Entero cuadrático

Raíz de un polinomio cuadrático con un coeficiente principal unitario

En teoría de números , los números enteros cuadráticos son una generalización de los números enteros habituales a cuerpos cuadráticos . Los enteros cuadráticos son enteros algebraicos de grado dos, es decir, soluciones de ecuaciones de la forma

x ² + bx + c = 0

con números enteros b y c (habituales). Cuando se consideran números enteros algebraicos, los números enteros habituales suelen denominarse enteros racionales .

Ejemplos comunes de enteros cuadráticos son las raíces cuadradas de enteros racionales, como √ 2 , y el número complejo i = √ −1 , que genera los enteros gaussianos . Otro ejemplo común es la raíz cúbica no real de la unidad. −1 + √ −3/2, que genera los enteros de Eisenstein .

Los enteros cuadráticos aparecen en las soluciones de muchas ecuaciones diofánticas , como las ecuaciones de Pell , y otras cuestiones relacionadas con formas cuadráticas integrales . El estudio de los anillos de números enteros cuadráticos es básico para muchas cuestiones de la teoría algebraica de números .

Historia

Los matemáticos indios medievales ya habían descubierto una multiplicación de números enteros cuadráticos del mismo D , lo que les permitió resolver algunos casos de la ecuación de Pell . ^{[ cita necesaria ]}

La caracterización dada en § Representación explícita de los números enteros cuadráticos fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871. ^{[1] [2]}

Definición

Un número entero cuadrático es un número entero algebraico de grado dos. Más explícitamente, es un número complejo , que resuelve una ecuación de la forma x ² + bx + c = 0 , con b y c enteros . Cada entero cuadrático que no es un número entero no es racional (es decir, es un número irracional real si b ² − 4 c > 0 y no real si b ² − 4 c < 0 ) y se encuentra en un campo cuadrático determinado de forma única , el extensión de generada por la raíz cuadrada del único entero libre de cuadrados D que satisface b ² − 4 c = De ² para algún entero e . Si D es positivo, el número entero cuadrático es real. Si D < 0 , es imaginario (es decir, complejo y no real). ${\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Los números enteros cuadráticos (incluidos los números enteros ordinarios) que pertenecen a un campo cuadrático forman un dominio integral llamado anillo de números enteros de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

Aunque los números enteros cuadráticos que pertenecen a un campo cuadrático dado forman un anillo , el conjunto de todos los números enteros cuadráticos no es un anillo porque no está cerrado bajo suma o multiplicación. Por ejemplo, y son números enteros cuadráticos, pero y no lo son, ya que sus polinomios mínimos tienen grado cuatro. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Representación explícita

Aquí y en lo que sigue, los números enteros cuadráticos que se consideran pertenecen a un cuerpo cuadrático donde D es un número entero libre de cuadrados. Esto no restringe la generalidad, ya que la igualdad √ a ² D = a √ D (para cualquier entero positivo a ) implica ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),}$  ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

Un elemento x de es un entero cuadrático si y sólo si hay dos números enteros a y b tales que ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

o, si D  − 1 es múltiplo de 4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$con a y b ambos impares

En otras palabras, cada entero cuadrático se puede escribir a + ωb  , donde a y  b son números enteros, y donde ω se define por

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(como se supone que D no tiene cuadrados, el caso es imposible, ya que implicaría que D es divisible por el cuadrado 4). ^[3] ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

Norma y conjugación

Se puede escribir un número entero cuadrático ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

a + b √ re ,

donde a y  b son ambos números enteros o, solo si D ≡ 1 (mod 4) , ambas mitades de números enteros impares . La norma de tal número entero cuadrático es

norte  ( una + segundo √ re  ) = una ² - reb ² .

La norma de un número entero cuadrático es siempre un número entero. Si D < 0 , la norma de un entero cuadrático es el cuadrado de su valor absoluto como número complejo (esto es falso si D > 0 ). La norma es una función completamente multiplicativa , lo que significa que la norma de un producto de números enteros cuadráticos es siempre el producto de sus normas.

Todo entero cuadrático a + b √ D tiene un conjugado

${\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}$

Un entero cuadrático tiene la misma norma que su conjugado, y esta norma es el producto del entero cuadrático y su conjugado. El conjugado de una suma o un producto de números enteros cuadráticos es la suma o el producto (respectivamente) de los conjugados. Esto significa que la conjugación es un automorfismo del anillo de los números enteros de ; consulte § Anillos de enteros cuadráticos , a continuación. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

Anillos enteros cuadráticos

Cada entero libre de cuadrados (distinto de 0 y 1) D define un anillo de enteros cuadráticos , que es el dominio integral formado por los enteros algebraicos contenidos en Es el conjunto Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, donde si D = 4 k + 1 , y ω = √ D en caso contrario. A menudo se denota porque es el anillo de números enteros de , que es la clausura integral de Z en El anillo Z [ ω ] consta de todas las raíces de todas las ecuaciones x ² + Bx + C = 0 cuyo discriminante B ² − 4 C es el producto de D por el cuadrado de un número entero. En particular √ D pertenece a Z [ ω ] , siendo raíz de la ecuación x ² − D = 0 , que tiene 4 D como discriminante. ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$  ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

La raíz cuadrada de cualquier número entero es un número entero cuadrático, ya que cada número entero se puede escribir n = m ² D , donde D es un número entero libre de cuadrados y su raíz cuadrada es una raíz de x ² − m ² D = 0 .

