Las matemáticas y el arte están relacionados de diversas maneras. Las matemáticas en sí mismas han sido descritas como un arte motivado por la belleza . Las matemáticas se pueden discernir en artes como la música , la danza , la pintura , la arquitectura , la escultura y los textiles . Este artículo se centra, sin embargo, en las matemáticas en las artes visuales.
Las matemáticas y el arte tienen una larga relación histórica. Los artistas han utilizado las matemáticas desde el siglo IV a. C., cuando el escultor griego Policleto escribió su Canon , prescribiendo proporciones que se conjeturaba que se basaban en la proporción 1: √ 2 para el desnudo masculino ideal. Se han hecho persistentes afirmaciones populares sobre el uso de la proporción áurea en el arte y la arquitectura antiguos, sin evidencia confiable. En el Renacimiento italiano , Luca Pacioli escribió el influyente tratado De divina proporcionale (1509), ilustrado con xilografías de Leonardo da Vinci , sobre el uso de la proporción áurea en el arte. Otro pintor italiano, Piero della Francesca , desarrolló las ideas de Euclides sobre la perspectiva en tratados como De Prospectiva Pingendi y en sus pinturas. El grabador Alberto Durero hizo muchas referencias a las matemáticas en su obra Melencolia I. En los tiempos modernos, el artista gráfico M. C. Escher hizo un uso intensivo de la teselación y la geometría hiperbólica , con la ayuda del matemático HSM Coxeter , mientras que el movimiento De Stijl liderado por Theo van Doesburg y Piet Mondrian abrazó explícitamente las formas geométricas. Las matemáticas han inspirado artes textiles como el acolchado , el tejido , el punto de cruz , el crochet , el bordado , el tejido , la fabricación de alfombras turcas y otras , así como el kilim . En el arte islámico , las simetrías son evidentes en formas tan variadas como los girih persas y los azulejos zellige marroquíes , los jali mogoles con mamparas de piedra perforada y las bóvedas de mocárabes generalizadas .
Las matemáticas han influido directamente en el arte con herramientas conceptuales como la perspectiva lineal , el análisis de la simetría y objetos matemáticos como los poliedros y la tira de Möbius . Magnus Wenninger crea coloridos poliedros estrellados , originalmente como modelos para la enseñanza. Conceptos matemáticos como la recursividad y la paradoja lógica se pueden ver en pinturas de René Magritte y en grabados de MC Escher. El arte por computadora a menudo hace uso de fractales , incluido el conjunto de Mandelbrot , y a veces explora otros objetos matemáticos como autómatas celulares . De manera controvertida, el artista David Hockney ha argumentado que los artistas desde el Renacimiento en adelante utilizaron la cámara lúcida para dibujar representaciones precisas de escenas; El arquitecto Philip Steadman argumentó de manera similar que Vermeer utilizó la cámara oscura en sus pinturas distintivamente observadas.
Otras relaciones incluyen el análisis algorítmico de obras de arte mediante espectroscopía de fluorescencia de rayos X , el hallazgo de que los batiks tradicionales de diferentes regiones de Java tienen distintas dimensiones fractales y estímulos para la investigación matemática, especialmente la teoría de la perspectiva de Filippo Brunelleschi , que finalmente condujo a Girard. Geometría proyectiva de Desargues . Una visión persistente, basada en última instancia en la noción pitagórica de armonía en la música, sostiene que todo fue ordenado por Números, que Dios es el geómetra del mundo y que, por lo tanto, la geometría del mundo es sagrada .
Policleto el mayor (c. 450-420 a. C.) fue un escultor griego de la escuela de Argos y contemporáneo de Fidias . Sus obras y estatuas consistían principalmente en bronce y eran de deportistas. Según el filósofo y matemático Jenócrates , Policleto está catalogado como uno de los escultores más importantes de la antigüedad clásica por su trabajo sobre el Doríforo y la estatua de Hera en el Heraion de Argos . [3] Si bien sus esculturas pueden no ser tan famosas como las de Fidias, son muy admiradas. En su Canon , un tratado que escribió diseñado para documentar las proporciones corporales "perfectas" del desnudo masculino, Policleto nos ofrece un enfoque matemático para esculpir el cuerpo humano. [3]
El Canon en sí se ha perdido, pero se conjetura que Policleto usó una secuencia de proporciones donde cada longitud es la de la diagonal de un cuadrado dibujado sobre su predecesor, 1: √ 2 (aproximadamente 1: 1,4142). [4]
La influencia del Canon de Policleto es inmensa en la escultura clásica griega , romana y renacentista , y muchos escultores siguieron la prescripción de Policleto. Si bien ninguna de las obras originales de Policleto sobrevive, las copias romanas demuestran su ideal de perfección física y precisión matemática. Algunos estudiosos sostienen que el pensamiento pitagórico influyó en el Canon de Policleto. [5] El Canon aplica los conceptos matemáticos básicos de la geometría griega, como la razón, la proporción y la simetría (en griego "proporciones armoniosas") y los convierte en un sistema capaz de describir la forma humana a través de una serie de progresiones geométricas continuas. . [4]
En la época clásica, en lugar de reducir el tamaño de las figuras distantes con una perspectiva lineal , los pintores dimensionaban los objetos y las figuras según su importancia temática. En la Edad Media, algunos artistas utilizaron la perspectiva inversa para darle especial énfasis. El matemático musulmán Alhazen (Ibn al-Haytham) describió una teoría de la óptica en su Libro de la Óptica en 1021, pero nunca la aplicó al arte. [6] El Renacimiento vio un renacimiento de la cultura y las ideas clásicas griegas y romanas, entre ellas el estudio de las matemáticas para comprender la naturaleza y las artes . Dos motivos principales impulsaron a los artistas de finales de la Edad Media y del Renacimiento hacia las matemáticas. En primer lugar, los pintores necesitaban descubrir cómo representar escenas tridimensionales en un lienzo bidimensional. En segundo lugar, tanto los filósofos como los artistas estaban convencidos de que las matemáticas eran la verdadera esencia del mundo físico y que todo el universo, incluidas las artes, podía explicarse en términos geométricos. [7]
Los rudimentos de la perspectiva llegaron con Giotto (1266/7 – 1337), quien intentó dibujar en perspectiva utilizando un método algebraico para determinar la ubicación de líneas distantes. En 1415, el arquitecto italiano Filippo Brunelleschi y su amigo Leon Battista Alberti demostraron en Florencia el método geométrico de aplicar la perspectiva, utilizando triángulos similares a los formulados por Euclides, para encontrar la altura aparente de objetos distantes. [8] [9] Las pinturas en perspectiva del propio Brunelleschi se han perdido, pero la pintura de Masaccio de la Santísima Trinidad muestra sus principios en acción. [6] [10] [11]
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El pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) estaba fascinado por la perspectiva, como se muestra en sus pinturas de La batalla de San Romano (c. 1435-1460): lanzas rotas se encuentran convenientemente a lo largo de las líneas de perspectiva. [12] [13]
