Número piramidal cuadrado

Número de esferas apiladas en una pirámide

Representación geométrica del número piramidal cuadrado 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

En matemáticas, un número piramidal , o número piramidal cuadrado , es un número natural que cuenta las esferas apiladas en una pirámide con una base cuadrada. El estudio de estos números se remonta a Arquímedes y Fibonacci . Forman parte de un tema más amplio de números figurados que representan la cantidad de puntos que forman patrones regulares dentro de diferentes formas.

Además de contar esferas en una pirámide, estos números se pueden describir algebraicamente como una suma de los primeros números cuadrados positivos o como los valores de un polinomio cúbico . Se pueden usar para resolver varios otros problemas de conteo, incluido el conteo de cuadrados en una cuadrícula y el conteo de triángulos agudos formados a partir de los vértices de un polígono regular impar. Son iguales a las sumas de números tetraédricos consecutivos y son un cuarto de un número tetraédrico mayor. La suma de dos números piramidales cuadrados consecutivos es un número octaédrico . ${\displaystyle n}$

Historia

Los números piramidales fueron uno de los pocos tipos de números figurados tridimensionales estudiados en las matemáticas griegas , en obras de Nicómaco , Teón de Esmirna y Jámblico . ^[1] Las fórmulas para sumar cuadrados consecutivos para dar un polinomio cúbico, cuyos valores son los números piramidales cuadrados, son dadas por Arquímedes , quien usó esta suma como un lema como parte de un estudio del volumen de un cono , ^[2] y por Fibonacci , como parte de una solución más general al problema de encontrar fórmulas para sumas de progresiones de cuadrados. ^[3] Los números piramidales cuadrados también fueron una de las familias de números figurados estudiados por los matemáticos japoneses del período wasan, quienes los llamaron "kirei saijō suida" (con kanji moderno , 奇零 再乗 蓑深). ^[4]

El mismo problema, formulado como uno de contar las balas de cañón en una pirámide cuadrada, fue planteado por Walter Raleigh al matemático Thomas Harriot a finales del siglo XVI, mientras ambos estaban en un viaje por mar. Se dice que el problema de la bala de cañón , que pregunta si hay números piramidales cuadrados que también sean números cuadrados distintos de 1 y 4900, se desarrolló a partir de este intercambio. Édouard Lucas encontró la pirámide de 4900 bolas con un número cuadrado de bolas y, al hacer que el problema de la bala de cañón fuera más conocido, sugirió que era la única solución no trivial. ^[5] Después de las pruebas incompletas de Lucas y Claude-Séraphin Moret-Blanc, la primera prueba completa de que no existen otros números similares fue dada por GN Watson en 1918. ^[6]

Fórmula

Seis copias de una pirámide cuadrada con n escalones pueden caber en un cuboide de tamaño n ( n + 1)(2 n + 1)

Si las esferas se empaquetan en pirámides cuadradas cuyo número de capas es 1, 2, 3, etc., entonces los números piramidales cuadrados que dan el número de esferas en cada pirámide son: ^{[7] [8]}

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ....

Estos números se pueden calcular algebraicamente, de la siguiente manera. Si una pirámide de esferas se descompone en sus capas cuadradas con un número cuadrado de esferas en cada una, entonces el número total de esferas se puede contar como la suma del número de esferas en cada cuadrado, y esta suma se puede resolver para dar un polinomio cúbico , que se puede escribir de varias formas equivalentes: Esta ecuación para una suma de cuadrados es un caso especial de la fórmula de Faulhaber para sumas de potencias, y se puede demostrar por inducción matemática . ^[9] ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$ $${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