El teorema fundamental de la aritmética no se cumple en muchos anillos de números enteros cuadráticos. Sin embargo, existe una factorización única para los ideales , que se expresa por el hecho de que cada anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Dedekind . Al ser los ejemplos más simples de números enteros algebraicos, los números enteros cuadráticos suelen ser los ejemplos iniciales de la mayoría de los estudios de teoría algebraica de números . ^[4]

Los anillos de enteros cuadráticos se dividen en dos clases según el signo de D. Si D > 0 , todos los elementos de son reales y el anillo es un anillo entero cuadrático real . Si D < 0 , los únicos elementos reales de son los números enteros ordinarios, y el anillo es un anillo de enteros cuadrático complejo . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

Para anillos enteros cuadráticos reales, el número de clase (que mide el fallo de la factorización única) se proporciona en OEIS A003649; para el caso imaginario, se dan en OEIS A000924.

Unidades

Un entero cuadrático es una unidad en el anillo de los números enteros de si y sólo si su norma es 1 o −1 . En el primer caso su inverso multiplicativo es su conjugado. Es la negación de su conjugado en el segundo caso. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

Si D < 0 , el anillo de los números enteros de tiene como máximo seis unidades. En el caso de los enteros gaussianos ( D = −1 ), las cuatro unidades son 1, −1, √ −1 , − √ −1 . En el caso de los enteros de Eisenstein ( D = −3 ), las seis unidades son ±1, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$±1 ± √ −3/2. Para todos los demás D negativos , solo hay dos unidades, que son 1 y −1 .

Si D > 0 , el anillo de los números enteros de tiene infinitas unidades que son iguales a ±  u ⁱ , donde i es un número entero arbitrario y u es una unidad particular llamada unidad fundamental . Dada una unidad fundamental u , existen otras tres unidades fundamentales, su conjugado y también y Comúnmente, se llama " unidad fundamental" a la única que tiene un valor absoluto mayor que 1 (como número real). Es la única unidad fundamental que puede escribirse como a + b √ D , con a y b positivos (enteros o mitades de números enteros). ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle {\overline {u}},}$ ${\displaystyle -u}$ ${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Las unidades fundamentales para los 10 D libres de cuadrados positivos más pequeños son 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(la proporción áurea ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Para D mayor , los coeficientes de la unidad fundamental pueden ser muy grandes. Por ejemplo, para D = 19, 31, 43 , las unidades fundamentales son respectivamente 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 y 3482 + 531 √ 43 .

Ejemplos de anillos enteros cuadráticos complejos

Enteros gaussianos

primos de eisenstein

Para D  <0, ω es un número complejo ( imaginario o no real). Por lo tanto, es natural tratar un anillo de enteros cuadráticos como un conjunto de números complejos algebraicos .

• Un ejemplo clásico son los enteros gaussianos , que fueron introducidos por Carl Gauss alrededor de 1800 para establecer su ley de reciprocidad bicuadrática. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]}$
• Los elementos de se llaman enteros de Eisenstein . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$

Ambos anillos mencionados anteriormente son anillos de números enteros de campos ciclotómicos Q ( ζ ₄ ) y Q ( ζ ₃ ) respectivamente. Por el contrario, Z [ √ −3 ] ni siquiera es un dominio de Dedekind .

Los dos ejemplos anteriores son anillos ideales principales y también dominios euclidianos de la norma. Este no es el caso para

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],}$

que ni siquiera es un dominio de factorización único . Esto se puede demostrar de la siguiente manera.

en tenemos ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Los factores 3, y son irreducibles , ya que todos tienen norma de 9, y si no fueran irreducibles tendrían factor de norma 3, lo cual es imposible, siendo la norma de un elemento distinto de ±1 al menos 4 Por tanto, la factorización de 9 en factores irreducibles no es única. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

Los ideales y no son principales , ya que un simple cálculo muestra que su producto es el ideal generado por 3 y, si fueran principales, esto implicaría que 3 no sería irreducible. ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle }$ ${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle }$

