Superficie de Enneper

Superficie mínima

Una porción de la superficie de Enneper

En geometría diferencial y geometría algebraica , la superficie de Enneper es una superficie autointersecante que puede describirse paramétricamente mediante: Fue introducida por Alfred Enneper en 1864 en relación con la teoría de superficies mínimas . ^{[1] [2] [3] [4]} $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$

La parametrización de Weierstrass-Enneper es muy sencilla , y la forma paramétrica real se puede calcular fácilmente a partir de ella. La superficie es conjugada consigo misma. ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$

Se pueden utilizar métodos de implícitación de geometría algebraica para descubrir que los puntos en la superficie de Enneper dada anteriormente satisfacen la ecuación polinomial de grado 9. $${\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}}$$

Dualmente, el plano tangente en el punto con parámetros dados es donde Sus coeficientes satisfacen la ecuación polinomial implícita de grado 6 ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}$$

La curvatura jacobiana , la curvatura gaussiana y la curvatura media son La curvatura total es . Osserman demostró que una superficie mínima completa en con curvatura total es la catenoide o la superficie de Enneper. ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -4\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle -4\pi }$

Otra propiedad es que todas las superficies de Bézier mínimas bicúbicas son, hasta una transformación afín , partes de la superficie. ^[6]

Se puede generalizar a simetrías rotacionales de orden superior utilizando la parametrización de Weierstrass-Enneper para números enteros k > 1. ^[3] También se puede generalizar a dimensiones superiores; se sabe que existen superficies tipo Enneper para n hasta 7. ^[7] ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Véase también ^{[8] [9]} para superficies de Enneper algebraicas de orden superior.

Referencias

1. JCC Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
2. Francisco J. López, Francisco Martín, Superficies mínimas completas en R3
3. Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Superficies mínimas. Berlín Heidelberg: Springer. ISBN  978-3-642-11697-1 .
4. Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de Enneper". MundoMatemático .
5. R. Osserman, Un estudio de superficies mínimas. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, Nueva York (1989).
6. Cosín, C., Monterde, Superficies de Bézier de área mínima. En Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8 
7. Jaigyoung Choe, Sobre la existencia de la superficie de Enneper de dimensiones superiores, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, volumen 71, número 1, págs.
8. E. Güler, Familia de superficies mínimas de Enneper. Matemáticas. 2018; 6(12):281. https://doi.org/10.3390/math6120281
9. E. Güler, Las superficies algebraicas de la familia Enneper de superficies máximas en el espacio tridimensional de Minkowski. Axiomas. 2022; 11(1):4. https://doi.org/10.3390/axioms11010004

Enlaces externos

• "Superficie de Enneper", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas - Superficies de Enneper generalizadas (archivadas)
• Harvey Mudd College - Superficie de Enneper (archivada)