En geometría , un icoságono o 20-ágono es un polígono de veinte lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier icoságono es 3240 grados.
El icoságono regular tiene el símbolo de Schläfli {20} , y también puede construirse como un decágono truncado , t{10} , o un pentágono dos veces truncado , tt{5} .
Un ángulo interior en un icoságono regular es 162°, lo que significa que un ángulo exterior sería 18°.
El área de un icoságono regular con longitud de arista t es
En términos del radio R de su circunferencia circunscrita , el área es
Dado que el área del círculo es el icoságono regular, llena aproximadamente el 98,36% de su circunferencia circunscrita.
La noria del popular programa de juegos estadounidense The Price Is Right tiene una sección transversal icosagonal.
Se descubrió que The Globe, el teatro al aire libre utilizado por la compañía de teatro de William Shakespeare, había sido construido sobre una base icosagonal cuando se realizó una excavación parcial en 1989. [1]
Como trayectoria golygonal , la esvástica se considera un icoságono irregular. [2]
Un cuadrado, pentágono o icoságono regular pueden llenar completamente un vértice plano .
Como 20 = 2 2 × 5 , un icoságono regular se puede construir utilizando un compás y una regla , o mediante una bisección de arista de un decágono regular, o un pentágono regular dos veces bisecado :
El icoságono regular tiene simetría Dih 20 , orden 40. Hay 5 simetrías diedras de subgrupos: (Dih 10 , Dih 5 ) , y (Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 ) , y 6 simetrías de grupo cíclicas : (Z 20 , Z 10 , Z 5 ) , y ( Z 4 , Z 2 , Z 1 ) .
Estas 10 simetrías se pueden ver en 16 simetrías distintas en el icoságono, un número mayor porque las líneas de reflexión pueden pasar a través de vértices o aristas. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. [3] La simetría completa de la forma regular es r40 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan a través de aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.
Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g20 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .
Los icoságonos irregulares de mayor simetría son d20 , un icoságono isogonal construido con diez espejos que pueden alternar aristas largas y cortas, y p20 , un icoságono isotoxal , construido con longitudes de aristas iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del icoságono regular.
Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. [4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con un número uniforme de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el icoságono, m = 10 , y puede dividirse en 45: 5 cuadrados y 4 conjuntos de 10 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un 10-cubo , con 45 de 11520 caras. La lista OEIS : A006245 enumera el número de soluciones como 18.410.581.880, incluidas rotaciones de hasta 20 pliegues y formas quirales en reflexión.
Un icosagrama es un polígono estrellado de 20 lados , representado por el símbolo {20/n} . Existen tres formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {20/3} , {20/7} y {20/9} . También existen cinco figuras estelares regulares (compuestas) que utilizan la misma disposición de vértices : 2{10} , 4{5} , 5{4} , 2{10/3} , 4{5/2} y 10{2} .
Truncamientos más profundos del decágono y del decagrama regulares pueden producir formas de icosagramas intermedios isogonales ( transitivos de vértice ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. [5]
Un icosagrama regular, {20/9} , puede verse como un decágono cuasitruncado, t{10/9}={20/9} . De manera similar, un decagramo , {10/3} tiene un cuasitruncado t{10/7}={20/7} y, finalmente, un truncamiento simple de un decagramo da t{10/3}={20/3} .
El icoságono regular es el polígono de Petrie para una serie de politopos de dimensiones superiores, que se muestran en proyecciones ortogonales en planos de Coxeter :
También es el polígono de Petrie para el icosaédrico de 120 celdas , el pequeño icosaédrico de 120 celdas , el gran icosaédrico de 120 celdas y el gran gran icosaédrico de 120 celdas .
