Construcción Cayley-Dickson

Método para producir álgebras de composición

En matemáticas , la construcción de Cayley-Dickson , llamada así por Arthur Cayley y Leonard Eugene Dickson , produce una secuencia de álgebras sobre el cuerpo de los números reales , cada una con el doble de dimensión que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso se conocen como álgebras de Cayley-Dickson , por ejemplo, números complejos , cuaterniones y octoniones . Estos ejemplos son álgebras de composición útiles que se aplican con frecuencia en la física matemática .

La construcción de Cayley-Dickson define una nueva álgebra como un producto cartesiano de un álgebra consigo misma, con multiplicación definida de una manera específica (diferente de la multiplicación por componentes ) y una involución conocida como conjugación . El producto de un elemento y su conjugado (o a veces la raíz cuadrada de este producto) se denomina norma .

Las simetrías del campo real desaparecen a medida que se aplica repetidamente la construcción de Cayley-Dickson: primero la pérdida de orden , luego la conmutatividad de la multiplicación, la asociatividad de la multiplicación y, finalmente, la alternatividad .

De manera más general, la construcción de Cayley-Dickson convierte cualquier álgebra con involución en otra álgebra con involución de doble dimensión. ^{[1] : 45}

El teorema de Hurwitz (álgebras de composición) establece que los reales, números complejos, cuaterniones y octoniones son las únicas álgebras de división ( normadas ) (sobre los números reales).

Sinopsis

La construcción de Cayley-Dickson se debe a Leonard Dickson en 1919, quien mostró cómo los octoniones pueden construirse como un álgebra bidimensional sobre cuaterniones . De hecho, comenzando con un cuerpo F , la construcción produce una secuencia de F -álgebras de dimensión 2n ^. Para n = 2, es un álgebra asociativa llamada álgebra de cuaterniones , y para n = 3, es un álgebra alternativa llamada álgebra de octoniones . Estas instancias n = 1, 2 y 3 producen álgebras de composición como se muestra a continuación.

El caso n = 1 comienza con los elementos ( a , b ) en F × F y define el conjugado ( a , b )* como ( a *, – b ) donde a * = a en el caso n = 1, y posteriormente determinado por la fórmula. La esencia del F -álgebra reside en la definición del producto de dos elementos ( a , b ) y ( c , d ):

${\displaystyle (a,b)\times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

Proposición 1: Para y el conjugado del producto es ${\displaystyle z=(a,b)}$ ${\displaystyle w=(c,d),}$ ${\displaystyle w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.}$

prueba: ${\displaystyle (c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.}$

Proposición 2: Si el F -álgebra es asociativa y , entonces ${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$ ${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w).}$

prueba: + términos que se cancelan por la propiedad asociativa. ${\displaystyle N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})}$

Etapas en la construcción de álgebras reales

Los detalles de la construcción de las álgebras reales clásicas son los siguientes:

Números complejos como pares ordenados

Los números complejos se pueden escribir como pares ordenados ( a , b ) de números reales a y b , con el operador de adición componente por componente y con la multiplicación definida por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,}$

Un número complejo cuyo segundo componente es cero está asociado a un número real: el número complejo ( a , 0) está asociado al número real  a .

El complejo conjugado ( a , b )* de ( a , b ) está dado por

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)}$

ya que a es un número real y es su propio conjugado.

El conjugado tiene la propiedad de que

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=\left(a^{2}+b^{2},0\right),\,}$

que es un número real no negativo. De esta manera, la conjugación define una norma , convirtiendo a los números complejos en un espacio vectorial normado sobre los números reales: la norma de un número complejo  z es

${\displaystyle |z|=\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}.\,}$

Además, para cualquier número complejo distinto de cero  z , la conjugación da un inverso multiplicativo ,

${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.}$

Como un número complejo consta de dos números reales independientes, forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.

Además de ser de dimensión superior, se puede decir que los números complejos carecen de una propiedad algebraica de los números reales: un número real es su propio conjugado.

Cuaterniones

Gráfico de Cayley Q8 de multiplicación de cuaterniones que muestra ciclos de multiplicación de i (rojo), j (verde) y k (azul). En el archivo SVG, pase el cursor sobre una ruta o haga clic en ella para resaltarla.

