En geometría , estelación es el proceso de extender un polígono en dos dimensiones , un poliedro en tres dimensiones o, en general, un politopo en n dimensiones para formar una nueva figura. Comenzando con una figura original, el proceso extiende elementos específicos como sus aristas o planos de cara, generalmente de forma simétrica, hasta que se encuentran nuevamente para formar el límite cerrado de una nueva figura. La nueva figura es una estrellación de la original. La palabra estelación proviene del latín stellātus , "estrellada", que a su vez proviene del latín stella , "estrella". La estelación es el proceso recíproco o dual del facetado .
En 1619 Kepler definió la estelación de polígonos y poliedros como el proceso de extender aristas o caras hasta que se unen para formar un nuevo polígono o poliedro.
Estelló el dodecaedro regular para obtener dos poliedros estelares regulares, el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro estrellado grande . También estelló el octaedro regular para obtener la stella octangula , un compuesto regular de dos tetraedros.
La estrellación simétrica de un polígono regular crea un polígono en estrella regular o un compuesto poligonal . Estos polígonos se caracterizan por el número de veces m que el límite poligonal gira alrededor del centro de la figura. Como todos los polígonos regulares, sus vértices se encuentran en un círculo. m también corresponde al número de vértices alrededor del círculo para llegar de un extremo de un borde dado al otro, comenzando en 1.
Un polígono estrella regular está representado por su símbolo de Schläfli { n / m }, donde n es el número de vértices, m es el paso utilizado para secuenciar los bordes a su alrededor y myn son coprimos ( no tienen factor común ). El caso m = 1 da el polígono convexo { n }. m también debe ser menor que la mitad de n ; de lo contrario, las líneas serán paralelas o divergirán, impidiendo que la figura se cierre.
Si n y m tienen un factor común, entonces la figura es un compuesto regular. Por ejemplo {6/2} es el compuesto regular de dos triángulos {3} o hexagrama , mientras que {10/4} es un compuesto de dos pentagramas {5/2}.
Algunos autores utilizan el símbolo de Schläfli para estos compuestos regulares. Otros consideran que el símbolo indica un único camino que se enrolla m veces alrededornorte/metropuntos de vértice, de modo que un borde se superpone a otro y cada punto de vértice se visita m veces. En este caso se puede utilizar un símbolo modificado para el compuesto, por ejemplo 2{3} para el hexagrama y 2{5/2} para el compuesto regular de dos pentagramas.
Un n -gon regular tienenorte – 4/2estelaciones si n es par (asumiendo que no se consideran compuestos de múltiples digones degenerados ), ynorte – 3/2estelaciones si n es impar .
Al igual que el heptágono , el octágono también tiene dos estelaciones octagrámicas , siendo una, {8/3}, un polígono estrella , y la otra, {8/2}, siendo el compuesto de dos cuadrados .
Un poliedro se estrella extendiendo los bordes o planos de las caras de un poliedro hasta que se vuelven a unir para formar un nuevo poliedro o compuesto. El interior del nuevo poliedro está dividido por las caras en varias celdas. Los planos frontales de un poliedro pueden dividir el espacio en muchas de estas celdas y, a medida que continúa el proceso de estelación, se cerrarán más de estas celdas. Para un poliedro simétrico, estas celdas se dividirán en grupos o conjuntos de celdas congruentes; decimos que las celdas en dicho conjunto congruente son del mismo tipo. Un método común para encontrar estelaciones implica seleccionar uno o más tipos de células.
Esto puede conducir a una enorme cantidad de formas posibles, por lo que a menudo se imponen criterios adicionales para reducir el conjunto a aquellas estelaciones que son significativas y únicas de alguna manera.
Un conjunto de células que forman una capa cerrada alrededor de su núcleo se denomina capa. Para un poliedro simétrico, una capa puede estar formada por uno o más tipos de células.
Sobre la base de estas ideas, se han identificado varias categorías de interés restrictivas.
También podemos identificar algunas otras categorías:
Los sólidos de Arquímedes y sus duales también pueden ser estrellados. Aquí normalmente añadimos la regla de que todos los planos de las caras originales deben estar presentes en la estelación, es decir, no consideramos estelaciones parciales. Por ejemplo, el cubo no suele considerarse una estelación del cuboctaedro .
Generalizando las reglas de Miller hay:
Diecisiete de los poliedros uniformes no convexos son estelaciones de sólidos de Arquímedes.
En el libro The Fifty-Nine Icosahedra , JCP Miller propuso un conjunto de reglas para definir qué formas de estelación deben considerarse "adecuadamente significativas y distintas".
