álgebra de hopf

Construcción en álgebra

En matemáticas , un álgebra de Hopf , que lleva el nombre de Heinz Hopf , es una estructura que es simultáneamente un álgebra (asociativa unital ) y una coalgebra (coasociativa counital) , siendo la compatibilidad de estas estructuras una biálgebra , y que además está equipada con un antihomomorfismo. satisfaciendo una determinada propiedad. La teoría de la representación de un álgebra de Hopf es particularmente interesante, ya que la existencia de comultiplicación, unidad y antípoda compatibles permite la construcción de productos tensoriales de representaciones, representaciones triviales y representaciones duales.

Las álgebras de Hopf ocurren naturalmente en la topología algebraica , donde se originaron y están relacionadas con el concepto de espacio H , en la teoría de esquemas de grupos , en la teoría de grupos (a través del concepto de anillo de grupo ) y en muchos otros lugares, lo que las convierte probablemente en las más tipo familiar de bialgebra . Las álgebras de Hopf también se estudian por derecho propio, con mucho trabajo sobre clases específicas de ejemplos, por un lado, y problemas de clasificación, por el otro. Tienen diversas aplicaciones que van desde la física de la materia condensada y la teoría cuántica de campos ^[1] hasta la teoría de cuerdas ^[2] y la fenomenología del LHC . ^[3]

Definicion formal

Formalmente, un álgebra de Hopf es una biálgebra H (asociativa y coasociativa) sobre un campo K junto con un mapa lineal K S : H → H (llamado antípoda ) tal que el siguiente diagrama conmuta :

Aquí Δ es la comultiplicación de la biálgebra, ∇ su multiplicación, η su unidad y ε su unidad. En la notación de Sweedler sin suma , esta propiedad también se puede expresar como

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.}$

En cuanto a las álgebras , se puede reemplazar el campo subyacente K con un anillo conmutativo R en la definición anterior. ^[4]

La definición de álgebra de Hopf es autodual (como se refleja en la simetría del diagrama anterior), por lo que si se puede definir un dual de H (lo cual siempre es posible si H es de dimensión finita), entonces automáticamente es un álgebra de Hopf. . ^[5]

Constantes de estructura

Al fijar una base para el espacio vectorial subyacente, se puede definir el álgebra en términos de constantes estructurales para la multiplicación: ${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

para co-multiplicación:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

y la antípoda:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

La asociatividad requiere entonces que

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

mientras que la coasociatividad requiere que

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

El axioma conector requiere que

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}}$

Propiedades de la antípoda

A veces se requiere que la antípoda S tenga una inversa K -lineal, lo cual es automático en el caso de dimensión finita ^{[ se necesita aclaración ]} , o si H es conmutativo o cocommutativo (o más generalmente cuasitriangular ).

En general, S es un antihomomorfismo , ^[6] por lo que S ² es un homomorfismo , que por lo tanto es un automorfismo si S fuera invertible (como puede ser necesario).

Si S ² = id _H , entonces se dice que el álgebra de Hopf es involutiva (y el álgebra subyacente con involución es un *-álgebra ). Si H es semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero, conmutativo o coconmutativo, entonces es involutivo.

Si una biálgebra B admite una antípoda S , entonces S es única ("una biálgebra admite como máximo 1 estructura de álgebra de Hopf"). ^[7] Por lo tanto, la antípoda no plantea ninguna estructura adicional que podamos elegir: ser un álgebra de Hopf es una propiedad de una biálgebra.

La antípoda es análoga al mapa de inversión en un grupo que envía g a g ⁻¹ . ^[8]

subálgebras de hopf

Una subálgebra A de un álgebra de Hopf H es una subálgebra de Hopf si es una subálgebra de H y la antípoda S asigna A a A. En otras palabras, una subálgebra A de Hopf es un álgebra de Hopf por derecho propio cuando la multiplicación, comultiplicación, unidad y antípoda de H están restringidas a A (y además se requiere que la identidad 1 de H esté en A). El teorema de libertad de Nichols-Zoeller de Warren Nichols y Bettina Zoeller (1989) estableció que el módulo A natural H está libre de rango finito si H es de dimensión finita: una generalización del teorema de Lagrange para subgrupos . ^[9] Como corolario de esta teoría y de la integral, una subálgebra de Hopf de un álgebra de Hopf semisimple de dimensión finita es automáticamente semisimple.