En términos más generales, los números figurados cuentan el número de puntos geométricos dispuestos en patrones regulares dentro de ciertas formas. Los centros de las esferas en una pirámide de esferas forman uno de estos patrones, pero para muchos otros tipos de números figurados no tiene sentido pensar en los puntos como centros de esferas. ^[8] En las matemáticas modernas, los problemas relacionados con el conteo de puntos en poliedros enteros se formalizan mediante los polinomios de Ehrhart . Estos se diferencian de los números figurados en que, para los polinomios de Ehrhart, los puntos siempre están dispuestos en una red de números enteros en lugar de tener una disposición que se ajuste más cuidadosamente a la forma en cuestión, y la forma en la que encajan es un poliedro con puntos de la red como sus vértices. Específicamente, el polinomio de Ehrhart L ( P , t ) de un poliedro entero P es un polinomio que cuenta los puntos enteros en una copia de P que se expande multiplicando todas sus coordenadas por el número t . La forma simétrica habitual de una pirámide cuadrada, con un cuadrado unitario como base, no es un poliedro entero, porque el punto más alto de la pirámide, su vértice, no es un punto entero. En cambio, el polinomio de Ehrhart se puede aplicar a una pirámide cuadrada asimétrica P con una base cuadrada unitaria y un vértice que puede ser cualquier punto entero una unidad por encima del plano de la base. Para esta elección de P , el polinomio de Ehrhart de una pirámide es ⁠( t +1)( t +2)(2t + 3)/6⁠ = P _{t + 1} . ^[10]

Enumeración geométrica

Los 14 cuadrados de una cuadrícula de 3×3 cuadrados (4×4 vértices)

Además de contar esferas en una pirámide, estos números se pueden utilizar para resolver otros problemas de conteo. Por ejemplo, un problema matemático común consiste en contar los cuadrados de una cuadrícula grande de n por n . ^[11] Este conteo se puede derivar de la siguiente manera:

• El número de cuadrados de 1 × 1 en la cuadrícula es n ² .
• La cantidad de cuadrados de 2 × 2 en la cuadrícula es ( n − 1) ² . Estos se pueden contar contando todas las posibles esquinas superiores izquierdas de los cuadrados de 2 × 2 .
• La cantidad de cuadrados k × k (1 ≤ k ≤ n ) en la cuadrícula es ( n − k + 1) ² . Estos se pueden contar contando todas las posibles esquinas superiores izquierdas de cuadrados k × k .

De ello se deduce que el número de cuadrados en una cuadrícula de n × n ^{es: [12]} Es decir, la solución del rompecabezas está dada por el n -ésimo número piramidal cuadrado. ^[7] El número de rectángulos en una cuadrícula cuadrada está dado por los números triangulares al cuadrado . ^[13] $${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$$

El número piramidal cuadrado también cuenta los triángulos agudos formados a partir de los vértices de un polígono regular de lados . Por ejemplo, un triángulo equilátero contiene solo un triángulo agudo (él mismo), un pentágono regular tiene cinco triángulos agudos áureos dentro de él, un heptágono regular tiene 14 triángulos agudos de dos formas, etc. ^[7] De manera más abstracta, cuando las permutaciones de las filas o columnas de una matriz se consideran equivalentes, el número de matrices con coeficientes enteros no negativos que suman , para valores impares de , es un número piramidal cuadrado. ^[14] ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Relaciones con otros números figurados

Una pirámide cuadrada de balas de cañón en el castillo de Rye en Inglaterra

4900 bolas dispuestas en forma de pirámide cuadrada de lado 24 y un cuadrado de lado 70

El problema de la bala de cañón plantea la pregunta de qué tamaños de pirámides de balas de cañón se pueden distribuir para formar una matriz cuadrada o, equivalentemente, qué números son tanto cuadrados como piramidales cuadrados. Además del 1, solo hay otro número que tiene esta propiedad: 4900, que es tanto el 70.º número cuadrado como el 24.º número piramidal cuadrado. ^[6]

Los números piramidales cuadrados se pueden expresar como sumas de coeficientes binomiales : ^{[15] [16]} $${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}={\binom {n+1}{2}}+2{\binom {n+1}{3}}.}$$

Los coeficientes binomiales que aparecen en esta representación son números tetraédricos , y esta fórmula expresa un número piramidal cuadrado como la suma de dos números tetraédricos de la misma manera que los números cuadrados son las sumas de dos números triangulares consecutivos . ^{[8] [15]} Si un tetraedro se refleja a través de una de sus caras, las dos copias forman una bipirámide triangular . Los números piramidales cuadrados son también los números figurados de las bipirámides triangulares, y esta fórmula puede interpretarse como una igualdad entre los números piramidales cuadrados y los números bipiramidales triangulares. ^[7] Análogamente, al reflejar una pirámide cuadrada a través de su base se produce un octaedro, de lo que se deduce que cada número octaédrico es la suma de dos números piramidales cuadrados consecutivos. ^[17]

