octonion dividido

En matemáticas , los octoniones divididos son un álgebra no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales . A diferencia de los octoniones estándar , contienen elementos distintos de cero que no son invertibles. También difieren las firmas de sus formas cuadráticas : los octoniones divididos tienen una firma dividida (4,4), mientras que los octoniones tienen una firma definida positiva (8,0).

Hasta el isomorfismo, los octoniones y los octoniones divididos son las únicas dos álgebras de composición de 8 dimensiones sobre los números reales. También son las dos únicas álgebras de octoniones sobre los números reales. Las álgebras de octoniones divididos análogas a los octoniones divididos se pueden definir sobre cualquier campo .

Definición

Construcción Cayley-Dickson

Los octoniones y los octoniones divididos se pueden obtener a partir de la construcción de Cayley-Dickson definiendo una multiplicación de pares de cuaterniones . Introducimos una nueva unidad imaginaria ℓ y escribimos un par de cuaterniones ( a , b ) en la forma a + ℓ b . El producto está definido por la regla: ^[1]

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}$

dónde

${\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

Si se elige que λ sea −1, obtenemos los octoniones. Si, en cambio, se toma como +1 obtenemos los octoniones divididos. También se pueden obtener los octoniones divididos mediante una duplicación de Cayley-Dickson de los cuaterniones divididos . Aquí, cualquiera de las opciones de λ (±1) da los octoniones divididos.

Tabla de multiplicación

Un mnemónico para los productos de los octoniones divididos.

El conjunto proporciona una base para los octoniones divididos . ${\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$

Cada octonión dividido se puede escribir como una combinación lineal de los elementos básicos, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}$

con coeficientes reales . ${\displaystyle x_{a}}$

Por linealidad, la multiplicación de octoniones divididos está completamente determinada por la siguiente tabla de multiplicar :

El diagrama de la derecha proporciona una mnemónica conveniente , que representa la tabla de multiplicar para los octoniones divididos. Este se deriva de su octonión padre (uno de 480 posibles), que se define por:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}$

donde está el delta de Kronecker y es el símbolo de Levi-Civita con valor cuando y: ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}$

con el elemento escalar, y ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

Las flechas rojas indican posibles inversiones de dirección impuestas al negar el cuadrante inferior derecho del padre creando un octonión dividido con esta tabla de multiplicar.

Conjugado, norma e inverso

El conjugado de un octonión dividido x viene dado por

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

al igual que para los octoniones.

La forma cuadrática en x viene dada por

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

Esta forma cuadrática N ( x ) es una forma cuadrática isotrópica ya que hay octoniones divididos x distintos de cero con N ( x ) = 0. Con N , los octoniones divididos forman un espacio pseudoeuclidiano de ocho dimensiones sobre R , a veces escrito R ^4,4 para denotar la firma de la forma cuadrática.

Si N ( x ) ≠ 0, entonces x tiene un inverso multiplicativo (de dos lados) x ⁻¹ dado por

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

Propiedades

Los octoniones divididos, al igual que los octoniones, no son conmutativos ni asociativos. También como los octoniones, forman un álgebra de composición ya que la forma cuadrática N es multiplicativa. Eso es,

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}$

Los octoniones divididos satisfacen las identidades de Moufang y forman así un álgebra alternativa . Por lo tanto, según el teorema de Artin , la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa. El conjunto de todos los elementos invertibles (es decir, aquellos elementos para los cuales N ( x ) ≠ 0) forman un bucle de Moufang .

El grupo de automorfismo de los octoniones divididos es un grupo de Lie de 14 dimensiones , la forma real dividida del excepcional grupo de Lie simple G 2 .

Álgebra de matrices vectoriales de Zorn

Dado que los octoniones divididos no son asociativos, no pueden representarse mediante matrices ordinarias (la multiplicación de matrices siempre es asociativa). Zorn encontró una manera de representarlos como "matrices" que contienen escalares y vectores utilizando una versión modificada de la multiplicación de matrices. ^[2] Específicamente, defina una matriz vectorial como una matriz de 2 × 2 de la forma ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}$

donde a y b son números reales y v y w son vectores en R ³ . Definir la multiplicación de estas matrices por la regla.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

donde · y × son el producto escalar ordinario y el producto cruzado de 3 vectores. Con la suma y la multiplicación escalar definidas como de costumbre, el conjunto de todas estas matrices forma un álgebra unital no asociativa de 8 dimensiones sobre los reales, llamada álgebra de matrices vectoriales de Zorn .

Definir el " determinante " de una matriz vectorial mediante la regla

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$.

Este determinante es una forma cuadrática en el álgebra de Zorn que satisface la regla de composición:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}$

El álgebra de matrices vectoriales de Zorn es, de hecho, isomorfa al álgebra de octoniones divididos. Escribe un octonión en la forma. ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

donde y son números reales y v y w son cuaterniones imaginarios puros considerados vectores en R ³ . El isomorfismo de los octoniones divididos al álgebra de Zorn viene dado por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}$

Este isomorfismo preserva la norma desde . ${\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}$

Aplicaciones

Los octonones divididos se utilizan en la descripción de las leyes físicas. Por ejemplo:

• La ecuación de Dirac en física (la ecuación de movimiento de una partícula de espín libre 1/2, como por ejemplo un electrón o un protón) se puede expresar en aritmética nativa de octonión dividido. ^[7]
• La mecánica cuántica supersimétrica tiene una extensión octoniónica. ^[8]
• El álgebra de octonión dividido basada en Zorn se puede utilizar para modelar la cromodinámica cuántica SU(3) simétrica de calibre local. ^[9]
• El problema de una bola que rueda sin deslizarse sobre una bola de radio 3 veces mayor tiene como grupo de simetría la forma real dividida del grupo excepcional G 2 , debido a que este problema se puede describir utilizando octoniones divididos. ^[10]

Referencias

1. Kevin McCrimmon (2004) Una muestra de las álgebras de Jordan , página 158, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 SEÑOR 2014924
2. Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
3. Nathan Jacobson (1962) Álgebras de mentira , página 142, Interscience Publishers.
4. Schafer, Richard D. (1966). Introducción a las álgebras no asociativas. Prensa académica . págs. 52–6. ISBN 0-486-68813-5.
5. Lowell J. Page (1963) "Jordan Algebras", páginas 144–186 en Studies in Modern Algebra editado por AA Albert, Mathematics Association of America  : álgebra de matrices vectoriales de Zorn en la página 180
6. Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a los grupos de mentiras y las álgebras de mentiras , página 199, Academic Press
7. M. Gogberashvili (2006) "Electrodinámica octoniónica", Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi :10.1088/0305-4470/39/22/020
8. V. Dzhunushaliev (2008) "No asociatividad, supersimetría y variables ocultas", Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi :10.1063/1.2907868; arXiv : 0712.1647
9. B. Wolk, Avanzado. Aplica. Clifford Álgebras 27(4), 3225 (2017).
10. J. Baez y J. Huerta, G ₂ y la bola rodante, Trans. América. Matemáticas. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447.

Otras lecturas

• R. Foot y GC Joshi (1990) "Firma no estándar del espacio-tiempo, supercuerdas y álgebras de composición dividida", Letters in Mathematical Physics 19: 65–71
• Harvey, F. Reese (1990). Spinores y Calibraciones . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-329650-1.
• Nash, Patrick L (1990) "Sobre la estructura del álgebra del octonión dividido", Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi :10.1007/BF02723550
• Springer, TA; FD Veldkamp (2000). Octonions, Álgebras de Jordan y Grupos Excepcionales . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.