Se dice que una subálgebra A de Hopf es normal derecha en un álgebra H de Hopf si satisface la condición de estabilidad, ad _r ( h )( A ) ⊆ A para todo h en H , donde el mapeo adjunto derecho ad _r está definido por ad _r ( h )( a ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎ para todo a en A , h en H . De manera similar, una subálgebra A de Hopf se deja normal en H si es estable bajo el mapeo adjunto izquierdo definido por ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h ₍₂₎ ). Las dos condiciones de normalidad son equivalentes si la antípoda S es biyectiva, en cuyo caso se dice que A es una subálgebra de Hopf normal.

Una subálgebra de Hopf normal A en H satisface la condición (de igualdad de subconjuntos de H): HA + ⁼ A + ^H donde A + ^denota el núcleo de la unidad en A. Esta condición de normalidad implica que HA ⁺ es un ideal de Hopf de H (es decir, un ideal de álgebra en el núcleo de la unidad, una coalgebra coideal y estable bajo la antípoda). Como consecuencia se tiene un álgebra de Hopf cociente H / HA ⁺ y un epimorfismo H → H / A ⁺ H , una teoría análoga a la de los subgrupos normales y los grupos cocientes en la teoría de grupos . ^[10]

Órdenes de Hopf

Un orden de Hopf O sobre un dominio integral R con campo de fracciones K es un orden en un álgebra de Hopf H sobre K que está cerrado bajo las operaciones de álgebra y coalgebra : en particular, la comultiplicación Δ asigna O a O ⊗ O. ^[11]

Elementos tipo grupo

Un elemento tipo grupo es un elemento x distinto de cero tal que Δ( x ) = x ⊗ x . Los elementos en forma de grupo forman un grupo con la inversa dada por la antípoda. ^[12] Un elemento primitivo x satisface Δ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x . ^{[13] [14]}

Ejemplos

Tenga en cuenta que las funciones en un grupo finito se pueden identificar con el anillo de grupo, aunque es más natural pensar que son duales: el anillo de grupo consta de sumas finitas de elementos y, por lo tanto, se empareja con funciones en el grupo al evaluar la función en la suma. elementos.

Cohomología de grupos de Lie

El álgebra de cohomología (sobre un campo ) de un grupo de Lie es un álgebra de Hopf: la multiplicación la proporciona el producto de copa y la comultiplicación ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}$

por la multiplicación del grupo . Esta observación fue en realidad una fuente de la noción de álgebra de Hopf. Utilizando esta estructura, Hopf demostró un teorema de estructura para el álgebra de cohomología de grupos de Lie. ${\displaystyle G\times G\to G}$

Teorema (Hopf) ^[18] Sea un álgebra de Hopf de dimensión finita, conmutativa graduada y cocommutativa graduada sobre un campo de característica 0. Entonces (como álgebra) es un álgebra exterior libre con generadores de grado impar. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Grupos cuánticos y geometría no conmutativa.

La mayoría de los ejemplos anteriores son conmutativos (es decir, la multiplicación es conmutativa ) o coconmutativos (es decir, ^[19] Δ = T ∘ Δ donde el mapa de torsión ^[20] T : H ⊗ H → H ⊗ H está definido por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ). Otras álgebras de Hopf interesantes son ciertas "deformaciones" o " cuantizaciones " de las del ejemplo 3 que no son ni conmutativas ni co-commutativas. Estas álgebras de Hopf a menudo se denominan grupos cuánticos , un término que hasta ahora sólo está definido de manera vaga. Son importantes en geometría no conmutativa , siendo la idea la siguiente: un grupo algebraico estándar está bien descrito por su álgebra de funciones regulares de Hopf estándar; Entonces podemos pensar que la versión deformada de este álgebra de Hopf describe un determinado grupo algebraico "no estándar" o "cuantizado" (que no es un grupo algebraico en absoluto). Si bien no parece haber una forma directa de definir o manipular estos objetos no estándar, todavía se puede trabajar con sus álgebras de Hopf y, de hecho, se los identifica con sus álgebras de Hopf. De ahí el nombre de "grupo cuántico".

Teoría de la representación

Sea A un álgebra de Hopf y sean M y N A -módulos. Entonces, M ⊗ N también es un módulo A , con

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}$

para m ∈ M , n ∈ N y Δ( a ) = ( a ₁ , a ₂ ). Además, podemos definir la representación trivial como el campo base K con

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

para metro ∈ K . Finalmente, se puede definir la representación dual de A : si M es un módulo A y M* es su espacio dual, entonces

${\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}$

donde f ∈ M* y m ∈ M .