El pintor Piero della Francesca (c. 1415-1492) ejemplificó este nuevo cambio en el pensamiento del Renacimiento italiano. Fue un experto matemático y geómetra , y escribió libros sobre geometría de sólidos y perspectiva , entre ellos De prospectiva pingendi (Sobre la perspectiva para la pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares) . [14] [15] [16] El historiador Vasari en sus Vidas de los pintores llama a Piero el "mayor geómetra de su tiempo, o quizás de cualquier época". [17] El interés de Piero por la perspectiva se puede ver en sus pinturas, incluido el Políptico de Perugia , [18] el retablo de San Agostino y La flagelación de Cristo . Su trabajo sobre geometría influyó en matemáticos y artistas posteriores, entre ellos Luca Pacioli en su De divina proporcionale y Leonardo da Vinci . Piero estudió matemáticas clásicas y las obras de Arquímedes . [19] Le enseñaron aritmética comercial en "escuelas de ábaco"; sus escritos tienen el formato de libros de texto escolares sobre ábaco, [20] incluido quizás el Liber Abaci de 1202 de Leonardo Pisano ( Fibonacci ) . La perspectiva lineal apenas se estaba introduciendo en el mundo artístico. Alberti explica en su De pictura de 1435 : "los rayos de luz viajan en línea recta desde los puntos de la escena observada hasta el ojo, formando una especie de pirámide con el ojo como vértice". Un cuadro construido con perspectiva lineal es una sección transversal de esa pirámide. [21]
En De Prospectiva Pingendi , Piero transforma sus observaciones empíricas sobre la forma en que los aspectos de una figura cambian según el punto de vista en pruebas matemáticas. Su tratado comienza en la línea de Euclides: define el punto como "la cosa más pequeña que el ojo puede comprender". [a] [7] Utiliza la lógica deductiva para llevar al lector a la representación en perspectiva de un cuerpo tridimensional. [22]
El artista David Hockney argumentó en su libro Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters que los artistas comenzaron a usar una cámara lúcida a partir de la década de 1420, lo que resultó en un cambio repentino en precisión y realismo, y que esta práctica fue continuada por artistas importantes, incluidos Ingres , Van Eyck y Caravaggio . [23] Los críticos no están de acuerdo sobre si Hockney tenía razón. [24] [25] De manera similar, el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera controvertida [26] que Vermeer había usado un dispositivo diferente, la cámara oscura , para ayudarlo a crear sus pinturas distintivamente observadas. [27]
En 1509, Luca Pacioli (c. 1447-1517) publicó De divina proporcionale sobre la proporción matemática y artística , incluso en el rostro humano. Leonardo da Vinci (1452-1519) ilustró el texto con xilografías de sólidos regulares mientras estudiaba con Pacioli en la década de 1490. Los dibujos de Leonardo son probablemente las primeras ilustraciones de sólidos esqueléticos. [28] Estos, como el rombicuboctaedro , estuvieron entre los primeros en dibujarse para demostrar la perspectiva al superponerse uno encima del otro. La obra analiza la perspectiva en las obras de Piero della Francesca , Melozzo da Forlì y Marco Palmezzano . [29] Leonardo estudió la Summa de Pacioli , de la que copió tablas de proporciones. [30] En Mona Lisa y La última cena , la obra de Leonardo incorporó una perspectiva lineal con un punto de fuga para proporcionar una profundidad aparente. [31] La Última Cena está construida en una estrecha proporción de 12:6:4:3, al igual que La Escuela de Atenas de Rafael , que incluye a Pitágoras con una tablilla de proporciones ideales, sagrada para los pitagóricos. [32] [33] En El hombre de Vitruvio , Leonardo expresó las ideas del arquitecto romano Vitruvio , mostrando de manera innovadora la figura masculina dos veces y centrándola tanto en un círculo como en un cuadrado. [34]
Ya en el siglo XV, la perspectiva curvilínea se abrió camino en las pinturas de artistas interesados en la distorsión de la imagen. El Retrato Arnolfini de Jan van Eyck de 1434 contiene un espejo convexo con reflejos de las personas en la escena, [35] mientras que el Autorretrato en un espejo convexo de Parmigianino , c. 1523-1524, muestra el rostro del artista, en gran medida sin distorsiones, en el centro, con un fondo fuertemente curvado y la mano del artista alrededor del borde. [36]
El espacio tridimensional se puede representar de manera convincente en el arte, como en el dibujo técnico , por otros medios además de la perspectiva. Las proyecciones oblicuas , incluida la perspectiva caballeresca (utilizada por los artistas militares franceses para representar fortificaciones en el siglo XVIII), fueron utilizadas de forma continua y ubicua por los artistas chinos desde el siglo I o II hasta el siglo XVIII. Los chinos adquirieron la técnica de la India, que a su vez la adquirió de la Antigua Roma. La proyección oblicua se ve en el arte japonés, como en las pinturas Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815). [37]
Euclides conocía la proporción áurea (aproximadamente igual a 1,618) . [38] Se ha afirmado persistentemente que la proporción áurea [39] [40] [41] [42] en los tiempos modernos fue utilizada en el arte y la arquitectura por los antiguos en Egipto, Grecia y otros lugares, sin evidencia confiable. [43] La afirmación puede derivar de una confusión con la "media áurea", que para los antiguos griegos significaba "evitar el exceso en cualquier dirección", no una proporción. [43] Los piramidólogos desde el siglo XIX han argumentado sobre bases matemáticas dudosas a favor de la proporción áurea en el diseño de pirámides. [b] Se ha afirmado que el Partenón , un templo del siglo V a. C. en Atenas, utiliza la proporción áurea en su fachada y planta, [47] [48] [49] pero estas afirmaciones también son refutadas por la medición. [43] De manera similar, se ha afirmado que la Gran Mezquita de Kairouan en Túnez utiliza la proporción áurea en su diseño, [50] pero la proporción no aparece en las partes originales de la mezquita. [51] El historiador de la arquitectura Frederik Macody Lund argumentó en 1919 que la Catedral de Chartres (siglo XII), Notre-Dame de Laon (1157-1205) y Notre Dame de París (1160) están diseñadas según la proporción áurea, [ 52] dibujando líneas reguladoras para defender su caso. Otros estudiosos sostienen que hasta la obra de Pacioli en 1509, los artistas y arquitectos desconocían la proporción áurea. [53] Por ejemplo, la altura y el ancho de la fachada de Notre-Dame de Laon tienen una relación de 8/5 o 1,6, no 1,618. Estas proporciones de Fibonacci rápidamente se vuelven difíciles de distinguir de la proporción áurea. [54] Después de Pacioli, la proporción áurea es más claramente perceptible en obras de arte como la Mona Lisa de Leonardo . [55]
Otra proporción, el único otro número mórfico, [56] fue denominado número plástico [c] en 1928 por el arquitecto holandés Hans van der Laan (originalmente llamado le nombre radiant en francés). [57] Su valor es la solución de la ecuación cúbica.
