anillo baer

En álgebra abstracta y análisis funcional , los anillos de Baer , ​​los anillos de Baer * , los anillos de Rickart , los anillos de Rickart y las álgebras AW* son varios intentos de dar un análogo algebraico de las álgebras de von Neumann , utilizando axiomas sobre aniquiladores de varios conjuntos.

Cualquier álgebra de von Neumann es un anillo de Baer *, y gran parte de la teoría de las proyecciones en las álgebras de von Neumann se puede extender a todos los anillos de Baer *. Por ejemplo, los anillos de Baer * se pueden dividir en los tipos I, II y III. de la misma manera que las álgebras de von Neumann.

En la literatura, los anillos Rickart izquierdos también se denominan anillos PP izquierdos . ("Principal implica proyectivo": consulte las definiciones a continuación).

Definiciones

• Un elemento idempotente de un anillo es un elemento e que tiene la propiedad de que e ² = e .
• El aniquilador izquierdo de un conjunto es ${\displaystyle X\subseteq R}$ ${\displaystyle \{r\in R\mid rX=\{0\}\}}$
• Un anillo Rickart (izquierda) es un anillo que cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

1. el aniquilador izquierdo de cualquier elemento individual de R es generado (como ideal de izquierda) por un elemento idempotente.
2. ( Para anillos unitarios) el aniquilador izquierdo de cualquier elemento es una suma directa de R.
3. Todos los ideales principales de izquierda (ideales de la forma Rx ) son módulos R proyectivos . ^[1]

• Un anillo Baer tiene las siguientes definiciones:

1. El aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto de R es generado (como ideal de izquierda) por un elemento idempotente.
2. (Para anillos unitarios) El aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto de R es una suma directa de R . ^[2] Para anillos unitarios, reemplazar todas las apariciones de 'izquierda' por 'derecha' produce una definición equivalente, es decir, la definición es simétrica izquierda-derecha. ^[3]

En la teoría del operador, las definiciones se refuerzan ligeramente al exigir que el anillo R tenga una involución . Dado que esto hace que R sea isomorfo a su anillo opuesto R ^op , la definición de Rickart *-ring es simétrica de izquierda a derecha. ${\displaystyle *:R\rightarrow R}$

• Una proyección en un anillo * es una p idempotente que es autoadjunta ( p * = p ).
• Un anillo * de Rickart es un anillo * tal que el aniquilador izquierdo de cualquier elemento se genera (como un ideal izquierdo) mediante una proyección.
• Un anillo * de Baer es un anillo * tal que el aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto se genera (como un ideal izquierdo) mediante una proyección.
• Un álgebra AW* , introducida por Kaplansky (1951), es un álgebra C* que también es un anillo de Baer *.

Ejemplos

• Dado que los principales ideales de izquierda de un anillo hereditario izquierdo o un anillo semihereditario izquierdo son proyectivos, está claro que ambos tipos son anillos de Rickart izquierdos. Esto incluye los anillos regulares de von Neumann , que son semihereditarios a izquierda y derecha. Si un anillo regular de von Neumann R también es autoinyectivo derecho o izquierdo , entonces R es Baer.
• Cualquier anillo semisimple es Baer, ​​ya que todos los ideales izquierdo y derecho son sumandos en R , incluidos los aniquiladores.
• Cualquier dominio es Baer, ​​ya que todos los aniquiladores lo son excepto el aniquilador de 0, que es R , y ambos y R son sumandos de R. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$
• El anillo de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert es un anillo de Baer y también es un anillo de Baer * con la involución * dada por el adjunto.
• Las álgebras de von Neumann son ejemplos de todos los diferentes tipos de anillos anteriores.

Propiedades

Los salientes en un anillo de Rickart * forman una red , que está completa si el anillo es un anillo de Baer *.

Ver también

• Baer *-semigrupo

Notas

1. Los anillos de Rickart llevan el nombre de Rickart (1946), quien estudió una propiedad similar en álgebras de operadores. Esta condición de "principal implica proyectiva" es la razón por la que los anillos de Rickart a veces se denominan anillos de PP. (Lam 1999)
2. Esta condición fue estudiada por Reinhold Baer  (1952).
3. TY Lam (1999), "Conferencias sobre módulos y anillos" ISBN  0-387-98428-3 págs.260

Referencias

• Baer, ​​Reinhold (1952), Álgebra lineal y geometría proyectiva, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-486-44565-6, señor  0052795
• Berberian, Sterling K. (1972), Baer *-rings, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 195, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05751-2, señor  0429975
• Kaplansky, Irving (1951), "Projections in Banach álgebras", Annals of Mathematics , segunda serie, 53 (2): 235–249, doi :10.2307/1969540, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969540, SEÑOR  0042067
• Kaplansky, I. (1968), Anillos de operadores, Nueva York: WA Benjamin, Inc.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Rickart, CE (1946), "Álgebras de Banach con una operación adjunta", Annals of Mathematics , Second Series, 47 (3): 528–550, doi :10.2307/1969091, JSTOR  1969091, MR  0017474
• LA Skornyakov (2001) [1994], "Anillo regular (en el sentido de von Neumann)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• LA Skornyakov (2001) [1994], "Rickart ring", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• JDM Wright (2001) [1994], "AW* álgebra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press