La relación entre Δ, ε y S asegura que ciertos homomorfismos naturales de espacios vectoriales sean de hecho homomorfismos de A -módulos. Por ejemplo, los isomorfismos naturales de espacios vectoriales M → M ⊗ K y M → K ⊗ M también son isomorfismos de A -módulos. Además, el mapa de espacios vectoriales M* ⊗ M → K con f ⊗ m → f ( m ) también es un homomorfismo de A -módulos. Sin embargo, el mapa M ⊗ M* → K no es necesariamente un homomorfismo de A -módulos.

Conceptos relacionados

Las álgebras de Hopf graduadas se utilizan a menudo en topología algebraica : son la estructura algebraica natural de la suma directa de todos los grupos de homología o cohomología de un espacio H.

Los grupos cuánticos localmente compactos generalizan las álgebras de Hopf y llevan una topología . El álgebra de todas las funciones continuas en un grupo de Lie es un grupo cuántico localmente compacto.

Las álgebras cuasi-Hopf son generalizaciones de las álgebras de Hopf, donde la coasociatividad solo se mantiene hasta un giro. Se han utilizado en el estudio de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . ^[21]

Las álgebras multiplicadoras de Hopf introducidas por Alfons Van Daele en 1994 ^[22] son ​​generalizaciones de las álgebras de Hopf donde la comultiplicación de un álgebra (con o sin unidad) al álgebra multiplicadora del álgebra producto tensorial del álgebra consigo misma.

Las (co)álgebras de grupo de Hopf introducidas por VG Turaev en 2000 también son generalizaciones de las álgebras de Hopf.

Álgebras de Hopf débiles

Las álgebras de Hopf débiles , o grupoides cuánticos, son generalizaciones de las álgebras de Hopf. Al igual que las álgebras de Hopf, las álgebras de Hopf débiles forman una clase de álgebras autoduales; es decir, si H es un álgebra de Hopf (débil), también lo es H *, el espacio dual de formas lineales en H (con respecto a la estructura álgebra-álgebra obtenida del emparejamiento natural con H y su estructura carbongebra-álgebra). Un álgebra H de Hopf débil generalmente se considera una

• álgebra y coalgebra de dimensión finita con coproducto Δ: H → H ⊗ H y cuenta ε: H → k que satisfacen todos los axiomas del álgebra de Hopf excepto posiblemente Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 o ε( ab ) ≠ ε( a )ε ( b ) para algunos a,b en H . En cambio, se requiere lo siguiente:

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}$

para todos a , b y c en H .

• H tiene una antípoda debilitada S : H → H que satisface los axiomas:

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$para todo a en H (el lado derecho es la proyección interesante generalmente denotada por Π ^R ( a ) o ε _s ( a ) con imagen de una subálgebra separable denotada por H ^R o H _s );
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$para todo a en H (otra proyección interesante generalmente denotada por Π ^R ( a ) o ε _t ( a ) con imagen de un álgebra separable H ^L o H _t , antiisomorfa a H ^L vía S );
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$para todo a en H .

Tenga en cuenta que si Δ(1) = 1 ⊗ 1, estas condiciones se reducen a las dos condiciones habituales en la antípoda de un álgebra de Hopf.

Los axiomas se eligen en parte de modo que la categoría de módulos H sea una categoría monoidal rígida . La unidad H -módulo es el álgebra separable H ^L mencionada anteriormente.

Por ejemplo, un álgebra grupoide finita es un álgebra de Hopf débil. En particular, el álgebra grupoide en [n] con un par de flechas invertibles e _ij y e _ji entre i y j en [ n ] es isomorfa al álgebra H de matrices n x n . La estructura débil del álgebra de Hopf en este H particular está dada por el coproducto Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , cuenta ε( e _ij ) = 1 y antípoda S ( e _ij ) = e _ji . Las subálgebras separables H ^L y H ^R coinciden y son álgebras conmutativas no centrales en este caso particular (la subálgebra de matrices diagonales).

Las primeras contribuciones teóricas a las álgebras de Hopf débiles se encuentran en ^[23] y ^[24].

algebroides de hopf

Ver algebroide de Hopf

Analogía con grupos

Los grupos se pueden axiomatizar mediante los mismos diagramas (equivalentemente, operaciones) que el álgebra de Hopf, donde G se considera un conjunto en lugar de un módulo. En este caso:

• el campo K se reemplaza por el conjunto de 1 punto
• hay una unidad natural (mapa a 1 punto)
• hay una comultiplicación natural (la aplicación diagonal)
• la unidad es el elemento de identidad del grupo
• la multiplicación es la multiplicación en el grupo
• la antípoda es la inversa