un número irracional que es aproximadamente 1,325. Según el arquitecto Richard Padovan , esto tiene proporciones características3/4y1/7, que rigen los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan utilizó estas proporciones al diseñar la iglesia de la Abadía de St. Benedictusberg de 1967 en los Países Bajos. [57]
Las simetrías planas se han explotado durante milenios en obras de arte como alfombras , celosías, textiles y mosaicos. [59] [60] [61] [62]
Muchas alfombras tradicionales, ya sean alfombras de pelo o kilims de tejido plano , se dividen en un campo central y un borde que enmarca; Ambos pueden tener simetrías, aunque en las alfombras tejidas a mano estas suelen estar ligeramente rotas por pequeños detalles, variaciones de patrón y cambios de color introducidos por el tejedor. [59] En los kilims de Anatolia , los motivos utilizados suelen ser en sí mismos simétricos. El diseño general también suele estar presente, con disposiciones como rayas, rayas alternadas con filas de motivos y conjuntos empaquetados de motivos aproximadamente hexagonales. El campo comúnmente se presenta como un papel tapiz con un grupo de papel tapiz como pmm, mientras que el borde se puede diseñar como un friso del grupo de frisos pm11, pmm2 o pma2. Los kilims turcos y de Asia central suelen tener tres o más bordes en diferentes grupos de frisos. Los tejedores ciertamente tenían la intención de lograr la simetría, sin un conocimiento explícito de sus matemáticas. [59] El matemático y teórico de la arquitectura Nikos Salingaros sugiere que la "poderosa presencia" [58] (efecto estético) de una "gran alfombra" [58] como las mejores alfombras de dos medallones de Konya del siglo XVII es creada por métodos matemáticos. Técnicas relacionadas con las teorías del arquitecto Christopher Alexander . Estas técnicas incluyen hacer parejas de opuestos; valores de color opuestos; diferenciar áreas geométricamente, ya sea utilizando formas complementarias o equilibrando la direccionalidad de ángulos agudos; proporcionar complejidad a pequeña escala (desde el nivel del nudo hacia arriba) y simetría tanto a pequeña como a gran escala; elementos repetidos en una jerarquía de diferentes escalas (con una proporción de aproximadamente 2,7 de cada nivel al siguiente). Salingaros sostiene que "todas las alfombras exitosas satisfacen al menos nueve de las diez reglas anteriores" y sugiere que podría ser posible crear una métrica a partir de estas reglas. [58]
Se encuentran elaboradas celosías en el trabajo indio Jali , talladas en mármol para adornar tumbas y palacios. [60] Las celosías chinas, siempre con cierta simetría, existen en 14 de los 17 grupos de papel tapiz; a menudo tienen simetría de espejo, de doble espejo o de rotación. Algunos tienen un medallón central y otros tienen un borde en un grupo de frisos. [63] Daniel S. Dye ha analizado matemáticamente muchas redes chinas; identifica a Sichuan como el centro del oficio. [64]
Las simetrías son prominentes en las artes textiles , incluido el acolchado , [61] tejido , [65] punto de cruz , crochet , [66] bordado [67] [68] y tejido , [69] donde pueden ser puramente decorativas o pueden ser marcas de estado. [70] La simetría rotacional se encuentra en estructuras circulares como cúpulas ; A veces están elaboradamente decoradas con patrones simétricos por dentro y por fuera, como en la mezquita Sheikh Lotfollah de 1619 en Isfahán . [71] Los artículos de bordado y encaje , como manteles y tapetes, fabricados con bobinas o frivolité , pueden tener una amplia variedad de simetrías reflexivas y rotacionales que se están explorando matemáticamente. [72]
El arte islámico explota las simetrías en muchas de sus formas artísticas, especialmente en los mosaicos girih . Estos se forman utilizando un conjunto de cinco formas de mosaicos, a saber, un decágono regular, un hexágono alargado, una pajarita, un rombo y un pentágono regular. Todos los lados de estas baldosas tienen la misma longitud; y todos sus ángulos son múltiplos de 36° (π/5 radianes ), ofreciendo simetrías quíntuples y décimas. Los azulejos están decorados con líneas de tiras (girih), generalmente más visibles que los límites de los azulejos. En 2007, los físicos Peter Lu y Paul Steinhardt argumentaron que el girih se parecía a los mosaicos cuasicristalinos de Penrose . [73] Los elaborados azulejos geométricos zellige son un elemento distintivo de la arquitectura marroquí . [62] Las bóvedas de mocárabes son tridimensionales, pero fueron diseñadas en dos dimensiones con dibujos de celdas geométricas. [74]
![Túnica tupa inca de Perú, 1450-1540, un textil andino que denota alto rango[70]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Tupa-inca-tunic.png/1280px-Tupa-inca-tunic.png)
