Estructura matemática en álgebra abstracta.
En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , un *-álgebra (o álgebra involutiva ; leída como "álgebra en estrellas") es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos R y A , donde R es conmutativo y A tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre R . Las álgebras involutivas generalizan la idea de un sistema numérico equipado con conjugación, por ejemplo, los números complejos y la conjugación compleja , matrices sobre números complejos y transposición conjugada , y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y adjuntos hermitianos . Sin embargo, puede ocurrir que un álgebra no admita involución . [a]
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Definiciones
*-anillo
En matemáticas , un *-ring es un anillo con una aplicación *: A → A que es un antiautomorfismo y una involución .
Más precisamente, * se requiere para satisfacer las siguientes propiedades: [1]
- ( x + y )* = x * + y *
- ( x y )* = y * x *
- 1* = 1
- ( x *)* = x
para todo x , y en A .
A esto también se le llama anillo involutivo , anillo involutivo y anillo con involución . El tercer axioma está implícito en los axiomas segundo y cuarto, lo que lo hace redundante.
Los elementos tales que x * = x se denominan autoadjuntos . [2]
Los ejemplos arquetípicos de un anillo * son campos de números complejos y números algebraicos con conjugación compleja como involución. Se puede definir una forma sesquilineal sobre cualquier anillo *.
Además, se pueden definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideal y subanillo , con el requisito de ser *- invariantes : x ∈ I ⇒ x * ∈ I y así sucesivamente.
Los anillos * no están relacionados con los semirings de estrellas en la teoría de la computación.
*-álgebra
Un *-álgebra A es un *-anillo, [b] con involución * que es un álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo R con involución ′ , tal que ( r x )* = r ′ x * ∀ r ∈ R , x ∈ UN . [3]
El anillo base * R son a menudo los números complejos (con ′ actuando como conjugación compleja).
De los axiomas se deduce que * en A es lineal conjugado en R , es decir
- ( λ x + μ y )* = λ ′ x * + μ ′ y *
para λ , μ ∈ R , x , y ∈ A.
Un *-homomorfismo f : A → B es un homomorfismo de álgebra que es compatible con las involuciones de A y B , es decir,
- f ( a *) = f ( a )* para todo a en A . [2]
Filosofía de la operación *
La operación * en un anillo * es análoga a la conjugación compleja de números complejos. La operación * en un álgebra * es análoga a tomar adjuntos en álgebras matriciales complejas .
Notación
La involución * es una operación unaria escrita con un glifo de estrella postfijo centrado encima o cerca de la línea media :
- x ↦ x * , o
- x ↦ x ∗ ( TeX :
x^*
),
pero no como " x ∗ "; consulte el artículo sobre el asterisco para obtener más detalles.
Ejemplos
- Cualquier anillo conmutativo se convierte en un anillo * con la involución trivial ( idéntica ).
- El ejemplo más familiar de un anillo * y un álgebra * sobre reales es el campo de números complejos C donde * es simplemente conjugación compleja .
- De manera más general, una extensión de campo hecha mediante la adición de una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria √ −1 ) es un *-álgebra sobre el campo original, considerado como un trivialmente-*-anillo. El * invierte el signo de esa raíz cuadrada.
- Un anillo de entero cuadrático (para algunos D ) es un anillo * conmutativo con * definido de manera similar; Los campos cuadráticos son *-álgebras sobre anillos enteros cuadráticos apropiados.
- Los cuaterniones , los números complejos divididos , los números duales y posiblemente otros sistemas numéricos hipercomplejos forman anillos * (con su operación de conjugación incorporada) y álgebras * sobre reales (donde * es trivial). Ninguno de los tres es un álgebra compleja.
- Los cuaterniones de Hurwitz forman un anillo * no conmutativo con la conjugación de cuaterniones.
- El álgebra matricial de matrices n × n sobre R con * dado por la transposición .
- El álgebra matricial de matrices n × n sobre C con * dada por la transpuesta conjugada .
- Su generalización, el adjunto hermitiano en el álgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert, también define un *-álgebra.
