En geometría , un poliedro esférico o mosaico esférico es un mosaico de la esfera en el que la superficie está dividida o dividida por grandes arcos en regiones acotadas llamadas polígonos esféricos . Gran parte de la teoría de los poliedros simétricos se deriva más convenientemente de esta manera.
El poliedro esférico más conocido es el balón de fútbol , considerado como un icosaedro esférico truncado . El siguiente poliedro esférico más popular es la pelota de playa , considerada un hosoedro .
Algunos poliedros "impropios", como los hosoedros y sus duales , los diedros , existen como poliedros esféricos, pero sus análogos de caras planas son degenerados . El ejemplo de pelota de playa hexagonal, {2, 6}, es un hosoedro y {6, 2} es su dipedro dual.
Los primeros poliedros artificiales conocidos son poliedros esféricos tallados en piedra . Muchos se han encontrado en Escocia y parecen datar del período neolítico (la Nueva Edad de Piedra).
Durante el siglo X, el erudito islámico Abū al-Wafā' Būzjānī (Abu'l Wafa) escribió el primer estudio serio sobre poliedros esféricos.
Hace doscientos años, a principios del siglo XIX, Poinsot utilizó poliedros esféricos para descubrir los poliedros de cuatro estrellas regulares .
A mediados del siglo XX, Coxeter los utilizó para enumerar todos los poliedros uniformes menos uno , mediante la construcción de caleidoscopios ( construcción Wythoff ).
Todos los poliedros regulares , poliedros semirregulares y sus duales se pueden proyectar sobre la esfera como mosaicos:
Los mosaicos esféricos permiten casos que los poliedros no admiten, a saber, hosoedros : figuras como {2,n} y didedros : figuras como {n,2}. Generalmente se utilizan hosoedros regulares y dihedras regulares.
Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría inversa están relacionados con los poliedros proyectivos [1] (teselaciones del plano proyectivo real ): así como la esfera tiene un mapa de cobertura 2 a 1 del plano proyectivo, los poliedros proyectivos se corresponden en 2 veces. cubren poliedros esféricos que son simétricos bajo reflexión a través del origen .
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos centralmente simétricos , así como dos clases infinitas de didedros pares y hosoedros : [2]