Los sólidos platónicos y otros poliedros son un tema recurrente en el arte occidental. Se encuentran, por ejemplo, en un mosaico de mármol que presenta el pequeño dodecaedro estrellado , atribuido a Paolo Uccello, en el suelo de la Basílica de San Marcos en Venecia; [12] en los diagramas de poliedros regulares de Leonardo da Vinci dibujados como ilustraciones para el libro de Luca Pacioli de 1509 La divina proporción ; [12] como un rombicuboctaedro de vidrio en el retrato de Pacioli de Jacopo de Barbari, pintado en 1495; [12] en el poliedro truncado (y varios otros objetos matemáticos) en el grabado Melencolia I de Alberto Durero ; [12] y en el cuadro de Salvador Dalí La Última Cena en el que se representa a Cristo y sus discípulos dentro de un dodecaedro gigante . [75]
Alberto Durero (1471-1528) fue un grabador renacentista alemán que hizo importantes contribuciones a la literatura poliédrica en su libro de 1525, Underweysung der Messung (Educación sobre la medición) , destinado a enseñar temas de perspectiva lineal , geometría en arquitectura , sólidos platónicos y polígonos regulares . Durero probablemente estuvo influenciado por las obras de Luca Pacioli y Piero della Francesca durante sus viajes a Italia . [76] Si bien los ejemplos de perspectiva en Underweysung der Messung están poco desarrollados y contienen imprecisiones, hay una discusión detallada de los poliedros. Durero es también el primero en introducir en el texto la idea de redes poliédricas , poliedros desplegados para quedar planos para imprimir. [77] Durero publicó otro libro influyente sobre las proporciones humanas llamado Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre la proporción humana) en 1528. [78]
El conocido grabado Melencolia I de Durero representa a un pensador frustrado sentado junto a un trapezoedro triangular truncado y un cuadrado mágico . [1] Estos dos objetos, y el grabado en su conjunto, han sido objeto de una interpretación más moderna que el contenido de casi cualquier otra impresión, [1] [79] [80] incluido un libro de dos volúmenes de Peter-Klaus Schuster, [81] y una discusión influyente en la monografía de Durero de Erwin Panofsky . [1] [82]
La pintura de Salvador Dalí de 1954, Corpus Hypercubus, representa de manera única la cruz de Cristo como una red tridimensional desplegada para un hipercubo , también conocido como teseracto : el despliegue de un teseracto en estos ocho cubos es análogo a desplegar los lados de un cubo en una cruz de seis cuadrados, que aquí representa la perspectiva divina con un poliedro regular de cuatro dimensiones. [83] [84] La pintura muestra la figura de Cristo frente al tesaracto; Normalmente se le mostraría fijado con clavos a la cruz, pero no hay clavos en la pintura. En cambio, hay cuatro pequeños cubos frente a su cuerpo, en las esquinas del más frontal de los ocho cubos tessaract. El matemático Thomas Banchoff afirma que Dalí intentaba ir más allá del mundo tridimensional, mientras que el poeta y crítico de arte Kelly Grovier dice que "la pintura parece haber roto el vínculo entre la espiritualidad de la salvación de Cristo y la materialidad de las formas geométricas y físicas". fuerzas. Parece cerrar la brecha que muchos sienten que separa la ciencia de la religión ". [85]
Los diseños tradicionales de batik indonesio resistentes a la cera sobre tela combinan motivos representativos (como elementos florales y vegetales) con elementos abstractos y algo caóticos, incluida la imprecisión en la aplicación de la resistencia a la cera y la variación aleatoria introducida por el agrietamiento de la cera. Los diseños de batik tienen una dimensión fractal entre 1 y 2, variando en diferentes estilos regionales. Por ejemplo, el batik de Cirebon tiene una dimensión fractal de 1,1; los batiks de Yogyakarta y Surakarta (Solo) en Java Central tienen una dimensión fractal de 1,2 a 1,5; y los batiks de Lasem en la costa norte de Java y de Tasikmalaya en Java Occidental tienen una dimensión fractal entre 1,5 y 1,7. [86]
Las obras de pintura por goteo del artista moderno Jackson Pollock son igualmente distintivas en su dimensión fractal. Su Número 14 de 1948 tiene una dimensión similar a la de una costa de 1,45, mientras que sus pinturas posteriores tuvieron dimensiones fractales sucesivamente más altas y, en consecuencia, patrones más elaborados. Una de sus últimas obras, Blue Poles , tardó seis meses en crearse y tiene una dimensión fractal de 1,72. [87]
El astrónomo Galileo Galilei en su Il Saggiatore escribió que "[El universo] está escrito en el lenguaje de las matemáticas , y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas". [88] Los artistas que se esfuerzan y buscan estudiar la naturaleza deben primero, en opinión de Galileo, comprender completamente las matemáticas. Los matemáticos, por el contrario, han tratado de interpretar y analizar el arte a través de la lente de la geometría y la racionalidad. El matemático Felipe Cucker sugiere que las matemáticas, y especialmente la geometría, son una fuente de reglas para la "creación artística basada en reglas", aunque no la única. [89] Algunas de las muchas facetas de la compleja relación resultante [90] se describen a continuación.
