En geometría , un hemipoliedro es un poliedro estrellado uniforme , algunas de cuyas caras pasan por su centro. Estas "hemi" caras se encuentran paralelas a las caras de algún otro poliedro simétrico, y su número es la mitad del número de caras de ese otro poliedro, de ahí el prefijo "hemi". [1]
El prefijo "hemi" también se utiliza para referirse a ciertos poliedros proyectivos , como el hemicubeo , que son la imagen de una función 2 a 1 de un poliedro esférico con simetría central .
Sus símbolos de Wythoff son de la forma p / ( p − q ) p / q | r ; sus figuras de vértice son cuadriláteros cruzados . Por lo tanto, están relacionados con los poliedros cantelados , que tienen símbolos de Wythoff similares. La configuración de vértice es p / q .2 r . p / ( p − q ) .2 r . Las 2 caras del r -gono pasan por el centro del modelo: si se representan como caras de poliedros esféricos , cubren un hemisferio entero y sus aristas y vértices se encuentran a lo largo de un gran círculo . La notación p / ( p − q) implica una cara { p / q } que gira hacia atrás alrededor de la figura del vértice.
Las nueve formas, enumeradas con sus símbolos Wythoff y configuraciones de vértices, son:
Nótese que la construcción caleidoscópica de Wythoff genera los hemipoliedros no orientables (todos excepto el octahemioctaedro) como cubiertas dobles (dos hemipoliedros coincidentes).
En el plano euclidiano, la secuencia de hemipoliedros continúa con las siguientes cuatro teselaciones en estrella, donde los apeirógonos aparecen como los polígonos ecuatoriales antes mencionados: [ cita requerida ]
De estas cuatro teselaciones, solo 6/5 6 | ∞ se genera como una doble cobertura mediante la construcción de Wythoff.
Sólo el octahemioctaedro representa una superficie orientable ; los restantes hemipoliedros tienen superficies no orientables o de un solo lado. Esto se debe a que al avanzar alrededor de un 2 r -gono ecuatorial, las caras p / q -gonos apuntan alternativamente "arriba" y "abajo", por lo que dos consecutivos cualesquiera tienen sentidos opuestos. Esto es equivalente a exigir que los p / q -gonos en los poliedros cuasirregulares correspondientes a continuación puedan tener orientaciones positivas y negativas alternativamente. Pero eso sólo es posible para los triángulos del cuboctaedro (que corresponden a los triángulos del octaedro, el único poliedro regular con un número par de caras que se encuentran en un vértice), que son precisamente las caras no hemi del octahemioctaedro. [2]
Como los hemipoliedros tienen caras que pasan por el centro, las figuras duales tienen vértices correspondientes en el infinito; propiamente, en el plano proyectivo real en el infinito. [3] En los modelos duales de Magnus Wenninger , se representan con prismas que se intersecan , cada uno de los cuales se extiende en ambas direcciones hasta el mismo vértice en el infinito, para mantener la simetría. En la práctica, los prismas modelo se cortan en un punto determinado que es conveniente para el creador. Wenninger sugirió que estas figuras son miembros de una nueva clase de figuras de estelación , llamada estelación al infinito . Sin embargo, también sugirió que, estrictamente hablando, no son poliedros porque su construcción no se ajusta a las definiciones habituales.
Existen 9 duales de este tipo, que comparten solo 5 formas externas distintas, cuatro de las cuales existen en pares aparentemente idénticos. Los miembros de un par visualmente idéntico dado difieren en sus disposiciones de vértices verdaderos y falsos (un vértice falso es donde dos aristas se cruzan pero no se unen). Las formas externas son:
Los hemipoliedros se presentan en pares como facetas de los poliedros cuasirregulares con cuatro caras en un vértice. Estos poliedros cuasirregulares tienen configuración de vértice m . n . m . n y sus aristas, además de formar las caras m y n -gonales, también forman hemicaras de los hemipoliedros. Por lo tanto, los hemipoliedros pueden derivarse de los poliedros cuasirregulares descartando los m -gonos o los n -gonos (para mantener dos caras en un borde) y luego insertando las hemicaras. Dado que tanto los m -gonos como los n -gonos pueden descartarse, cualquiera de los dos hemipoliedros puede derivarse de cada poliedro cuasirregular, excepto el octaedro como tetratetraedro , donde m = n = 3 y las dos facetas son congruentes. (Esta construcción no funciona para los poliedros cuasirregulares con seis caras en un vértice, también conocidos como poliedros ditrigonales , ya que sus aristas no forman ninguna hemicara regular). [1]
Dado que los hemipoliedros, al igual que los poliedros cuasirregulares, también tienen dos tipos de caras alternadas alrededor de cada vértice, a veces también se los considera cuasirregulares. [1]
Aquí m y n corresponden a p / q arriba, y h corresponde a 2 r arriba.