Los números piramidales cuadrados también están relacionados con los números tetraédricos de una manera diferente: los puntos de cuatro copias de la misma pirámide cuadrada se pueden reorganizar para formar un solo tetraedro con el doble de puntos a lo largo de cada borde. Es decir, ^[18] $${\displaystyle 4P_{n}=Te_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Para ver esto, disponga cada pirámide cuadrada de modo que cada capa esté directamente encima de la capa anterior, es decir, las alturas son

4321332122211111

Cuatro de estos se pueden unir luego mediante el pilar de altura 4 para formar una pirámide cuadrada uniforme, con capas . ${\displaystyle 4,16,36,\dots }$

Cada capa es la suma de números triangulares consecutivos, es decir , que al sumarse dan como resultado el número tetraédrico. ${\displaystyle (1+3),(6+10),(15+21),\dots }$

Otras propiedades

La serie alternada de fracciones unitarias con los números piramidales cuadrados como denominadores está estrechamente relacionada con la fórmula de Leibniz para π , aunque converge más rápido. Es: ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&=1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac {1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0.849556.\\\end{aligned}}}$$

En la teoría de aproximación , las secuencias de números impares, sumas de números impares (números cuadrados), sumas de números cuadrados (números piramidales cuadrados), etc., forman los coeficientes en un método para convertir aproximaciones de Chebyshev en polinomios . ^[20]

Referencias

1. Federico, Pasquale Joseph (1982), "Números piramidales", Descartes sobre los poliedros: un estudio del "De solidorum elementis" , Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, vol. 4, Springer, págs. 89-91, doi :10.1007/978-1-4612-5759-2, ISBN 978-1-4612-5761-5
2. Arquímedes , Sobre conoides y esferoides , Lema de la Proposición 2, y Sobre espirales , Proposición 10. Véase "Lema de la Proposición 2", The Works of Archimedes , traducido por TL Heath , Cambridge University Press, 1897, págs. 107-109.
3. Fibonacci (1202), Liber Abaci , cap. II.12. Véase Liber Abaci de Fibonacci , traducido por Laurence E. Sigler, Springer-Verlag, 2002, págs. 260-261, ISBN 0-387-95419-8
4. Yanagihara, Kitizi (noviembre de 1918), "Sobre el Dajutu o la serie aritmética de órdenes superiores estudiada por los wasanistas", Tohoku Mathematical Journal , 14 (3–4): 305–324
5. Parker, Matt (2015), "Ship shape", Cosas que hacer y crear en la cuarta dimensión: el viaje de un matemático a través de números narcisistas, algoritmos de datación óptimos, al menos dos tipos de infinito y más , Nueva York: Farrar, Straus y Giroux, págs. 56-59, ISBN 978-0-374-53563-6, Sr.  3753642
6. Anglin, WS (1990), "El rompecabezas de la pirámide cuadrada", The American Mathematical Monthly , 97 (2): 120–124, doi :10.1080/00029890.1990.11995558, JSTOR  2323911
7. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000330 (Números piramidales cuadrados)", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
8. Beiler, AH (1964), Recreaciones en la teoría de números , Dover, págs. 194-195, ISBN 0-486-21096-0
9. Hopcroft, John E. ; Motwani, Rajeev ; Ullman, Jeffrey D. (2007), Introducción a la teoría de autómatas, lenguajes y computación (3.ª ed.), Pearson/Addison Wesley, pág. 20, ISBN 9780321455369
10. Beck, M.; De Loera, JA ; Develin, M .; Pfeifle, J.; Stanley, RP (2005), "Coeficientes y raíces de polinomios de Ehrhart", Puntos enteros en poliedros: geometría, teoría de números, álgebra, optimización , Contemporary Mathematics, vol. 374, Providence, Rhode Island, págs. 15–36, arXiv : math/0402148 , MR  2134759{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
11. Duffin, Janet; Patchett, Mary; Adamson, Ann; Simmons, Neil (noviembre de 1984), "Cuadrados viejos, caras nuevas", Matemáticas en la escuela , 13 (5): 2–4, JSTOR  30216270
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número piramidal cuadrado", MathWorld