El matemático Jerry P. King describe las matemáticas como un arte y afirma que "las claves de las matemáticas son la belleza y la elegancia y no la monotonía y el tecnicismo", y que la belleza es la fuerza motivadora de la investigación matemática. [91] King cita el ensayo de 1940 del matemático GH Hardy A Mathematician's Apology . En él, Hardy analiza por qué encuentra dos teoremas de la época clásica de primera clase, a saber, la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional . King evalúa este último según los criterios de elegancia matemática de Hardy : " seriedad, profundidad, generalidad, carácter inesperado, inevitabilidad y economía " (cursiva de King), y describe la prueba como "estéticamente agradable". [92] El matemático húngaro Paul Erdős estuvo de acuerdo en que las matemáticas poseían belleza, pero consideró las razones más allá de toda explicación: "¿Por qué son hermosos los números? Es como preguntar por qué es hermosa la Novena Sinfonía de Beethoven . Si no ves por qué, alguien no puede decirte ... Sé que los números son hermosos". [93]
Las matemáticas se pueden discernir en muchas de las artes, como la música , la danza , [94] la pintura , la arquitectura y la escultura . Cada uno de estos está ricamente asociado con las matemáticas. [95] Entre las conexiones con las artes visuales, las matemáticas pueden proporcionar herramientas para los artistas, como las reglas de la perspectiva lineal descritas por Brook Taylor y Johann Lambert , o los métodos de geometría descriptiva , ahora aplicados en software de modelado de sólidos, datación. Volvamos a Alberto Durero y Gaspard Monge . [96] Artistas como Luca Pacioli en la Edad Media y Leonardo da Vinci y Alberto Durero en el Renacimiento han utilizado y desarrollado ideas matemáticas en el desarrollo de su trabajo artístico. [95] [97] El uso de la perspectiva comenzó, a pesar de algunos usos embrionarios en la arquitectura de la Antigua Grecia, con pintores italianos como Giotto en el siglo XIII; Reglas como el punto de fuga fueron formuladas por primera vez por Brunelleschi alrededor de 1413, [6] su teoría influyó en Leonardo y Durero. El trabajo de Isaac Newton sobre el espectro óptico influyó en la Teoría de los colores de Goethe y a su vez en artistas como Philipp Otto Runge , JMW Turner , [98] los prerrafaelitas y Wassily Kandinsky . [99] [100] Los artistas también pueden optar por analizar la simetría de una escena. [101] Las herramientas pueden ser aplicadas por matemáticos que están explorando el arte, o artistas inspirados por las matemáticas, como MC Escher (inspirado en HSM Coxeter ) y el arquitecto Frank Gehry , quien argumentó de manera más tenue que el diseño asistido por computadora le permitió expresarse en una forma totalmente nueva. [102]
El artista Richard Wright sostiene que los objetos matemáticos que se pueden construir pueden verse "como procesos para simular fenómenos" o como obras de " arte informático ". Considera la naturaleza del pensamiento matemático y observa que los matemáticos conocían los fractales durante un siglo antes de que fueran reconocidos como tales. Wright concluye afirmando que es apropiado someter los objetos matemáticos a cualquier método utilizado para "llegar a un acuerdo con los artefactos culturales como el arte, la tensión entre objetividad y subjetividad, sus significados metafóricos y el carácter de los sistemas de representación". Da como ejemplos una imagen del conjunto de Mandelbrot , una imagen generada por un algoritmo de autómata celular y una imagen renderizada por computadora , y analiza, con referencia a la prueba de Turing , si los productos algorítmicos pueden ser arte. [103] Matemáticas y arte: una introducción a las matemáticas visuales de Sasho Kalajdzievski adopta un enfoque similar, analizando adecuadamente temas de matemáticas visuales como mosaicos, fractales y geometría hiperbólica. [104]
Algunas de las primeras obras de arte por ordenador fueron creadas por la "Drawing Machine 1" de Desmond Paul Henry , una máquina analógica basada en un ordenador con mira de bomba y expuesta en 1962. [105] [106] La máquina era capaz de crear objetos complejos y abstractos. , dibujos de líneas asimétricas, curvilíneas, pero repetitivas. [105] [107] Más recientemente, Hamid Naderi Yeganeh ha creado formas que sugieren objetos del mundo real, como peces y pájaros, utilizando fórmulas que se varían sucesivamente para dibujar familias de curvas o líneas en ángulo. [108] [109] [110] Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de arte generativo o algorítmico escribiendo guiones para un sistema de software como Structure Synth : el artista dirige efectivamente el sistema para que aplique una combinación deseada de operaciones matemáticas a un conjunto de datos elegido. [111] [112]
Ciencia e hipótesis del matemático y físico teórico Henri Poincaré fue ampliamente leída por los cubistas , incluidos Pablo Picasso y Jean Metzinger . [114] [115] Al estar completamente familiarizado con el trabajo de Bernhard Riemann sobre geometría no euclidiana, Poincaré era más que consciente de que la geometría euclidiana es solo una de muchas configuraciones geométricas posibles, más que una verdad objetiva absoluta. La posible existencia de una cuarta dimensión inspiró a los artistas a cuestionar la perspectiva clásica del Renacimiento : la geometría no euclidiana se convirtió en una alternativa válida. [116] [117] [118] El concepto de que la pintura podía expresarse matemáticamente, en color y forma, contribuyó al cubismo, el movimiento artístico que condujo al arte abstracto . [119] Metzinger, en 1910, escribió que: "[Picasso] presenta una perspectiva libre y móvil, de la cual el ingenioso matemático Maurice Princet ha deducido toda una geometría". [120] Más tarde, Metzinger escribió en sus memorias:
Maurice Princet se unió a nosotros a menudo... fue como artista que conceptualizó las matemáticas, como esteticista que invocó continuos n -dimensionales. Le encantaba que los artistas se interesaran por las nuevas visiones del espacio que habían abierto Schlegel y algunos otros. Lo logró. [121]
El impulso de hacer modelos de enseñanza o investigación de formas matemáticas crea naturalmente objetos que tienen simetrías y formas sorprendentes o agradables. Algunos de ellos han inspirado a artistas como los dadaístas Man Ray , [122] Marcel Duchamp [123] y Max Ernst , [124] [125] y, siguiendo a Man Ray, Hiroshi Sugimoto . [126]