Estas reglas se han adaptado para su uso con estelaciones de muchos otros poliedros. Bajo las reglas de Miller encontramos:
Muchas "estelaciones de Miller" no se pueden obtener directamente utilizando el método de Kepler. Por ejemplo, muchos tienen centros huecos donde las caras y aristas originales del poliedro central faltan por completo: no queda nada por estrellar. Por otro lado, el método de Kepler también produce estelaciones que están prohibidas por las reglas de Miller ya que sus celdas están conectadas por aristas o vértices, aunque sus caras sean polígonos únicos. Esta discrepancia no recibió atención real hasta Inchbald (2002).
Las reglas de Miller de ninguna manera representan la forma "correcta" de enumerar estelaciones. Se basan en combinar partes dentro del diagrama de estelación de determinadas maneras y no tienen en cuenta la topología de las caras resultantes. Como tal, hay algunas estelaciones bastante razonables del icosaedro que no forman parte de su lista: una fue identificada por James Bridge en 1974, mientras que algunas "estelaciones de Miller" son cuestionables en cuanto a si deberían considerarse como estelaciones; una de el conjunto icosaédrico comprende varias células bastante desconectadas que flotan simétricamente en el espacio.
Hasta el momento no se ha desarrollado completamente un conjunto alternativo de reglas que tenga esto en cuenta. La mayor parte del progreso se ha logrado basándose en la noción de que la estelación es el proceso recíproco o dual del facetado , mediante el cual las partes se eliminan de un poliedro sin crear nuevos vértices. Para cada estelación de algún poliedro, hay una faceta dual del poliedro dual , y viceversa. Al estudiar las facetas del dual, obtenemos información sobre las estelaciones del original. Bridge encontró su nueva estelación del icosaedro estudiando las facetas de su dual, el dodecaedro.
Algunos poliedros adoptan la opinión de que la estelación es un proceso bidireccional, de modo que dos poliedros cualesquiera que compartan los mismos planos faciales son estelaciones entre sí. Esto es comprensible si uno está diseñando un algoritmo general adecuado para su uso en un programa de computadora, pero por lo demás no es particularmente útil.
Se pueden encontrar muchos ejemplos de estelaciones en la lista de modelos de estelación de Wenninger .
El proceso de estelación también se puede aplicar a politopos de dimensiones superiores. Existe un diagrama de estelación de un n -politopo en un hiperplano ( n − 1) dimensional de una faceta determinada .
Por ejemplo, en 4 espacios, el gran gran estrellado de 120 celdas es la estelación final del 4 politopo regular de 120 celdas .
La primera denominación sistemática de los poliedros estrellados fue la denominación que hizo Cayley de los poliedros estelares regulares (hoy conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot ). Este sistema fue adoptado ampliamente, pero no siempre sistemáticamente, para otros poliedros y politopos superiores.
John Conway ideó una terminología para polígonos estrellados , poliedros y policoras (Coxeter 1974). En este sistema el proceso de extender aristas para crear una nueva figura se llama estelación , el de extender caras se llama engrandecimiento y el de extender células se llama engrandecimiento (esto último no aplica a los poliedros). Esto permite un uso sistemático de palabras como "estrellado", "grande" y "grandioso" al idear nombres para las figuras resultantes. Por ejemplo, Conway propuso algunas variaciones menores a los nombres de los poliedros de Kepler-Poinsot .
Wenninger notó que algunos poliedros, como el cubo, no tienen estelaciones finitas. Sin embargo, las células de estelación se pueden construir como prismas que se extienden hasta el infinito. La figura que comprenden estos prismas puede denominarse estelación al infinito . Sin embargo, según la mayoría de las definiciones de poliedro, estas estelaciones no son estrictamente poliedros.
Las figuras de Wenninger se presentaban como duales de los hemipoliedros uniformes , donde las caras que pasan por el centro son enviadas a los vértices "al infinito".
Además de sus contribuciones a las matemáticas, Magnus Wenninger es descrito en el contexto de la relación entre las matemáticas y el arte como modelo "especialmente hermoso" de poliedros estrellados complejos. [1]
El artista del Renacimiento italiano Paolo Uccello creó un mosaico de piso que muestra un pequeño dodecaedro estrellado en la Basílica de San Marcos, Venecia , c. 1430. La representación de Uccello se utilizó como símbolo de la Bienal de Venecia de 1986 sobre el tema "Arte y ciencia". [2] La misma estelación es central en dos litografías de MC Escher : Contraste (Orden y Caos) , 1950, y Gravitación , 1952. [3]