El siguiente paso en la construcción es generalizar las operaciones de multiplicación y conjugación.

Formar pares ordenados ( a , b ) de números complejos a y b , con la multiplicación definida por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,}$

Son posibles ligeras variaciones de esta fórmula; las construcciones resultantes producirán estructuras idénticas hasta los signos de las bases.

El orden de los factores parece extraño ahora, pero será importante en el siguiente paso.

Defina el conjugado ( a , b )* de ( a , b ) por

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,}$

Estos operadores son extensiones directas de sus análogos complejos: si a y b se toman del subconjunto real de números complejos, la aparición del conjugado en las fórmulas no tiene efecto, por lo que los operadores son los mismos que para los números complejos.

El producto de un elemento distinto de cero por su conjugado es un número real no negativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)(a,b)\\&=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\\&=\left(|a|^{2}+|b|^{2},0\right).\,\end{aligned}}}$

Como antes, el conjugado produce una norma y una inversa para cualquier par ordenado de este tipo. Por lo tanto, en el sentido que explicamos anteriormente, estos pares constituyen un álgebra similar a los números reales. Son los cuaterniones , nombrados por Hamilton en 1843.

Como un cuaternión consta de dos números complejos independientes, forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre los números reales.

Sin embargo, la multiplicación de cuaterniones no es exactamente como la multiplicación de números reales: no es conmutativa , es decir, si p y q son cuaterniones, no siempre es cierto que pq = qp .

Octoniones

Todos los pasos para crear más álgebras son los mismos a partir de los octoniones.

Esta vez, se forman pares ordenados ( p , q ) de cuaterniones p y q , con multiplicación y conjugación definidas exactamente como para los cuaterniones:

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,}$

Tenga en cuenta, sin embargo, que debido a que los cuaterniones no son conmutativos, el orden de los factores en la fórmula de multiplicación se vuelve importante: si el último factor en la fórmula de multiplicación fuera r * q en lugar de qr * , la fórmula para la multiplicación de un elemento por su conjugado no produciría un número real.

Por exactamente las mismas razones que antes, el operador de conjugación produce una norma y un inverso multiplicativo de cualquier elemento distinto de cero.

Esta álgebra fue descubierta por John T. Graves en 1843 y se llama octoniones o " números de Cayley ".

Como un octonión consta de dos cuaterniones independientes, forman un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre los números reales.

La multiplicación de octoniones es aún más extraña que la de cuaterniones: además de no ser conmutativa, no es asociativa ; es decir, si p , q y r son octoniones, no siempre es cierto que ( pq ) r = p ( qr ) .

Debido a esta no asociatividad, los octoniones no tienen representación matricial .

Más álgebras

El álgebra que sigue inmediatamente a los octoniones se llama sedenión . Conserva una propiedad algebraica llamada asociatividad de potencias , lo que significa que si s es un sedenión, s ⁿ s ^m = s ^{n  +  m} , pero pierde la propiedad de ser un álgebra alternativa y, por lo tanto, no puede ser un álgebra de composición .

La construcción de Cayley-Dickson puede continuar hasta el infinito , produciendo en cada paso un álgebra asociativa de potencias cuya dimensión es el doble de la del álgebra del paso anterior. Todas las álgebras generadas de esta manera sobre un cuerpo son cuadráticas : es decir, cada elemento satisface una ecuación cuadrática con coeficientes del cuerpo. ^{[1] : 50}

En 1954, RD Schafer examinó las álgebras generadas por el proceso de Cayley-Dickson sobre un cuerpo F y demostró que satisfacen la identidad flexible . También demostró que cualquier álgebra de derivación de un álgebra de Cayley-Dickson es isomorfa al álgebra de derivación de números de Cayley, un álgebra de Lie de 14 dimensiones sobre F . ^[2]

Construcción Cayley-Dickson modificada

La construcción de Cayley–Dickson, a partir de los números reales , genera las álgebras de composición (los números complejos ), (los cuaterniones ) y (los octoniones ). También existen álgebras de composición cuya norma es una forma cuadrática isótropa , que se obtienen mediante una ligera modificación, al sustituir el signo menos en la definición del producto de pares ordenados por un signo más, de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ $${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).}$$

