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En geometría , el dodecadodecaedro es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U 36 . [1] Es la rectificación del gran dodecaedro (y la de su dual, el pequeño dodecaedro estrellado ). Fue descubierto de forma independiente por Hess (1878), Badoureau (1881) y Pitsch (1882).
Las aristas de este modelo forman 10 hexágonos centrales , y estos, proyectados sobre una esfera , se convierten en 10 círculos máximos . Estos 10, junto con los grandes círculos de las proyecciones de otros dos poliedros, forman los 31 grandes círculos del icosaedro esférico utilizado en la construcción de cúpulas geodésicas .
Tiene cuatro construcciones Wythoff entre cuatro familias de triángulos de Schwarz : 2 | 5 5/2 , 2 | 5 5/3 , 2 | 5/2 5/4 , 2 | 5/3 5/4 , pero representan resultados idénticos. De manera similar, se le pueden dar cuatro símbolos de Schläfli extendidos : r{5/2,5}, r{5/3,5}, r{5/2,5/4} y r{5/3,5/4} o como diagramas de Coxeter-Dynkin :
,
,
, y.
Se puede construir una forma con la misma apariencia exterior que el dodecadodecaedro doblando estas redes:
Se necesitan 12 pentagramas y 20 grupos rómbicos . Sin embargo, esta construcción reemplaza las caras pentagonales que se cruzan del dodecadodecaedro con conjuntos de rombos que no se cruzan, por lo que no produce la misma estructura interna.
Su casco convexo es el icosidodecaedro . También comparte su disposición de bordes con el dodecahemicosaedro pequeño (que tiene las caras pentagramáticas en común) y con el dodecahemicosaedro grande (que tiene las caras pentagonales en común).
Este poliedro puede considerarse un gran dodecaedro rectificado . Es el centro de una secuencia de truncamiento entre un pequeño dodecaedro estrellado y un gran dodecaedro :
El pequeño dodecaedro estrellado truncado parece un dodecaedro en la superficie, pero tiene 24 caras: 12 pentágonos de los vértices truncados y 12 as superpuestos (pentagramas truncados). El truncamiento del dodecadodecaedro en sí no es uniforme y al intentar hacerlo uniforme se obtiene un poliedro degenerado (que parece un pequeño rombidodecaedro con {10/2} polígonos llenando el conjunto de agujeros del dodecaedro), pero tiene un cuasitruncamiento uniforme. el dodecadodecaedro truncado .
Es topológicamente equivalente a un espacio cociente del mosaico pentagonal de orden hiperbólico -4 , al distorsionar los pentagramas nuevamente en pentágonos regulares . Como tal, topológicamente es un poliedro regular de índice dos: [2] [3]
El triacontaedro rómbico medial es el dual del dodecadodecaedro. Tiene 30 caras rómbicas que se cruzan .
Es topológicamente equivalente a un espacio cociente del orden hiperbólico : mosaico de 5 cuadrados , al distorsionar los rombos en cuadrados . Como tal, topológicamente es un poliedro regular de índice dos: [4]
Tenga en cuenta que el mosaico cuadrado de orden 5 es dual al mosaico pentagonal de orden 4 , y un espacio cociente del mosaico pentagonal de orden 4 es topológicamente equivalente al dual del triacontaedro rómbico medial, el dodecadodecaedro.