En matemáticas , especialmente en un área del álgebra abstracta conocida como teoría de la representación , una representación fiel ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una representación lineal en la que diferentes elementos g de G están representados por distintas asignaciones lineales ρ ( g ) . En un lenguaje más abstracto, esto significa que el homomorfismo de grupo es inyectivo (o uno a uno ).
Si bien las representaciones de G sobre un campo K son de facto las mismas que los módulos K [ G ] ( donde K [ G ] denota el álgebra de grupo del grupo G ), una representación fiel de G no es necesariamente un módulo fiel para el grupo. álgebra. De hecho, cada módulo K [ G ] fiel es una representación fiel de G , pero lo contrario no se cumple. Consideremos, por ejemplo, la representación natural del grupo simétrico S n en n dimensiones mediante matrices de permutación , que ciertamente es fiel. Aquí el orden del grupo es n ! mientras que las matrices n × n forman un espacio vectorial de dimensión n 2 . Tan pronto como n sea al menos 4, el recuento de dimensiones significa que debe ocurrir alguna dependencia lineal entre las matrices de permutación (ya que 24 > 16 ); esta relación significa que el módulo para el álgebra de grupos no es fiel.
Una representación V de un grupo finito G sobre un campo algebraicamente cerrado K de característica cero es fiel (como representación) si y sólo si cada representación irreducible de G ocurre como una subrepresentación de S n V (la n -ésima potencia simétrica de la representación V ) para un n suficientemente alto . Además, V es fiel (como representación) si y sólo si toda representación irreducible de G ocurre como una subrepresentación de
(el n -ésimo poder tensor de la representación V ) para un n suficientemente alto . [1]