Cuando se aplica esta construcción modificada a , se obtienen los números complejos divididos , que son isomorfos en anillo al producto directo que sigue, se obtienen los cuaterniones divididos , un álgebra asociativa isomorfa a la de las matrices reales 2 × 2 ; y los octoniones divididos , que son isomorfos a Zorn( R ) . La aplicación de la construcción original de Cayley-Dickson a los complejos divididos también da como resultado los cuaterniones divididos y luego los octoniones divididos. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ;}$

Construcción del General Cayley-Dickson

Albert (1942, p. 171) dio una ligera generalización, definiendo el producto y la involución en B = A ⊕ A para A, un álgebra con involución (con ( xy )* = y * x * ) como

${\displaystyle {\begin{aligned}(p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^{*},-q)\,\end{aligned}}}$

para γ una función aditiva que conmuta con * y multiplicación por izquierda y derecha por cualquier elemento. (Sobre los números reales todas las opciones de γ son equivalentes a −1, 0 o 1.) En esta construcción, A es un álgebra con involución, es decir:

• A es un grupo abeliano bajo +
• A tiene un producto que es distributivo por izquierda y derecha sobre +
• A tiene una involución * , con ( x *)* = x , ( x + y )* = x * + y * , ( xy )* = y * x * .

El álgebra B = A ⊕ A producida por la construcción de Cayley-Dickson es también un álgebra con involución.

B hereda las propiedades de A sin cambios de la siguiente manera.

• Si A tiene una identidad 1 _A , entonces B tiene una identidad (1 _A , 0) .
• Si A tiene la propiedad de que x + x * , xx * se asocian y conmutan con todos los elementos, entonces B también la tiene . Esta propiedad implica que cualquier elemento genera un *-álgebra asociativa conmutativa, por lo que en particular el álgebra es asociativa de potencia.

Otras propiedades de A sólo inducen propiedades más débiles de B :

• Si A es conmutativa y tiene involución trivial, entonces B es conmutativa.
• Si A es conmutativa y asociativa entonces B es asociativa.
• Si A es asociativa y x + x * , xx * se asocian y conmutan con todo, entonces B es un álgebra alternativa .

Notas

1. Schafer, Richard D. (1995) [1966], Una introducción a las álgebras no asociativas , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5, Zbl0145.25601 ​
2. Richard D. Schafer (1954) "Sobre las álgebras formadas por el proceso Cayley-Dickson", American Journal of Mathematics 76: 435–46 doi :10.2307/2372583
3. Kevin McCrimmon (2004) Una muestra de las álgebras de Jordan , págs. 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924 

Referencias

• Albert, AA (1942), "Formas cuadráticas que permiten la composición", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 43 (1): 161–177, doi :10.2307/1968887, JSTOR  1968887, MR  0006140(ver pág. 171)
• Baez, John (2002), "Los octoniones", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID  586512. (Véase la sección 2.2, La construcción de Cayley-Dickson)
• Dickson, LE (1919), "Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 20 (3), Anales de Matemáticas: 155–171, doi :10.2307/1967865, JSTOR  1967865
• Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). "Grandes aniquiladores en las álgebras de Cayley–Dickson II". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : math/0702075 . Código Bibliográfico :2007math......2075B.
• Kantor, IL; Solodownikow, AS (1978), Hyperkomplex Zahlen , Leipzig: BG Teubner(la siguiente referencia proporciona la traducción al inglés de este libro)
• Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), Números hipercomplejos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, Sr.  0996029
• Hamilton, William Rowan (1847), "Sobre los cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , 3 : 1–16, ISSN  1393-7197
• Roos, Guy (2008). "Dominios simétricos excepcionales §1: Álgebras de Cayley". En Gilligan, Bruce; Roos, Guy (eds.). Simetrías en análisis complejo . Matemáticas contemporáneas. Vol. 468. Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-4459-5.

Lectura adicional

• Daboul, Jamil; Delbourgo, Robert (1999). "Representaciones matriciales de octoniones y generalizaciones". Journal of Mathematical Physics . 40 (8): 4134–50. arXiv : hep-th/9906065 . Código Bibliográfico :1999JMP....40.4134D. doi :10.1063/1.532950. S2CID  16932871.