- El anillo polinomial R [ x ] sobre un anillo conmutativo trivialmente * R es un *-álgebra sobre R con P *( x ) = P (− x ) .
- Si ( A , +, ×, *) es simultáneamente un anillo *, un álgebra sobre un anillo R (conmutativo), y ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , entonces A es un *-álgebra sobre R (donde * es trivial).
- Como caso parcial, cualquier *-ring es un *-álgebra sobre números enteros .
- Cualquier anillo * conmutativo es un álgebra * sobre sí mismo y, más generalmente, sobre cualquiera de sus subanillos *.
- Para un *-ring conmutativo R , su cociente por cualquiera de su *-ideal es un *-álgebra sobre R .
- Por ejemplo, cualquier anillo * trivialmente conmutativo es un álgebra * sobre su anillo de números duales , un anillo * con * no trivial , porque el cociente entre ε = 0 forma el anillo original.
- Lo mismo ocurre con un anillo conmutativo K y su anillo polinómico K [ x ] : el cociente entre x = 0 restaura K .
- En álgebra de Hecke , una involución es importante para el polinomio de Kazhdan-Lusztig .
- El anillo de endomorfismo de una curva elíptica se convierte en un *-álgebra sobre los números enteros, donde la involución viene dada tomando la isogenia dual . Una construcción similar funciona para las variedades abelianas con polarización , en cuyo caso se llama involución de Rosati (véanse las notas de la conferencia de Milne sobre las variedades abelianas).
Las álgebras involutivas de Hopf son ejemplos importantes de *-álgebras (con la estructura adicional de una comultiplicación compatible ); el ejemplo más familiar es:
Sin ejemplo
No todas las álgebras admiten una involución:
Considere las matrices de 2×2 sobre los números complejos. Considere la siguiente subálgebra:
Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma: [4]
De ello se deduce que cualquier antiautomorfismo no trivial no logra ser involutivo:
Concluyendo que la subálgebra no admite involución.
Estructuras adicionales
Muchas propiedades de la transpuesta son válidas para *-álgebras generales:
- Los elementos hermitianos forman un álgebra de Jordan ;
- Los elementos hermitianos sesgados forman un álgebra de Lie ;
- Si 2 es invertible en el anillo *, entonces los operadores1/2(1 + *) y1/2(1 − *) son idempotentes ortogonales , [2] llamados simetrizantes y antisimetrizantes , por lo que el álgebra se descompone como una suma directa de módulos ( espacios vectoriales si el anillo * es un campo) de simétricos y antisimétricos (hermitianos y sesgar elementos hermitianos). Estos espacios, generalmente, no forman álgebras asociativas, porque los idempotentes son operadores , no elementos del álgebra.
Estructuras sesgadas
Dado un anillo *, también existe el mapa −* : x ↦ − x * . No define una estructura *-anillo (a menos que la característica sea 2, en cuyo caso −* es idéntica a la original *), como 1 ↦ −1 , tampoco es antimultiplicativa, pero satisface los demás axiomas (lineal, involución ) y por tanto es bastante similar a *-álgebra donde x ↦ x * .
Los elementos fijados por este mapa (es decir, tales que a = − a * ) se denominan sesgado hermitiano .
Para los números complejos con conjugación compleja, los números reales son los elementos hermitianos y los números imaginarios son los elementos hermitianos sesgados.
Ver también
Notas
- ^ En este contexto, se entiende que involución significa un antiautomorfismo involutivo, también conocido como anti-involución .
- ^ La mayoría de las definiciones no requieren que un *-álgebra tenga la unidad , es decir, que un *-álgebra solo puede ser un *- rng .
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. (2015). "Álgebra C-Star". Wolfram MathWorld .
- ^ abc Báez, John (2015). "Octoniones". Departamento de Matemáticas . Universidad de California, Riverside. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2015 . Consultado el 27 de enero de 2015 .
- ^ álgebra de estrellas en el n Lab
- ^ Guiño, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). "Semigrupos, antiautomorfismos e involuciones: una solución informática a un problema abierto, I". Matemáticas de la Computación . 37 (156): 533–545. doi :10.2307/2007445. ISSN 0025-5718.