En esta filosofía, un grupo puede considerarse como un álgebra de Hopf sobre el " campo con un elemento ". ^[25]

Álgebras de Hopf en categorías monoidales trenzadas

La definición del álgebra de Hopf se extiende naturalmente a categorías monoidales trenzadas arbitrarias . ^{[26] [27]} Un álgebra de Hopf en tal categoría es un séxtuplo donde hay un objeto en y ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$(multiplicación),

${\displaystyle \eta :I\to H}$(unidad),

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$(comultiplicación),

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$(unidad),

${\displaystyle S:H\to H}$(antípoda)

- son morfismos tales que ${\displaystyle C}$

1) el triple es un monoide en la categoría monoide , es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: ^[b] ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) el triple es un comonoide en la categoría monoide , es decir, los siguientes diagramas son conmutativos: ^[b] ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) las estructuras de monoide y comonoide son compatibles: la multiplicación y la unidad son morfismos de comonoides, y (esto es equivalente en esta situación) al mismo tiempo la comultiplicación y la unidad son morfismos de monoides; esto significa que los siguientes diagramas deben ser conmutativos: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

donde está el morfismo de unidad izquierda en y la transformación natural de functores que es única en la clase de transformaciones naturales de functores compuestas a partir de transformaciones estructurales (asociatividad, unidades izquierda y derecha, transposición y sus inversas) en la categoría . ${\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}$ ${\displaystyle C}$

La quíntuple con las propiedades 1),2),3) se llama biálgebra en la categoría ; ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) el diagrama de antípoda es conmutativo:

Los ejemplos típicos son los siguientes.

• Grupos . En la categoría monoidal de conjuntos (con el producto cartesiano como producto tensorial y un tono único arbitrario, digamos, como objeto unitario), una terna es un monoide en el sentido categórico si y sólo si es un monoide en el lenguaje algebraico habitual. sentido , es decir, si las operaciones y se comportan como la multiplicación habitual y la unidad en (pero posiblemente sin la invertibilidad de los elementos ). Al mismo tiempo, un triple es un comonoide en el sentido categórico si y así es la operación diagonal (y la operación también se define de forma única :). Y cualquier estructura de comonoide es compatible con cualquier estructura de monoide en el sentido de que los diagramas de la sección 3 de la definición siempre conmutan. Como corolario, cada monoide en puede considerarse naturalmente como una bialgebra en y viceversa. La existencia de la antípoda para tal bialgebra significa exactamente que cada elemento tiene un elemento inverso con respecto a la multiplicación . Por tanto, en la categoría de conjuntos, las álgebras de Hopf son exactamente grupos en el sentido algebraico habitual. ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle \eta (1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle S:H\to H}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle x^{-1}\in H}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• Álgebras clásicas de Hopf . En el caso especial cuando es la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado , las álgebras de Hopf son exactamente las álgebras de Hopf clásicas descritas anteriormente. ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$
• Álgebras funcionales sobre grupos . Las álgebras funcionales estándar , ( de funciones continuas, suaves, holomorfas y regulares) en grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste , ) de espacios estereotipados , ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ ${\displaystyle \odot }$
• Álgebras de grupo . Las álgebras de grupos de estereotipos , ( de medidas, distribuciones, funcionales analíticos y corrientes) en grupos son álgebras de Hopf en la categoría ( Ste , ) de espacios de estereotipos . ^[28] Estas álgebras de Hopf se utilizan en las teorías de dualidad para grupos no conmutativos . ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle \circledast }$

Ver también

• Álgebra de Hopf cuasitriangular
• Álgebra/analogía de conjuntos
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf.
• Álgebra de Hopf de cinta
• Superálgebra
• Supergrupo
• Álgebra de mentira anyónica
• Álgebra de Hopf de Sweedler
• Álgebra de permutaciones de Hopf
• Teorema de Milnor-Moore

notas y referencias

Notas

1. La finitud de G implica que K ^G ⊗ K ^G es naturalmente isomorfo a K ^{G x G} . Esto se utiliza en la fórmula anterior para la comultiplicación. Para grupos infinitos G , KG ⊗ K ^{G es un subconjunto} propio de KG ^{x G} . En este caso el espacio de funciones con soporte finito se puede dotar de una estructura de álgebra de Hopf.
2. Aquí están las transformaciones naturales de la asociatividad y de las unidades izquierda y derecha en la categoría monoide . ${\displaystyle \alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)}$ ${\displaystyle \lambda _{H}:I\otimes H\to H}$ ${\displaystyle \rho _{H}:H\otimes I\to H}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

Citas

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Referencias

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