Suma de dígitos

Suma de los dígitos de un número

En matemáticas , la suma de los dígitos de un número natural en una base numérica dada es la suma de todos sus dígitos . Por ejemplo, la suma de los dígitos del número decimal sería ${\displaystyle 9045}$ ${\displaystyle 9+0+4+5=18.}$

Definición

Sea un número natural. Definimos la suma de los dígitos de la base como la siguiente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k}d_{i}}$

donde es uno menos que el número de dígitos del número en base , y ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número.

Por ejemplo, en base 10 , la suma de dígitos de 84001 es ${\displaystyle F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13.}$

Para dos bases cualesquiera y para números naturales suficientemente grandes ${\displaystyle 2\leq b_{1}<b_{2}}$ ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k).}$^[1]

La suma de los dígitos de base 10 de los números enteros 0, 1, 2, ... se da mediante OEIS : A007953 en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras . Borwein y Borwein (1992) utilizan la función generadora de esta secuencia entera (y de la secuencia análoga para sumas de dígitos binarios ) para derivar varias series de convergencia rápida con sumas racionales y trascendentales . ^[2]

Extensión a números enteros negativos

La suma de dígitos se puede extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Propiedades

La cantidad de números de n dígitos con suma de dígitos q se puede calcular utilizando:

${\displaystyle f(n,q)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\f(n,9n-q+1)&{\text{if }}q>\lceil {\frac {9n}{2}}\rceil \\\sum _{i=\max(q-9,1)}^{q}f(n-1,i)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Aplicaciones

El concepto de suma de dígitos decimales está estrechamente relacionado con el de raíz digital , aunque no es el mismo , que es el resultado de aplicar repetidamente la operación de suma de dígitos hasta que el valor restante sea solo un dígito. La raíz digital decimal de cualquier entero distinto de cero será un número en el rango de 1 a 9, mientras que la suma de dígitos puede tomar cualquier valor. Las sumas de dígitos y las raíces digitales se pueden utilizar para pruebas rápidas de divisibilidad : un número natural es divisible por 3 o 9 si y solo si su suma de dígitos (o raíz digital) es divisible por 3 o 9, respectivamente. Para la divisibilidad por 9, esta prueba se llama regla de los nueves y es la base de la técnica de eliminación de nueves para verificar los cálculos.

Las sumas de dígitos también son un ingrediente común en los algoritmos de suma de comprobación para verificar las operaciones aritméticas de las primeras computadoras. ^[3] Anteriormente, en una era de cálculo manual, Edgeworth (1888) sugirió usar sumas de 50 dígitos tomados de tablas matemáticas de logaritmos como una forma de generación de números aleatorios ; si uno supone que cada dígito es aleatorio, entonces, por el teorema del límite central , estas sumas de dígitos tendrán una distribución aleatoria que se aproxima mucho a una distribución gaussiana . ^[4]

La suma de los dígitos de la representación binaria de un número se conoce como su peso de Hamming o recuento de población; se han estudiado algoritmos para realizar esta operación y se ha incluido como una operación integrada en algunas arquitecturas informáticas y algunos lenguajes de programación . Estas operaciones se utilizan en aplicaciones informáticas, incluidas la criptografía , la teoría de la codificación y el ajedrez informático .

Los números de Harshad se definen en términos de divisibilidad por las sumas de sus dígitos, y los números de Smith se definen por la igualdad de las sumas de sus dígitos con las sumas de los dígitos de sus factorizaciones prima .

Véase también

• Dinámica aritmética
• Expulsando a los nueves
• Suma de comprobación
• Raíz digital
• Peso de Hamming
• Número de Harshad
• Invariante digital perfecto
• Suma lateral
• Número de Smith
• Número suma-producto

Referencias

1. Bush, LE (1940), "Una fórmula asintótica para la suma promedio de los dígitos de los números enteros", American Mathematical Monthly , 47 (3), Mathematical Association of America: 154–156, doi :10.2307/2304217, JSTOR  2304217.
2. Borwein, JM ; Borwein, PB (1992), "Series extrañas y fraude de alta precisión" (PDF) , American Mathematical Monthly , 99 (7): 622–640, doi :10.2307/2324993, hdl : 1959.13/1043650 , JSTOR  2324993, archivado desde el original (PDF) el 2016-05-09 , consultado el 2009-03-02.
3. Bloch, RM; Campbell, RVD; Ellis, M. (1948), "El diseño lógico de la computadora Raytheon", Tablas matemáticas y otras ayudas para el cálculo , 3 (24), American Mathematical Society: 286–295, doi :10.2307/2002859, JSTOR  2002859.
4. Edgeworth, FY (1888), "La teoría matemática de la banca" (PDF) , Journal of the Royal Statistical Society , 51 (1): 113–127, archivado desde el original (PDF) el 13 de septiembre de 2006.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Suma de dígitos". MundoMatemático .
• [1] Aplicaciones simples de la suma de dígitos