variedad hiperbólica

Espacio donde cada punto localmente se asemeja a un espacio hiperbólico.

En matemáticas , una variedad hiperbólica es un espacio donde cada punto parece localmente un espacio hiperbólico de alguna dimensión. Se estudian especialmente en las dimensiones 2 y 3, donde se denominan superficies hiperbólicas y 3 variedades hiperbólicas , respectivamente. En estas dimensiones, son importantes porque la mayoría de las variedades pueden convertirse en variedades hiperbólicas mediante un homeomorfismo . Esto es una consecuencia del teorema de uniformización para superficies y del teorema de geometrización para 3 variedades demostrado por Perelman .

Una proyección en perspectiva de una teselación dodecaédrica en H 3 . Este es un ejemplo de lo que un observador podría ver dentro de una variedad 3 hiperbólica.

La pseudosfera . Cada mitad de esta forma es una variedad 2 hiperbólica (es decir, una superficie) con límite.

Definición rigurosa

Una variedad hiperbólica ${\displaystyle n}$ es una variedad riemanniana completa de ${\displaystyle n}$curvatura seccional constante . ${\displaystyle -1}$

Toda variedad completa, conexa y simplemente conexa de curvatura negativa constante es isométrica al espacio hiperbólico real . Como resultado, la cobertura universal de cualquier variedad cerrada de curvatura negativa constante es . Por lo tanto, cada uno de estos puede escribirse como donde hay un grupo discreto de isometrías sin torsión en . Es decir, es un subgrupo discreto de . La variedad tiene volumen finito si y sólo si es una red . ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SO} _{1,n}^{+}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Su descomposición gruesa-delgada tiene una parte delgada que consta de vecindades tubulares de geodésicas cerradas y extremos que son el producto de una variedad euclidiana ( ) y el medio rayo cerrado. La variedad es de volumen finito si y sólo si su parte gruesa es compacta. ${\displaystyle n-1}$

Ejemplos

El ejemplo más simple de una variedad hiperbólica es el espacio hiperbólico , ya que cada punto en el espacio hiperbólico tiene una vecindad isométrica al espacio hiperbólico.

Sin embargo, un ejemplo sencillo y no trivial es el del toro una vez perforado . Este es un ejemplo de una variedad (Isom( ), ) ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ . Esto se puede formar tomando un rectángulo ideal (es decir, un rectángulo donde los vértices están en el límite en el infinito y, por lo tanto, no existen en la variedad resultante) e identificando imágenes opuestas. ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

De manera similar, podemos construir la esfera tres veces perforada, que se muestra a continuación, pegando dos triángulos ideales. Esto también muestra cómo dibujar curvas en la superficie: la línea negra en el diagrama se convierte en la curva cerrada cuando los bordes verdes se pegan. Como trabajamos con una esfera perforada, los círculos coloreados en la superficie (incluidos sus límites) no son parte de la superficie y, por lo tanto, se representan en el diagrama como vértices ideales .

(Izquierda) Un diagrama de pegado de la esfera tres veces perforada. Los bordes que tienen el mismo color se pegan entre sí. Observe que los puntos donde se encuentran las líneas (incluido el punto en el infinito) se encuentran en el límite del espacio hiperbólico y, por lo tanto, no son parte de la superficie. (Derecha) La superficie pegada.

Muchos nudos y eslabones , incluidos algunos de los nudos más simples, como el nudo en forma de ocho y los anillos borromeos , son hiperbólicos , por lo que el complemento del nudo o eslabón es una variedad 3 hiperbólica de volumen finito. ${\displaystyle S^{3}}$

Resultados importantes

Para la estructura hiperbólica en un volumen finito, la variedad hiperbólica es única por la rigidez de Mostow y, por lo tanto, los invariantes geométricos son de hecho invariantes topológicos. Uno de estos invariantes geométricos utilizados como invariante topológico es el volumen hiperbólico de un nudo o complemento de enlace, que puede permitirnos distinguir dos nudos entre sí estudiando la geometría de sus respectivas variedades. ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• 3 colectores hiperbólicos
• Espacio hiperbólico
• Teorema de hiperbolización
• Lema de Margulis
• Colector invariante normalmente hiperbólico

Referencias

• Kapovich, Michael (2009) [2001], Colectores hiperbólicos y grupos discretos , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi :10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, señor  1792613
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), La aritmética de 3 variedades hiperbólicas, Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 219, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8, señor  1937957
• Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Fundamentos de variedades hiperbólicas , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 149 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN 978-0-387-33197-3, señor  2249478