más débil de este teorema.
El teorema del complemento p normal de Thompson utilizaba condiciones sobre dos subgrupos característicos particulares de un subgrupo p de Sylow . Glauberman mejoró esto aún más al demostrar que solo es necesario utilizar un subgrupo característico: el centro del subgrupo de Thompson.
Glauberman (1968) utilizó su teorema ZJ para demostrar un teorema de complemento p normal, que si p es un primo impar y el normalizador de Z(J(P)) tiene un complemento p normal , para P un subgrupo p de Sylow de G , entonces también lo tiene G. Aquí Z representa el centro de un grupo y J el subgrupo de Thompson .
El resultado falla para p = 2 ya que el grupo simple PSL 2 ( F 7 ) de orden 168 es un contraejemplo.