Man Ray fotografió algunos de los modelos matemáticos en el Institut Henri Poincaré de París, incluido el Objet mathematique (Objeto matemático). Observó que esto representaba superficies de Enneper con curvatura negativa constante , derivadas de la pseudoesfera . Esta base matemática fue importante para él, ya que le permitió negar que el objeto fuera "abstracto", afirmando en cambio que era tan real como el urinario que Duchamp convirtió en una obra de arte. Man Ray admitió que la fórmula del objeto [superficie de Enneper] "no significaba nada para mí, pero las formas en sí eran tan variadas y auténticas como las de la naturaleza". Usó sus fotografías de los modelos matemáticos como figuras en sus series sobre las obras de Shakespeare , como su pintura de 1934 Antonio y Cleopatra . [127] El reportero de arte Jonathan Keats, escribiendo en ForbesLife , sostiene que Man Ray fotografió "los paraboloides elípticos y los puntos cónicos con la misma luz sensual que sus fotografías de Kiki de Montparnasse ", y "reutiliza ingeniosamente los fríos cálculos de las matemáticas para revelar la topología del deseo". [128] Escultores del siglo XX como Henry Moore , Barbara Hepworth y Naum Gabo se inspiraron en modelos matemáticos. [129] Moore escribió sobre su Madre y niño de cuerdas de 1938 : "Sin duda, la fuente de mis figuras de cuerdas fue el Museo de Ciencias ... Me fascinaron los modelos matemáticos que vi allí... No fue el estudio científico de estos modelos, pero lo que me emocionó fue la capacidad de mirar a través de las cuerdas como si fuera una jaula de pájaros y ver una forma dentro de otra". [130]
Los artistas Theo van Doesburg y Piet Mondrian fundaron el movimiento De Stijl , con el que querían "establecer un vocabulario visual compuesto de formas geométricas elementales comprensibles por todos y adaptables a cualquier disciplina". [131] [132] Muchas de sus obras de arte consisten visiblemente en cuadrados y triángulos reglados, a veces también con círculos. Los artistas de De Stijl trabajaron en pintura, mobiliario, diseño de interiores y arquitectura. [131] Después de la ruptura de De Stijl, Van Doesburg fundó el movimiento Art Concret de vanguardia , describiendo su Composición aritmética de 1929-1930 , una serie de cuatro cuadrados negros en la diagonal de un fondo cuadrado, como "una estructura que puede ser controlada, una superficie definida sin elementos fortuitos ni caprichos individuales", pero "no carente de espíritu, no carente de universal y no... vacía porque hay todo lo que se ajusta al ritmo interno". La crítica de arte Gladys Fabre observa que en el cuadro operan dos progresiones: los cuadrados negros crecientes y los fondos alternos. [133]
Las matemáticas de la teselación , los poliedros, la configuración del espacio y la autorreferencia proporcionaron al artista gráfico MC Escher (1898-1972) los materiales de toda una vida para sus grabados en madera. [134] [135] En el Boceto de la Alhambra , Escher demostró que el arte se puede crear con polígonos o formas regulares como triángulos, cuadrados y hexágonos. Escher usó polígonos irregulares al mosaico del plano y, a menudo, usó reflejos, reflejos de deslizamiento y traslaciones para obtener más patrones. Muchas de sus obras contienen construcciones imposibles, realizadas con objetos geométricos que establecen una contradicción entre la proyección en perspectiva y las tres dimensiones, pero que resultan agradables a la vista humana. Ascendente y descendente de Escher se basa en la " escalera imposible " creada por el científico médico Lionel Penrose y su hijo el matemático Roger Penrose . [136] [137] [138]
Algunos de los muchos dibujos de teselados de Escher se inspiraron en conversaciones con el matemático HSM Coxeter sobre geometría hiperbólica . [139] Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros específicos, que aparecen muchas veces en su obra. Los sólidos platónicos (tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros) son especialmente prominentes en Orden y caos y Cuatro sólidos regulares . [140] Estas figuras estrelladas a menudo residen dentro de otra figura que distorsiona aún más el ángulo de visión y la conformación de los poliedros y proporciona una obra de arte en perspectiva multifacética. [141]
La complejidad visual de las estructuras matemáticas como los teselados y los poliedros han inspirado una variedad de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin hace rompecabezas poliédricos en maderas raras y hermosas; George W. Hart trabaja sobre la teoría de los poliedros y esculpe objetos inspirados en ellos; Magnus Wenninger realiza modelos "especialmente bellos" de poliedros estrellados complejos . [142]
Las perspectivas distorsionadas de la anamorfosis se han explorado en el arte desde el siglo XVI, cuando Hans Holbein el Joven incorporó un cráneo severamente distorsionado en su pintura de 1533 Los embajadores . Desde entonces, muchos artistas, incluido Escher, han utilizado trucos anamórficos. [143]
Las matemáticas de la topología han inspirado a varios artistas de los tiempos modernos. El escultor John Robinson (1935-2007) creó obras como Gordian Knot y Bands of Friendship , que muestran la teoría de nudos en bronce pulido. [7] Otras obras de Robinson exploran la topología de los toros . Génesis se basa en los anillos borromeos : un conjunto de tres círculos, de los cuales no hay dos que se unan, pero en los que toda la estructura no se puede desarmar sin romperse. [144] El escultor Helaman Ferguson crea superficies complejas y otros objetos topológicos . [145] Sus obras son representaciones visuales de objetos matemáticos; El Óctuple Vía se basa en el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) , un grupo finito de 168 elementos. [146] [147] La escultora Bathsheba Grossman basa igualmente su trabajo en estructuras matemáticas. [148] [149] El artista Nelson Saiers incorpora conceptos y teoremas matemáticos en su arte, desde topos y esquemas hasta el teorema de los cuatro colores y la irracionalidad de π . [150]
Un proyecto de investigación sobre artes liberales examina las conexiones entre las matemáticas y el arte a través de la tira de Möbius , los flexágonos , el origami y la fotografía panorámica . [151]
Los objetos matemáticos, incluida la variedad de Lorenz y el plano hiperbólico, se han elaborado utilizando artes de fibras, incluido el crochet. [d] [153] La tejedora estadounidense Ada Dietz escribió una monografía de 1949 Expresiones algebraicas en textiles tejidos a mano , definiendo patrones de tejido basados en la expansión de polinomios multivariados . [154] La matemática Daina Taimiņa demostró las características del plano hiperbólico tejiendo en 2001. [155] Esto llevó a Margaret y Christine Wertheim a tejer un arrecife de coral , formado por muchos animales marinos, como los nudibranquios , cuyas formas se basan en planos hiperbólicos. [156] El matemático JCP Miller utilizó el autómata celular Regla 90 para diseñar tapices que representan árboles y patrones abstractos de triángulos. [157] Los "matemáticos" [158] Pat Ashforth y Steve Plummer utilizan versiones tejidas de objetos matemáticos como los hexaflexágonos en su enseñanza, aunque su esponja Menger resultó demasiado problemática para tejer y en su lugar estaba hecha de lona plástica. [159] [160] Su proyecto "mathghans" (Afganos para las escuelas) introdujo el tejido en el plan de estudios británico de matemáticas y tecnología. [161] [162]