Ejemplos de anillos enteros cuadráticos reales

Poderes de la proporción áurea

Para D > 0 , ω es un número real irracional positivo , y el anillo entero cuadrático correspondiente es un conjunto de números reales algebraicos. Las soluciones de la ecuación de Pell X ² − DY ² = 1 , una ecuación diofántica que ha sido ampliamente estudiada, son las unidades de estos anillos, para D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Para D = 5 , ω =1 + √5/2es la proporción áurea . Este anillo fue estudiado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Sus unidades tienen la forma ± ω ⁿ , donde n es un número entero arbitrario. Este anillo también surge del estudio de la simetría rotacional quíntuple en el plano euclidiano, por ejemplo, los mosaicos de Penrose . ^[6]
• El matemático indio Brahmagupta trató la ecuación de Pell X ² − 61 Y ² = 1 , correspondiente al anillo Z [ √ 61 ] . Algunos resultados fueron presentados a la comunidad europea por Pierre Fermat en 1657. ^{[ ¿cuál? ]}

Anillos principales de números enteros cuadráticos

La propiedad de factorización única no siempre se verifica para anillos de números enteros cuadráticos, como se vio arriba para el caso de Z [ √ −5 ] . Sin embargo, como ocurre con todo dominio de Dedekind , un anillo de enteros cuadráticos es un dominio de factorización único si y sólo si es un dominio ideal principal . Esto ocurre si y sólo si el número de clase del campo cuadrático correspondiente es uno.

Los anillos imaginarios de números enteros cuadráticos que son anillos ideales principales han sido completamente determinados. Estos son para ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

re = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y demostrado por Kurt Heegner , aunque no se creyó en la prueba de Heegner hasta que Harold Stark dio una prueba posterior en 1967 (véase el teorema de Stark-Heegner ). Este es un caso especial del famoso problema del número de clase .

Hay muchos enteros positivos conocidos D > 0 , para los cuales el anillo de enteros cuadráticos es un anillo ideal principal. Sin embargo, se desconoce la lista completa; Ni siquiera se sabe si el número de estos anillos ideales principales es finito o no.

Anillos euclidianos de números enteros cuadráticos

Cuando un anillo de enteros cuadráticos es un dominio ideal principal, es interesante saber si se trata de un dominio euclidiano . Este problema se ha resuelto completamente de la siguiente manera.

Equipado con la norma como función euclidiana , es un dominio euclidiano para D negativo cuando ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

re = −1, −2, −3, −7, −11 , ^[7]

y, para D positivo , cuando

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en el OEIS ).

No existe ningún otro anillo de enteros cuadráticos que sea euclidiano con la norma como función euclidiana. ^{[8] Para} D negativo , un anillo de enteros cuadráticos es euclidiano si y sólo si la norma es una función euclidiana para él. De ello se deduce que, para

re = −19, −43, −67, −163 ,

los cuatro anillos correspondientes de números enteros cuadráticos se encuentran entre los raros ejemplos conocidos de dominios ideales principales que no son dominios euclidianos.

Por otro lado, la hipótesis generalizada de Riemann implica que un anillo de enteros cuadráticos reales que es un dominio ideal principal es también un dominio euclidiano para alguna función euclidiana, que de hecho puede diferir de la norma habitual. ^[9] Los valores D = 14, 69 fueron los primeros para los cuales se demostró que el anillo de números enteros cuadráticos era euclidiano, pero no euclidiano de norma. ^{[10] [11]}

Notas

1. Dedekind 1871, Suplemento X, p. 447
2. Bourbaki 1994, pag. 99
3. "¿Por qué el anillo de enteros cuadráticos se define de esa manera?". math.stackexchange.com . Consultado el 31 de diciembre de 2016 .
4. Artín, capítulo 13
5. Dummit y Foote 2004, pág. 229
6. de Bruijn 1981
7. Dummit y Foote 2004, pág. 272
8. LeVeque 2002, págs.II:57, 81
9. P. Weinberger, Sobre los anillos euclidianos de números enteros algebraicos . En: Teoría analítica de números (St. Louis, 1972), Proc. Simposios. Matemática pura. 24 (1973), 321–332.
10. Harper 2004
11. Clark 1994

Referencias

• Artin, M, Álgebra (2ª ed.)
• Bourbaki, Nicolás (1994). Elementos de la historia de las matemáticas . Traducido por Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. SEÑOR  1290116.
• Clark, David A. (1994), "Un campo cuadrático que es euclidiano pero no euclidiano normativo" (PDF) , Manuscripta Mathematica , 83 : 327–330, doi :10.1007/BF02567617, archivado desde el original (PDF) en 2015 -01-29
• de Bruijn, NG (1981), "Teoría algebraica de los mosaicos no periódicos del plano de Penrose, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2ª ed.), Vieweg , consultado el 5 de agosto de 2009
• Tonto, DS; Foote, RM (2004), Álgebra abstracta (3ª ed.)
• Harper, M. (2004), " es euclidiana ", Can. J. Matemáticas. 56 , 56 : 55–70, doi : 10.4153/CJM-2004-003-9 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]}$
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II. Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl  1009.11001.

Otras lecturas

• JS Milne. Teoría algebraica de números , versión 3.01, 28 de septiembre de 2008. notas de conferencias en línea