Un número perfecto unitario es un número entero que es la suma de sus divisores unitarios propios positivos , sin incluir el número mismo (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n / d no comparten factores comunes ). Algunos números perfectos no son números perfectos unitarios, y algunos números perfectos unitarios no son números perfectos ordinarios.
El número 60 es un número perfecto unitario porque 1, 3, 4, 5, 12, 15 y 20 son sus divisores unitarios propios, y 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Los primeros cinco números perfectos unitarios, y los únicos conocidos, son , , , y (secuencia A002827 en la OEIS ). Las sumas respectivas de sus divisores unitarios propios son las siguientes:
No existen números perfectos unitarios impares . Esto se deduce de que 2 d *( n ) divide la suma de los divisores unitarios de un número impar n , donde d *( n ) es el número de factores primos distintos de n . Esto se obtiene porque la suma de todos los divisores unitarios es una función multiplicativa y se tiene que la suma de los divisores unitarios de una potencia prima p a es p a + 1 que es par para todos los primos impares p . Por lo tanto, un número perfecto unitario impar debe tener solo un factor primo distinto, y no es difícil demostrar que una potencia de primo no puede ser un número perfecto unitario, ya que no hay suficientes divisores.
No se sabe si existen infinitos números unitarios perfectos, ni si existen más ejemplos además de los cinco ya conocidos. Un sexto de esos números tendría al menos nueve factores primos impares distintos. [1]