El modelado está lejos de ser la única forma posible de ilustrar conceptos matemáticos. El Tríptico Stefaneschi de Giotto , 1320, ilustra la recursividad en forma de puesta en abismo ; el panel central del tríptico contiene, en la parte inferior izquierda, la figura arrodillada del cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico a modo de ofrenda. [165] Las pinturas metafísicas de Giorgio de Chirico , como su Gran interior metafísico de 1917 , exploran la cuestión de los niveles de representación en el arte al representar pinturas dentro de sus pinturas. [166]
El arte puede ejemplificar paradojas lógicas, como en algunas pinturas del surrealista René Magritte , que pueden leerse como chistes semióticos sobre la confusión entre niveles. En La condition humaine (1933), Magritte representa un caballete (sobre el lienzo real), que sostiene perfectamente una vista a través de una ventana enmarcada por cortinas "reales" en la pintura. De manera similar, la Print Gallery de Escher (1956) es una impresión que representa una ciudad distorsionada que contiene una galería que contiene recursivamente la imagen, y así ad infinitum . [167] Magritte hizo uso de esferas y cuboides para distorsionar la realidad de una manera diferente, pintándolos junto a una variedad de casas en su Aritmética mental de 1931 como si fueran bloques de construcción para niños, pero del tamaño de una casa. [168] The Guardian observó que la "espeluznante imagen de la ciudad de juguete" profetizaba la usurpación por parte del modernismo de "formas tradicionales acogedoras", pero también juega con la tendencia humana a buscar patrones en la naturaleza . [169]
El último cuadro de Salvador Dalí, La cola de la golondrina (1983), formó parte de una serie inspirada en la teoría de la catástrofe de René Thom . [171] El pintor y escultor español Pablo Palazuelo (1916-2007) se centró en la investigación de la forma. Desarrolló un estilo que describió como la geometría de la vida y la geometría de toda la naturaleza. Palazuelo , que consta de formas geométricas simples con patrones y colores detallados, en obras como Angular I y Automnes , se expresó en transformaciones geométricas. [7]
El artista Adrian Gray practica el equilibrio de la piedra , explotando la fricción y el centro de gravedad para crear composiciones llamativas y aparentemente imposibles. [172]
Los artistas, sin embargo, no necesariamente toman la geometría literalmente. Como escribe Douglas Hofstadter en su reflexión de 1980 sobre el pensamiento humano, Gödel, Escher, Bach , a través de (entre otras cosas) las matemáticas del arte: "La diferencia entre un dibujo de Escher y una geometría no euclidiana es que en esta última, la geometría es comprensible". Se pueden encontrar interpretaciones para los términos indefinidos, lo que resulta en un sistema total comprensible, mientras que para los primeros, el resultado final no es reconciliable con la propia concepción del mundo, no importa cuánto tiempo uno mire las imágenes." Hofstadter analiza la litografía aparentemente paradójica Print Gallery de MC Escher; representa una ciudad costera que contiene una galería de arte que parece contener una pintura de la ciudad costera, existiendo un "bucle extraño o jerarquía enredada" en los niveles de realidad de la imagen. El artista mismo, observa Hofstadter, no es visto; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas. [170] El vacío central de la imagen también ha atraído el interés de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra , quienes proponen que podría contener una copia de sí misma con efecto Droste , rotada y encogida; éste sería un ejemplo más de recursividad que el observado por Hofstadter. [173] [174]
El análisis algorítmico de imágenes de obras de arte, por ejemplo mediante espectroscopia de fluorescencia de rayos X , puede revelar información sobre el arte. Estas técnicas pueden descubrir imágenes en capas de pintura que luego un artista cubre; ayudar a los historiadores del arte a visualizar una obra de arte antes de que se agriete o se desvanezca; ayudar a distinguir una copia de un original, o distinguir el estilo de pincelada de un maestro del de sus aprendices. [175] [176]
El estilo de pintura por goteo de Jackson Pollock [177] tiene una dimensión fractal definida ; [178] entre los artistas que pueden haber influido en el caos controlado de Pollock , [179] Max Ernst pintó figuras de Lissajous directamente balanceando un cubo de pintura perforado sobre un lienzo. [180]
El informático Neil Dodgson investigó si las pinturas de rayas de Bridget Riley podían caracterizarse matemáticamente y concluyó que, si bien la distancia de separación podía "proporcionar cierta caracterización" y la entropía global funcionaba en algunas pinturas, la autocorrelación fallaba porque los patrones de Riley eran irregulares. La entropía local funcionó mejor y se correlacionó bien con la descripción dada por el crítico de arte Robert Kudielka. [181]
La Medida estética de 1933 del matemático estadounidense George Birkhoff propone una métrica cuantitativa de la calidad estética de una obra de arte. No intenta medir las connotaciones de una obra, como lo que podría significar una pintura, sino que se limita a los "elementos de orden" de una figura poligonal. Birkhoff primero combina (como suma) cinco de estos elementos: si existe un eje de simetría vertical; si existe equilibrio óptico; cuántas simetrías rotacionales tiene; cuán parecida a un papel tapiz es la figura; y si existen características insatisfactorias, como tener dos vértices demasiado juntos. Esta métrica, O , toma un valor entre −3 y 7. La segunda métrica, C , cuenta elementos de la figura, que para un polígono es el número de rectas diferentes que contienen al menos uno de sus lados. Birkhoff luego define su medida estética de la belleza de un objeto como O/C . Esto puede interpretarse como un equilibrio entre el placer que proporciona mirar el objeto y la cantidad de esfuerzo necesario para asimilarlo. La propuesta de Birkhoff ha sido criticada de varias maneras, entre ellas por tratar de poner la belleza en una fórmula, pero nunca afirmó haber hecho eso. [182]
