En un sistema de numeración posicional , la base es el número de dígitos únicos , incluido el dígito cero, que se utilizan para representar números. Por ejemplo, para el sistema decimal ( el sistema más común en uso hoy en día), la base es diez, porque utiliza los diez dígitos del 0 al 9.
En cualquier sistema de numeración posicional estándar, un número se escribe convencionalmente como ( x ) y con x como la cadena de dígitos e y como su base, aunque para la base diez se suele asumir el subíndice (y omitirlo, junto con el par de paréntesis ), ya que es la forma más común de expresar el valor . Por ejemplo, (100) 10 es equivalente a 100 (el sistema decimal está implícito en este último) y representa el número cien, mientras que (100) 2 (en el sistema binario con base 2) representa el número cuatro. [1]
Radix es una palabra latina que significa "raíz". Raíz puede considerarse un sinónimo de base, en el sentido aritmético.
En general, en un sistema con base b ( b > 1 ), una cadena de dígitos d 1 ... d n denota el número d 1 b n −1 + d 2 b n −2 + … + d n b 0 , donde 0 ≤ d i < b . [1] A diferencia del decimal, o base 10, que tiene un lugar de unidades, un lugar de decenas, un lugar de centenas, etc., la base b tendría un lugar de unidades, luego un lugar de b 1 , un lugar de b 2 , etc. [2]
Por ejemplo, si b = 12, una cadena de dígitos como 59A (donde la letra "A" representa el valor de diez) representaría el valor 5 × 12 2 + 9 × 12 1 + 10 × 12 0 = 838 en base 10.
Los sistemas de numeración comúnmente utilizados incluyen:
Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan a menudo en informática debido a su facilidad como abreviatura del binario. Cada dígito hexadecimal corresponde a una secuencia de cuatro dígitos binarios, ya que dieciséis es la cuarta potencia de dos; por ejemplo, el sistema hexadecimal 78 16 es el binario 111 1000 2 . De manera similar, cada dígito octal corresponde a una secuencia única de tres dígitos binarios, ya que ocho es el cubo de dos.
Esta representación es única. Sea b un entero positivo mayor que 1. Entonces, todo entero positivo a puede expresarse de forma única en la forma
donde m es un entero no negativo y los r' son enteros tales que
Los radicales son generalmente números naturales . Sin embargo, son posibles otros sistemas posicionales, por ejemplo, base áurea (cuyo radical es un número algebraico no entero ), [5] y base negativa (cuyo radical es negativo). [6] Una base negativa permite la representación de números negativos sin el uso de un signo menos. Por ejemplo, sea b = −10. Entonces una cadena de dígitos como 19 denota el número (decimal) 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