En ocasiones, el arte ha estimulado el desarrollo de las matemáticas, como cuando la teoría de la perspectiva de Brunelleschi en la arquitectura y la pintura inició un ciclo de investigación que condujo al trabajo de Brook Taylor y Johann Heinrich Lambert sobre los fundamentos matemáticos del dibujo en perspectiva, [183] y, en última instancia, a las matemáticas de la geometría proyectiva de Girard Desargues y Jean-Victor Poncelet . [184]
Tomoko Fusé ha reelaborado matemáticamente el arte japonés del origami , que consiste en doblar papel , utilizando módulos , trozos de papel congruentes, como cuadrados, y convirtiéndolos en poliedros o mosaicos. [185] El plegado de papel fue utilizado en 1893 por T. Sundara Rao en sus Ejercicios geométricos en el plegado de papel para demostrar pruebas geométricas. [186] Las matemáticas del plegado de papel se han explorado en el teorema de Maekawa , [187] el teorema de Kawasaki , [188] y los axiomas de Huzita-Hatori . [189]
Las ilusiones ópticas como la espiral de Fraser demuestran sorprendentemente las limitaciones de la percepción visual humana, creando lo que el historiador del arte Ernst Gombrich llamó un "truco desconcertante". Las cuerdas blancas y negras que parecen formar espirales son en realidad círculos concéntricos . El estilo de pintura y gráficos Op art o arte óptico de mediados del siglo XX explotó tales efectos para crear la impresión de movimiento y patrones parpadeantes o vibrantes que se ven en el trabajo de artistas como Bridget Riley , Spyros Horemis, [191] y Victor Vasarely . [192]
Una corriente de arte desde la antigua Grecia en adelante ve a Dios como el geómetra del mundo y, por lo tanto, la geometría del mundo es sagrada. La creencia de que Dios creó el universo según un plan geométrico tiene orígenes antiguos. Plutarco atribuyó la creencia a Platón , escribiendo que "Platón dijo que Dios geometriza continuamente" ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Esta imagen ha influido en el pensamiento occidental desde entonces. El concepto platónico derivó a su vez de una noción pitagórica de armonía en la música, donde las notas estaban espaciadas en proporciones perfectas, correspondientes a la longitud de las cuerdas de la lira; de hecho, los pitagóricos sostenían que todo estaba ordenado por números. De la misma manera, en el pensamiento platónico, los sólidos regulares o platónicos dictan las proporciones que se encuentran en la naturaleza y en el arte. [193] [194] Una iluminación en el Codex Vindobonensis del siglo XIII muestra a Dios dibujando el universo con un par de compases, lo que puede referirse a un versículo del Antiguo Testamento: "Cuando él estableció los cielos, yo estaba allí: cuando él Pon una brújula sobre la faz del abismo" (Proverbios 8:27). [195] En 1596, el astrónomo matemático Johannes Kepler modeló el universo como un conjunto de sólidos platónicos anidados, determinando los tamaños relativos de las órbitas de los planetas. [195] Anciano de los días de William Blake (que representa a Urizen , la encarnación de la razón y la ley de Blake) y su pintura del físico Isaac Newton , desnudo, encorvado y dibujando con un compás, utilizan el simbolismo de las brújulas para criticar la razón convencional y el materialismo. como de mente estrecha. [196] [197] La Crucifixión (Corpus Hypercubus) de Salvador Dalí de 1954 representa la cruz como un hipercubo , que representa la perspectiva divina con cuatro dimensiones en lugar de las tres habituales. [84] En El sacramento de la Última Cena de Dalí (1955), Cristo y sus discípulos aparecen representados dentro de un dodecaedro gigante . [198]
que ilustran la fascinación de Uccello por la perspectiva. Los combatientes en las justas se enfrentan en un campo de batalla lleno de lanzas rotas que han caído en un patrón casi cuadriculado y apuntan hacia un punto de fuga en algún lugar en la distancia.
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![Origami matemático: Spring Into Action, de Jeff Beynon, elaborado a partir de un solo rectángulo de papel.[190]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Origami_spring.jpg/1280px-Origami_spring.jpg)
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ){{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )En el Libro I, después de algunas construcciones elementales para introducir la idea de que el tamaño aparente de un objeto es en realidad su ángulo subtendido en el ojo, y refiriéndose a los Libros I y VI de los Elementos de Euclides y a la Óptica de Euclides, pasa, en la Proposición 13, a la representación de un cuadrado tendido en el suelo frente al espectador.
¿Qué debería realmente dibujar el artista?
A continuación se construyen los objetos en el cuadrado (por ejemplo, mosaicos para representar un suelo de baldosas) y los objetos correspondientes se construyen en perspectiva;
en el Libro II se erigen prismas sobre estos objetos planos, para representar casas, columnas, etc.;
pero la base del método es el cuadrado original, del que se deriva todo lo demás.
La técnica geométrica de construcción de la sección áurea parece haber determinado las principales decisiones de organización espacial.
La sección áurea aparece repetidas veces en alguna parte de las medidas del edificio.
Se encuentra en la proporción global de la planta y en el dimensionamiento del espacio de oración, el patio y el minarete.
La existencia de la sección áurea en algunas partes de la mezquita de Kairouan indica que los elementos diseñados y generados con este principio pueden haber sido realizados en el mismo período.
Pollock murió en 1956, antes de que se descubrieran el caos y los fractales.
Por lo tanto, es muy poco probable que Pollock entendiera conscientemente los fractales que estaba pintando.
Sin embargo, su introducción de los fractales fue deliberada.
Por ejemplo, el color de la capa de anclaje se eligió para producir el contraste más nítido contra el fondo del lienzo y esta capa también ocupa más espacio en el lienzo que las otras capas, lo que sugiere que Pollock quería que esta capa de anclaje altamente fractal dominara visualmente la pintura.
Además, una vez terminadas las pinturas, acoplaba el lienzo para eliminar las regiones cercanas al borde del lienzo donde la densidad del patrón era menos uniforme.
A lo largo de principios de la década de 1980, los patrones de Riley pasaron de ser más regulares a más aleatorios (caracterizados por la entropía global), sin perder su estructura rítmica (caracterizada por la entropía local).
Esto refleja la descripción que hace Kudielka de su desarrollo artístico.
